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POLITECNICO DI BARI
Tratto dal "Master in Ingegneria della Sicurezza"

ORIENTAMENTI DEI CRITERI DI PROGETTAZIONE PER RIDURRE
IL RISCHIO DI COLLASSO PROGRESSIVO NEGLI EDIFICI IN C.A.
DETTAGLI COSTRUTTIVI DELLE ARMATURE


M. Palma1, F. Palmisano2, A. Vitone3

1 Istituto Autonomo per le Case Popolari della Provincia di Bari Via Crispi 85/a, Bari, Italia e-mail: settoretecnicoiacpba@libero.it
2Studio Vitone & Associati Via Dalmazia 207, Bari, Italia e-mail: vitonass@tin.it
3Dipartimento di Ingegneria Civile e ambientale - Politecnico di Bari Via Orabona 4, Bari, Italia e-mail: a.vitone@poliba.it

SOMMARIO
Il comportamento disastroso in fase post-collasso di edifici in c.a. improvvisamente crollati nel nostro Paese solo nell'arco degli ultimi due anni (a Palermo, l'11/03/1999; a Foggia, in viale Giotto, l'11 novembre 1999; a Roma, in via Vigna Jacobini, il 15/12/1999; a Napoli, in via Sanseverino, all'Arenella, il 25 giugno 2001) ha richiamato l'attenzione della comunità tecnico scientifica sulla questione della possibilità di evitare collassi progressivi conseguenti a cedimenti anche di elementi strutturali importanti, ma inizialmente localizzati e circoscritti.
In questa ottica, con il presente lavoro si propongono - per il progetto delle armature di elementi fondamentali delle strutture in c.a. - soluzioni di dettaglio che favoriscono la attivazione di risorse della resistenza ridondanti, altrimenti inutilizzate persino in condizioni estreme.

1. L'INNESCO DEL CROLLO ED IL RISCHIO DI COLLASSO PROGRESSIVO
La comunità tecnico-scientifica internazionale ha intrapreso studi sistematici sul fenomeno del collasso progressivo solo dopo il crollo parziale dell'edificio per civile abitazione - a struttura prevalentemente prefabbricata - avvenuto nel 1968 a Ronan Point (Canning Town, Inghilterra; cfr. fig. 1.1).


Fig. 1.1: Crollo di Ronan Point (1968)

Nella prima metà degli anni '70 negli Stati Uniti (ed ancor prima in Canada) furono istituite varie commissioni di studio. Dalla analisi del censimento dei crolli avvenuti negli anni immediatamente precedenti emerse che una elevata percentuale aveva avuto caratteristiche tipiche del collasso progressivo.
Nel 1973 Allen e Schriever [15] raccolsero i dati (disponibili a partire dal 1968) dell'Engineering News-Record sui crolli avvenuti negli USA ed in Canada (tabelle 1.1 ed 1.2).

Tabella 1.1: Gravi danneggiamenti ad edifici dovuti ad azioni anomale (o eccezionali)

TIPO DI AZIONE USA
(1968-1972)

Canada
(1962-1972)

Esplosioni    
Per fuga di gas 5 7
Per altre sostanze chimiche 0 2
Dovute a bombe 1 0
Per l'uso di esplosivi in scavi vicini 0 1
Impatto di veicoli    
Treni, autotreni, automobili 5 10
Navi 1 0
Aeroplani 1 0
Impatto dovuto
ad oggetti in caduta
   
Durante la costruzione (elementi precipitati) 6 14
Durante l'esercizio (strutture crollate sulla nostra) 3 8
Oggetti trasportati
da forti venti
0 12
Altre cause    
Apertura di voragini, slavine 1 20
Più azioni contemporanee 2 6
TOTALE 25 80

Obiettivo dello studio era principalmente la identificazione sia delle cause di innesco del fenomeno, sia delle cause di quelle modalità di evoluzione del collasso, che avevano poi portato dalla rottura locale al crollo parziale o totale dell'edificio.
Con riguardo alla prima delle due suddette questioni, nella tab. 1.1 è riportato il censimento dei crolli (o dei gravi danneggiamenti) in relazione alle azioni che li hanno provocati. Sarebbe opportuno distinguere queste ultime in azioni eccezionali ed in azioni anomale. Fra le prime rientrano quelle, usualmente di breve durata, di cui si tiene conto nella progettazione (ad esempio sisma, incendio) e che è improbabile che accadano con una ampiezza significativa durante la vita utile di progetto dell'opera (cfr. UNI ENV 1991-1, par. 1.5).
Fra le seconde (anomale) rientrano quelle che derivano da eventi non prevedibili (o semplicemente non previsti) in fase progettuale.
Sebbene si debba mettere in conto che la natura e la entità dell'azione esterna che innesca il crollo influisca anche sulla modalità con la quale poi questo si sviluppa, può tuttavia giovare alla ricerca di efficaci rimedi progettuali una netta distinzione fra le due questioni: innesco ed evoluzione del fenomeno. In particolare ci si riferisce alla ricerca della possibilità di dotare sistematicamente gli edifici di una loro intrinseca capacità di limitare il danno conseguente ad un collasso locale qualunque sia la causa che lo abbia provocato.

Tabella 1.2: Crolli che si possono ritenere avvenuti per collasso progressivo

TIPO DI CROLLO USA
(1968-1972)

Canada
(1962-1972)

Durante la costruzione    
Dovuti ad impatti o esplosioni 2 1
Errori nella messa in opera o per tenuta degli elementi di sostegno 10 35
Errori di progettazione 1 0
In fase di esercizio    
Dovuti ad esplosioni 1 0
Dovuti ad impatti 4 8
Dovuti ad errori di costruzione o manutenzione 3 22
Durante la demolizioni o per scavi nelle vicinanze 1 6
TOTALE
(per collasso progressivo)
22 75
Totale di tutti i tipi di crolli 110 495

La seconda questione, dunque, obiettivo del rapporto Allen e Schriever, era il censimento dei crolli in funzione delle modalità del loro sviluppo, con la individuazione di quelli nei quali si potevano riconoscere le caratteristiche proprie di un collasso progressivo. Ciò comportava, naturalmente, di stabilire prima quali caratteristiche dovesse presentare un crollo perché potesse definirsi progressivo. Gli Autori proponevano così di convenire che l'aspetto identificativo dovesse riconoscersi nel numero (almeno 3) di elementi strutturali significativi coinvolti nel crollo in conseguenza diretta di una rottura locale.

1.1 Metodi per l'abbattimento del rischio di collasso progressivo
Un orientamento come quello prima delineato sembra imposto dalla esperienza dei fenomeni occorsi negli ultimi decenni, ed in particolare dalla circostanza che talvolta persino rotture estremamente localizzate hanno innescato crolli disastrosi e provocato perdite di vite umane.
Si deve, dunque, perseguire l'obiettivo di principio di non consentire più che si costruiscano edifici intrinsecamente troppo fragili.
Ciò tuttavia non esclude che vada esplorata per prima la via dello sviluppo delle tecniche di prevenzione, e cioè di controllo della causa (event control), mediante provvedimenti che pongano le persone - se non proprio tutta l'opera - al riparo o in condizione di porsi per tempo al riparo dalle azioni (anomale) che potrebbero innescare il collasso.
Tanto più quando questa via resta l'unica percorribile, e cioè quando le azioni in gioco sono di natura ed intensità tali da risultare per esse impraticabile la ipotesi di dotare la struttura della capacità di contenimento del danno conseguente.
La dotazione - in sede di progetto - di risorse di resistenza mirate ad evitare il collasso progressivo può poi seguire due indirizzi differenti, che peraltro possono fra loro utilmente integrarsi.
Il primo può consistere nel sovradimensionamento generalizzato (indirect design) degli elementi portanti della struttura più sensibili alle azioni straordinarie. E' appunto un modo di abbattere il rischio che equivale ad assumere a base di progetto tipi ed intensità di azioni la cui probabilità di verificarsi sia anche minore di quella attualmente assunta a base delle normative. Il secondo consiste nell'ispirare la progettazione ad una valutazione diretta (direct design), su modelli degli effetti prodotti dalla rottura locale di uno o più elementi portanti fondamentali (solai, travi, pilastri). Questo indirizzo della ricerca ha il pregio degli approcci di ampio respiro: restituisce priorità agli aspetti inerenti la concezione globale del progetto, non solo di quello strutturale, ma dell'intero organismo architettonico. Dalla analisi dei crolli disastrosi naturalmente emerge che durante i collassi progressivi la struttura è sottoposta a condizioni di sollecitazione straordinarie non solo per entità ma anche per tipologia. Le differenti configurazioni che si susseguono durante il collasso, alla vana ricerca di estremi assetti di equilibrio, finiscono col risultare assai lontane da quelle classiche di progetto. La ipotesi della conservazione della continuità autorizza infatti il progettista a non valutare gli effetti delle possibili perdite di configurazione e, quindi, anche delle suddette conseguenti azioni straordinarie che pur si sviluppano comunemente durante i crolli (come le intense forze orizzontali negli impalcati). Pertanto accade che organismi che pur avrebbero potenziali caratteri comportamentali soddisfacenti per intrinseche caratteristiche geometriche (strutturali ed architettoniche), all'atto del collasso non riescano tuttavia ad attivare queste peculiari loro risorse solo per carenze del progetto che compromettono - per quanto riguardino spesso dettagli costruttivi locali - qualsiasi forma estrema di solidarietà fra le membrature.
La progettazione diretta potrebbe effettuarsi secondo due metodi differenti: quello della resistenza locale specifica e quello della attivazione di percorsi alternativi dei carichi.
Il primo metodo consiste nel definire specifici stati limite per verifiche locali, e cioè nel dotare i singoli elementi strutturali di resistenza sufficiente a sopravvivere alle sollecitazioni del tipo indotto dalle cause iniziali dell'eventuale collasso progressivo. Se queste sono rappresentate da azioni anomale questa via deve essere abbandonata, se non altro a causa della indeterminatezza delle azioni da assumere a base di progetto.
Il metodo della attivazione di percorsi alternativi dei carichi, al contrario del precedente, prende le mosse dalla ipotesi che sia stata vinta la resistenza di singoli elementi strutturali e mira a dotare il sistema di continuità e duttilità sufficienti a consentire la ridistribuzione delle forze nelle regioni non danneggiate. E' un metodo di attivazione della solidarietà fra componenti dell'organismo edilizio. In considerazione delle condizioni estreme nelle quali tale solidarietà viene invocata, e della durata relativamente ridotta di tale prestazione - che può essere limitata a quella strettamente sufficiente per trarre in salvo le persone eventualmente coinvolte nel crollo - sembra naturale non trascurare in questo scenario anche il contributo di componenti architettoniche di completamento, come le murature interne ed esterne degli edifici. Secondo questo approccio, dunque, si prescinde dalla causa iniziale che ha provocato il collasso locale e si stabilisce come obiettivo del progetto un prestabilito livello di danno finale, convenzionalmente definito ammissibile.
Rientra fra le prestazioni attese da edifici progettati secondo questi criteri, naturalmente, la minimizzazione della perdite di vite umane.
Diversi fattori, manifestamente non tutti di natura strutturale, concorrono al conseguimento di questo fondamentale obiettivo del progetto. Innanzi tutto va garantita la efficienza strutturale - anche in condizioni estreme - delle vie di fuga. A tal riguardo giova riflettere sulla circostanza che nonostante possa apparire evidente la necessità di attribuire ai corpi scale speciali caratteristiche comportamentali post-collasso, tuttavia nessuna norma oggi disciplina questo aspetto della progettazione strutturale. Il caso del tragico crollo di viale Giotto a Foggia [12] è emblematico degli effetti disastrosi del cedimento del corpo scale, avvenuto mentre molti inquilini vi cercavano invano la salvezza.
Altro aspetto è quello di una concezione dell'organismo strutturale che impedisca la propagazione del danno. Per evidenti ragioni di economia di costruzione, si deve a tal riguardo convenire sulla estensione massima di progetto ammissibile. Si potrebbe così ad esempio stabilire che del collasso locale il danno non si propaghi né in verticale - oltre i piani immediatamente soprastante e sottostante - nè in orizzontale - sullo stesso piano - per più di 70mq o comunque per più del 15% dell'area totale del piano in cui ha avuto inizio ilo fenomeno. Disposizioni in questo senso erano presenti già negli anni '70 nelle normative danesi, inglesi e svedesi (cfr. rif. [16]).
In termini di LpM (Load path Method: [10]) è come dire che nel predisporre, in sede di progetto, percorsi alternativi ai carichi dirottati dal collasso locale, è necessario individuare (e delimitarne la estensione) la regione - immediatamente contigua alle sezioni in cui si è innescato il crollo - che ha la funzione di diffondere i carichi sulle restanti membrature.

2. IPERSTATICITA', RIDONDANZA, DUTTILITA'
Condizione necessaria è naturalmente che l'opera disponga di fatto di percorsi dei carichi alternativi rispetto a quelli di normale esercizio. Si potrebbe pertanto dire che è necessario che la struttura sia iperstatica.
Si può tuttavia immeditamente riconoscere che tale condizione non è sufficiente. Infatti normalmente in sede di progetto il dimensionamento dei vari itinerari possibili non è effettuato assumendo anche la ipotesi che quelli più rigidi possano localmente essere interrotti da una rottura locale. Di conseguenza i percorsi meno rigidi risultano inadeguatamente predisposti all'eventuale afflusso straordinario di carichi che sono costretti ad attraversarli durante il collasso. Le carenze progettuali alle quali si fa qui riferimento riguardano principalmente le connessioni fra gli elementi, la cui inefficienza compromette la stabilità globale anche prima che la struttura abbia dato fondo a tutte le proprie risorse di resistenza.
Quando una struttura iperstatica è verificata anche nella ipotesi che itinerari più rigidi siano localmente interrotti e che - nel contempo - altri meno rigidi siano in grado di smaltire il flusso straordinario di carichi che di conseguenza è obbligato a percorrerli, allora si dice che essa è ridondante.
La ridondanza, poi, può essere attiva (active) se i sub-sistemi ridondanti lavorano contemporaneamente, e quiescente (standby) se invece esistono elementi di riserva che entrano in funzione solo dopo che altri vanno in disservizio (presìdi).
La ridondanza attiva offre anche la ulteriore prestazione di ridurre il rischio di innesco del collasso locale. La ridondanza quiescente, d'altra parte, è una caratteristica intrinseca (e quindi disponibile naturalmente) delle opere edili i cui componenti (murature e strutture portanti propriamente dette) sono realizzati con materiali di natura e caratteristiche così diverse.
Quello della ridondanza è un concetto relativo: la struttura è infatti più o meno ridondante rispetto ad uno specifico tipo di danneggiamento.
E' dunque necessario che l'organismo sia iperstatico e nel contempo ridondante: ma ancora non sufficiente.
Un'ulteriore fattore che concorre in modo determinante a rendere il carattere comportamentale di un edificio adeguato ad affrontare - con estensione controllata del danno - una rottura locale, è la duttilità.
Le normative tecniche, al fine di assicurare prestabiliti livelli di duttilità, impongono prescrizioni sui dettagli costruttivi. Così, ad esempio, il minimo stabilito di percentuale di armatura in una sezione in c.a. è mirato ad assicurare la sopravvivenza della sezione resistente alla sollecitazione (qualunque sia la sua origine) che eventualmente dovesse provocare in essa la fessurazione del calcestruzzo.
E' quella che potrebbe definirsi duttilità locale.
L'efficacia della Norma è però legata alla condizione che le caratteristiche dell'organismo strutturale siano tali da assicurare una forma di "tutela" (per la sezione fessurata) che continui ad essere efficace anche se le azioni esterne crescono oltre il livello che ha provocato la fessurazione. E cioè che la struttura - sopravvissuta la sezione alla prima fessurazione, e quindi al livello di sforzi interni che tocca la soglia di resistenza a trazione del calcestruzzo - offra poi percorsi interni alternativi agli ulteriori sforzi che dovessero sopravvenire, oltre quella soglia. Questo scenario - in una struttura iperstatica e ridondante - è tanto più effettivamente realizzabile quanto minore è la differenza di energia di deformazione, che i suddetti carichi devono investire, fra un itinerario abbandonato e quello alternativo [10], e quanto maggiore è la energia di deformazione complessivamente investita prima del crollo, a partire dal collasso locale.
Duttilità globale è - in conclusione - la capacità di un organismo strutturale di dare fondo alle proprie risorse di resistenza. Innanzi tutto assicurando alle sezioni più sollecitate la capacità di sopravvivere alla formazione delle prime fessure del calcestruzzo teso; e poi offrendo percorsi alternativi (a quelli che hanno provocato le fessurazioni) che eventuali ulteriori carichi possano utilizzare, con un investimento in energia di deformazione che non comprometta la compatibilità della configurazione dell'organismo con gli obiettivi prestazionali del progetto.
Al momento del progetto va dunque preliminarmente valutato se sussistono condizioni perché la struttura possa essere dotata di adeguata duttilità del suo comportamento complessivo. In caso contrario, la misura normativa, costituita dalla adozione di un minimo percentuale di armatura nelle sezioni, risulta inadeguata.
In conclusione la valutazione del rischio connesso con l'insorgere di valori effettivi delle azioni, accidentalmente maggiori di quelli assunti a base di progetto, non può prescindere da una correlativa analisi delle caratteristiche proprie della struttura.

3. LA ANALISI CON IL LpM DELLO SCENARIO DI UN COLLASSO PROGRESSIVO SUSSEGUENTE ALLA ROTTURA DI UN PILASTRO
In generale negli edifici in c.a. il danno finale atteso a seguito di un fenomeno di collasso progressivo è proporzionale all'estensione del danneggiamento iniziale. Al crescere di tale estensione, infatti, si riduce la probabilità di attivazione di percorsi alternativi efficaci, in quanto i by-pass a largo raggio richiedono grandi investimenti di energia di deformazione, e questi avvengono a prezzo di grandi assestamenti dell'edificio. Inoltre aumenta la intensità delle azioni da impatto dei frammenti in caduta, che concorrono alla propagazione del collasso.
In un edificio in c.a. gli elementi strutturali alla cui rottura locale corrisponde la maggior quantità di energia di deformazione investita dai carichi per aggirare la regione in cui è avvenuta la prima rottura - a parità di estensione di quest'ultima - sono certamente i pilastri.
L'innesco del fenomeno [12] si identifica nella interruzione locale dell'itinerario verticale dei carichi (F1, F2, ….: cfr. fig. 3.1), rappresentata con una X nella fig. 3.2.


Fig. 3.1: Il LP durante la fase "statica" dell'equilibrio.

In fig.3.3 si prospetta una possibilità di by-pass. Il carico - alla ricerca di nuovi itinerari che lo conducano in fondazione - esplorerà prima quelli a minore investimento di energia di deformazione, e per questo impegnerà i pilastri più vicini (nell'esempio di figura: i pill. 23 e 25).


Fig. 3.2: Ipotesi di collasso del pilastro 24.


Fig. 3.3: LP dopo il collasso del pilastro 24.

Si noti che il LP di fig. 3.3 prospetta sostanzialmente lo scenario secondo il quale - in corrispondenza di ciascuno dei piani - i relativi carichi portati dalle travi (rispettivamente: F8, F7 ,F6 ,F5 ,F4, F3, F2, F1) non scendano più lungo il sottostante pilastro, ma si dividano in due parti (N1' ed N1''), ciascuna delle quali subisca una doppia deviazione (all'inizio ed alla fine di ciascuno dei percorsi obliqui tratteggiati), sino ad introdursi ciascuna in uno dei contigui pilastri n° 23 e 25, che vengono infine utilizzati sino in fondazione.
Giova subito constatare che il percorso di fig. 3.3 è radicalmente diverso da quello caratteristico della fase statica (rappresentato in fig. 3.1). Infatti mentre quest'ultimo era del tutto privo di deviazioni, ora invece il carico è costretto, come si è visto, a molteplici cambiamenti di direzione, per potersi infine di nuovo inserire in un percorso verticale rettilineo entro il pilastro contiguo.


Fig. 3.4: Dettaglio della fig. 3.3.

Orbene in ogni nodo in cui l'itinerario subisce una deviazione - come è noto [10] - il carico imprime alla struttura una spinta orizzontale (in figura 3.3 : H8, H7, H6, H5, H4 H3, H2, H1). La nascita di queste forze orizzontali è conseguente a condizioni di equilibrio locale del nodo. Questo scenario dimostra che la rottura di un pilastro del telaio portante di un edificio in c.a. comporta l'insorgere di azioni analoghe a quelle prodotte da un sisma, che tuttavia producono effetti spesso assai più disastrosi. Tanto più disastrosi in quanto le forze orizzontali risultano - sebbene localizzate - tuttavia assai più intense di quelle di un terremoto ed in quanto spesso si abbattono su opere del tutto impreparate all'evento. La grande intensità delle forze H è immediatamente percepibile dal modello LP: quando (come in talune maglie della figura) l'angolo di inclinazione delle traiettorie oblique scende al di sotto dei 45° le spinte orizzontali attingono valori addirittura superiori a quelli dei carichi itineranti che le hanno prodotte.
In fig. 3.5 si illustrano possibili itinerari obliqui di forze verticali entro una maglia di telaio in c.a. che confina un pannello di muratura [13].


Fig. 3.5: Itinerari possibili di forze verticali entro una maglia di telaio in c.a.

Si può notare che il caso di ciascuna delle due aliquote (F' ed F'', con : F=F' + F'') in cui si suddividono le forze F ai vari piani, in Fig. 3.3, corrisponde a quello (1) di Fig. 3.5: il carico del generico piano dovendo rinunciare al percorso verticale entro il pilastro, in conseguenza della sua rottura, "torna indietro", risale lungo il medesimo pilastro, raggiunge il nodo di intersezione con la trave e qui - per raggiungere la colonna contigua - sceglie fra le varie strade possibili quella a minore dissipazione di energia di deformazione. A tal fine utilizza anche la muratura, tanto più se questa è sì fragile, ma rigida e confinata.
L'alternativa (se non fosse utilizzabile la muratura) è mostrata dalla fig. 3.5-(2). Il carico verticale F è ora obbligato ad utilizzare la trave. L'itinerario che ne risulta è quello classico delle regioni B (Beam, o Bernoulli o Bending): un continuo alternarsi di tratti obliqui di trazione e di compressione.


Fig. 3.6: Itinerari possibili di forze orizzontali entro una maglia di telaio in c.a.

Il conseguente itinerario risulta manifestamente tormentato. La spinta è costretta (da esigenze di economia dell'energia di deformazione) a continue deviazioni, che a loro volta comportano ulteriori spinte (questa volta verticali).
Fra le due ipotesi (1) e (2) di fig. 3.5 accade molto spesso che la prima (quella che presuppone la utilizzazione delle murature) risulti più "conveniente" e, quindi, venga preferita dal carico. Infatti lungo di essa è spesso necessario un minore investimento di energia di deformazione - nonostante il materiale costitutivo delle murature sia normalmente meno rigido di quello delle strutture - proprio per le caratteristiche geometriche dell'itinerario (che come si è visto è di gran lunga meno tortuoso) e per la minore quantità di spinte, che a loro volta implicano ulteriore investimento in energia di deformazione lungo il loro stesso percorso.
In fig. 3.6 si illustrano possibili itinerari di forze orizzontali (spinte), corrispondenti ai due casi della fig. 3.5, che si è precedentemente proposta per itinerari obliqui di forze verticali. Si può immediatamente riconoscere che si ripetono le problematiche esaminate in precedenza, ed in particolare la circostanza che lungo tali percorsi nascono inevitabilmente, in corrispondenza di ogni nodo di deviazione, spinte ortogonali alla direzione delle forze itineranti, che a loro volta impegnano il sistema strutturale e impongono ulteriori trasformazioni di energia potenziale in energia di deformazione (assestamenti).
La differenza fra la ipotesi di attraversamento del pannello murario, e quella di attraversamento delle colonne, anche in questo caso, risiede solamente nel numero di deviazioni e di spinte: ancora una volta la preferenza potrebbe cadere sull'itinerario assai meno tortuoso, che impegna la muratura.
Fra i due casi mostrati dalle figg. 3.5 e 3.6 - nonostante la analogia - è tuttavia assai rilevante la differenza sotto il profilo concettuale.
Mentre infatti i carichi verticali normalmente non seguono i percorsi deviati rappresentati dalla fig. 3.5, in quanto utilizzano le naturali traiettorie verticali offerte dai pilastri, che abbandonano solo straordinariamente, come nel caso proposto di rottura di una di queste traiettorie; al contrario le forze (spinte) orizzontali assai spesso non hanno alternativa: sono costrette a fluire lungo itinerari tormentati. Ciò - come si è visto - è conseguenza del fatto che esse non sono orientate "naturalmente" verso l'obiettivo al quale pure sono dirette (il terreno di fondazione oppure una controspinta equilibrante, situata però a livelli diversi, come il piano immediatamente soprastante o quello sottostante).
Il by-pass della rottura illustrato sarebbe possibile - naturalmente - solo se lungo esso non si verificano rotture conseguenti al transito dei carichi F8 ,F7 ,F6 ,F5 ,F4, F3,F2 ,F1.
E' tuttavia assai probabile che tali rotture invece si verifichino, specie se l'organismo strutturale dell'edificio non è stato predisposto in sede di progetto a simili eventi straordinari.
La possibilità di attivare questa fondamentale estrema risorsa di resistenza - che consentirebbe all'edificio di "sopravvivere" (con limitato danno alle persone) anche alla rottura di un pilastro - riposa dunque sulla sua capacità di resistere al nuovo scenario. E tale capacità dipende a sua volta da un adeguato dimensionamento e da una corretta mutua connessione degli elementi strutturali coinvolti dal comportamento statico prospettato in fig. 3.3. Il modello LpM mostra chiaramente quali siano tali elementi.
(a) Lungo la pilastrata in cui si è ipotizzato il collasso locale: i pilastri soprastanti la tesa in cui è avvenuto il collasso (si noti il percorso a tratto intero, che configura un itinerario di trazione).
(b) Lungo gli impalcati orizzontali: le travi ed i solai, entro i quali si muovono le spinte orizzontali H8, H7, H6, H5, H4 H3, H2, H1.
(c) Le murature e/o i pilastri coinvolti dai percorsi obliqui (si rivedano le figg.3.5 e 3.6).
(d) Lungo le pilastrate contigue (nn° 23 e 25): tutti i pilastri, obbligati a portare non solo una delle due aliquote (N'1 ed N''1 ) in cui si è suddiviso il carico N1, ma anche - come mostra la fig. 3.6 - le spinte verticali V, (
SVH), conseguenti alla attivazione della solidarietà delle maglie di telaio (fra i pilastri 22-23 e 25-26) contigue a quelle di appartenenza del pilastro 24 (fra i pilastri 23-24 e 24-25), che ha subito il collasso.
(e) La struttura di fondazione dei pill. nn° 23 e 25, anch'essi impegnati in misura straordinaria dall'avvento dei nuovi carichi (di N'1 ,N''1 e VH).
(f) Il terreno di fondazione immediatamente sottostante i blocchi di fondazione dei pilastri nn° 23 e 25, a sua volta straordinariamente sollecitato, in conseguenza dell'avvento dei nuovi carichi.
(g) I "nodi" strutturali entro i quali avviene la deviazione dei percorsi, e di conseguenza l'introduzione delle spinte nel sistema strutturale.

Se cedesse anche uno solo degli elementi resistenti elencati - tutti indispensabili per assicurare al carico N1 gli itinerari alternativi a quello interrotto dall'assunto collasso del pil. n° 24 alla 1^ tesa (secondo la rappresentazione della fig. 3.2) - le conseguenze sarebbero le seguenti.
Si produrrebbe una seconda rottura locale [in (a), oppure in (b), (c), (d), (e), (f),(g)], per cui la aliquota del carico N1 sarebbe costretta ad abbandonare anche questo nuovo itinerario, ed a cercarne un altro.
Come si può immaginare, altri by-pass sarebbero in teoria praticabili, ma richiederebbero un nuovo investimento in energia di deformazione, peraltro inevitabilmente più rilevante di quello precedente.
Questa circostanza merita una riflessione, in considerazione del fatto che essa costituisce uno degli elementi caratterizzanti le modalità di collasso fragile, che appunto implicano un rapido esaltarsi dei fenomeni deformativi, conseguenti al susseguirsi delle rotture locali. Si è detto che, in base al principio del minimo di energia di deformazione, ogni volta che intraprende un nuovo cammino il carico sceglie quello che richiede il minimo investimento. Pertanto il nuovo percorso non può non richiedere una maggiore energia del precedente e provoca di conseguenza un assestamento maggiore.
Se infatti il nuovo itinerario avesse richiesto minore investimento rispetto a quello vecchio - abbandonato in conseguenza della sua rottura locale - la preferenza per quest'ultimo, all'inizio della fase statica della vita dell'edificio, sarebbe stata manifestamente in contrasto con l'enunciato principio.
Si è detto, dunque, che la crisi iniziale evolve verso un collasso progressivo quando si produce una rottura anche nella nuova configurazione dell'organismo strutturale, rappresentata ad esempio dal modello di fig. 3.3.
Il crollo generale è infine la rappresentazione fisica della perdita totale della energia iniziale di posizione dei carichi, dispersa nel vano tentativo di trovare alternative ai molteplici percorsi, esplorati ma subito abbandonati per il sempre più rapido susseguirsi delle rotture locali.
A titolo di esempio si può analizzare questo scenario nel caso (peraltro assai comune) in cui a cedere sia proprio il pilastro contiguo (il n° 25) a quello (il n° 24) nel quale ha avuto inizio il fenomeno (fig.3.7). E' l'elemento contrassegnato con d nell'elenco proposto di tutti gli elementi indicati come essenziali ai fini del funzionamento del modello di fig. 3.2 La situazione di tali pilastri contigui è ora infatti di gran lunga peggiori alla ricerca di un nuovo percorso ora non c'è più il carico di un solo pilastro ma quello del pilastro 24 e del pilastro 25 a loro volta notevolmente incrementati dal sommarsi delle spinte verticali (V).


Fig. 3.7: Collasso a catena -dalla rottura del primo pilastro alla rottura del pilastro contiguo.

Si riconosce immediatamente che il fenomeno diventa rapidamente via via sempre più "drammatico": contemporaneamente accade che la intensità dei pesi che sono costretti a tormentati percorsi di emergenza cresce straordinariamente e si allungano i percorsi verso i pilastri ancora integri, sempre più lontani dal punto in cui il fenomeno ha avuto inizio. Cresce, quindi, rapidamente l'energia di deformazione durante questo gravissimo fenomeno, che abbiamo definito collasso progressivo o a catena. A catena: in quanto ogni rottura locale provoca effetti più gravi delle cause che l'hanno prodotta; e ciascuno di questi effetti si abbatte sugli elementi strutturali contigui, diventando causa di condizioni ed effetti sempre più gravi.
Lo scenario descritto è quello che può essere definito comportamento fragile di sistema.

4. LA PROGETTAZIONE DEI DETTAGLI COSTRUTTIVI PER LIMITARE IL RISCHIO DI COLLASSO PROGRESSIVO: ESPERIENZE IN ATTO IN EDIFICI DELLO I.A.C.P. DI BARI
La progettazione di un edificio, orientata verso l'obiettivo di dotarlo di una capacità controllata di "resistere al fenomeno di collasso progressivo", non deve dunque riguardare solo gli aspetti squisitamente strutturali. Il LP di fig. 3.2 - come si è visto - permette di individuare, con la evidenza che è propria dei modelli geometrici, tutti gli elementi strutturali essenziali ai fini della attivazione del sistema solidale che assicura la sopravvivenza dell'edificio alla rottura di un pilastro. Una guida per la progettazione può dunque essere rappresentata proprio dalla lista precedentemente proposta [da (a) a (g)]. Si può convenire (particolarmente a proposito dei punti (c), (e) ed (f) ) che è necessaria un'adeguata attenzione alla concezione globale, architettonica e strutturale, ed alla integrazione di questi due aspetti del progetto. Il tema merita uno specifico approfondimento, anche in considerazione del fatto che è molto spesso possibile utilizzare a basso costo caratteristiche intrinseche del progetto architettonico per assicurare agli edifici formidabili presidi contro il rischio di collasso progressivo.

4.1 Le armature dei pilastri
Tenendo sempre come riferimento il modello di fig. 3.2., si può anche affermare che la capacità di "sospensione" dei carichi lungo i pilastri per consentirne la risalita alla ricerca di percorsi alternativi (punto (a) del par. precedente), la predisposizione all'interno degli impalcati di itinerari anche di trazione utilizzabili dalle spinte orizzontali (punto (b) del par. precedente), la organizzazione dei nodi adeguata alla necessità di solidarizzare fra di loro itinerari di compressione e di trazione (punto (g) del par. precedente), rappresentano altrettanti obiettivi del progetto per il cui conseguimento sono necessari specifici provvedimenti riguardanti la disposizione, il dimensionamento ed i dettagli costruttivi delle barre di armatura.


Fig. 4.0a: Progetto esecutivo delle strutture per la costruzione di n. 2 fabbricati
con n. 36 alloggi di E.R.P. in Andria - sezione trasversale di un pilastro.

Applicazioni di criteri di progettazione mirati agli obiettivi indicati possono riscontrarsi nel progetto esecutivo di alcuni edifici per civile abitazione, da realizzarsi in Andria, da parte dell'Istituto Autonomo per le Case Popolari della Provincia di Bari.
Vari i provvedimenti adottati. Ci si sofferma prima su quello che sembra offrire un assai elevato rapporto fra beneficio e costo di costruzione.
Si riporta nelle figg. 4.0a e 4.0b la soluzione adottata per l'armatura dei pilastri nel citato progetto esecutivo strutturale [14]. Essa prevede l'inserimento di armatura aggiuntiva composta da forcelle verticali (poss. 5 e 6 nelle figg. 4.0a e 4.0b) che permette ai carichi Fi di risalire di almeno una tesa coerentemente con il percorso descritto in fig. 3.3. (punto (a)).


Fig. 4.0b: Progetto esecutivo delle strutture per la costruzione di n. 2 fabbricati
con n. 36 alloggi di E.R.P. in Andria - stralcio distinta dell'armatura di un pilastro.

Nell'ottica del comportamento post-collasso, e con riguardo alla specifica prestazione di "sospensione" dei carichi, che si richiede ai pilastri, vanno naturalmente adeguate le prescrizioni inerenti non solo la quantità di armatura (ed in particolare la percentuale geometrica minima), ma anche i dettagli relativi agli ancoraggi ed alle giunzioni.

4.2 Il funzionamento a catenaria degli impalcati
Un altro efficace accorgimento progettuale adottato per il progetto delle palazzine I.A.C.P. di Andria (Bari) è rappresentato dalla organizzazione delle armature orizzontali di impalcato efficace ai fini dell'accoglimento delle rilevanti azioni orizzontali che si destano in occasione dei fenomeni di collasso, come illustrato nel par.3.

4.2.1 Solai bidirezionali
Nel prospettare i meccanismi resistenti che potrebbero consentire alla struttura il by-pass si è mostrato come i carichi potrebbero a tal fine utilizzare gli stessi elementi strutturali che compongono l'impalcato, tuttavia secondo modalità naturalmente diverse da quelle caratteristiche della fase di esercizio, cosiddetta statica.
Un pannello di solaio a nervature incrociate vincolato lungo i lati da travi estremamente rigide (o da setti) si comporta essenzialmente come un singolo pannello vincolato lungo i bordi agli spostamenti verticali e orizzontali. Il funzionamento di pannelli di c.a. in regime membranale è stato investigato nel passato (un rilevante lavoro di sintesi è stato svolto da Mitchell (1986), [5]). Dopo una fase iniziale di funzionamento in regime flessionale sopraggiunge la rottura nelle sezioni critiche, cui seguono grandi deformazioni, in conseguenza delle quali si attiva il meccanismo di funzionamento a catenaria. Questa risorsa estrema offre notevoli capacità di resistenza per sospensione alle armature (v. fig. 4.1). Il collasso finale si ha solo con la rottura dell'armatura inferiore.


Fig. 4.1: Andamento qualitativo della portanza di un solaio.

Park [17] propone una formulazione diretta dello spostamento verticale del centro del pannello rettangolare, soggetto ad un carico distribuito. Le ipotesi sono che sia vincolato agli spostamenti verticali ed orizzontali lungo i bordi; che tutte le armature siano snervate; che l'acciaio abbia un comportamento perfettamente plastico dopo lo snervamento e che la membrana non abbia alcuna resistenza flessionale residua.
Mitchell e Cook [18] sviluppano un programma al computer per prevedere la risposta post-collasso delle piastre. L'armatura delle piastre viene assimilata a travi utilizzando modelli per una analisi non lineare, così da mettere in conto le variazioni subite dalla geometria in conseguenza delle grandi deformazioni necessarie ad attivare il comportamento membranale. Tutti gli elementi sono ovviamente semplici aste ed ogni resistenza flessionale residua della piastra è ignorata. Viene adottato un procedimento iterativo passo-passo: la risposta ultima della membrana tesa si ottiene valutando gli spostamenti dopo una serie di incrementi di carico. Con questo modello si possono imporre anche condizioni al contorno complesse e non è richiesta alcuna ipotesi sulla forma della membrana inflessa.
Si può riscontrare che anche singoli pannelli vincolati verticalmente ma non orizzontalmente lungo i bordi sono in grado di attivare il funzionamento a membrana tesa se dotati di armatura continua e ben ancorata lungo i bordi stessi. Infatti se gli sforzi di trazione nelle armature non sono equilibrati dai vincoli lungo i bordi, possono tuttavia auto equilibrarsi entrando in un percorso anulare perimetrale di compressione, ad anello.
In figura 4.2 si mettono a confronto i risultati relativi a pannelli doppiamente vincolati con quelli semplicemente appoggiati. Sebbene il comportamento iniziale sia differente in virtù delle differenti condizioni di vincolo, tuttavia in seguito si sviluppano comportamenti analoghi, caratteristici di una membrana tesa.


Fig. 4.2: Confronto fra il comportamento di pannelli differentemente vincolati
lungo i bordi basati sui test di Brotchie e Holley (1971).

Si tratta di un comportamento assai efficace per assicurare la formazione di una membrana tesa anche nei campi di solaio (come ad esempio quelli esterni o di angolo) nei quali non è possibile confidare su alcun adeguato vincolo agli spostamenti orizzontali.


Fig. 4.3: Funzionamento a membrana tesa dei singoli campi di un solaio bidirezionale

In fig. 4.3 si mostra che ogni campo interno di un solaio bidirezionale può comportarsi, se ben armato inferiormente, come una membrana a trama bidirezionale, vincolata lungo i bordi a catenarie tese fra i centri delle colonne. Queste catenarie costituite da barre continue trasmettono il carico alle colonne se ben ancorate alle stesse. E' indispensabile che siano appoggiate fisicamente alla faccia orizzontale superiore del pilastro, passando all'interno delle sue barre verticali, e siano ivi trattenute dalle staffe dello stesso pilastro.
I campi di solaio esterni formano delle membrane monodirezionali estese fra i pannelli esterni adiacenti. Queste membrane monodirezionali sono appoggiate alle catenarie che corrono perpendicolarmente al bordo libero.
Il meccanismo resistente post-collasso dei pannelli d'angolo è costituito dalla formazione di catenarie diagonali che tagliano l'angolo trovando nei pannelli adiacenti un vincolo rigido nel proprio piano.
Studi sperimentali effettuati su interi impalcati formati con solai bidirezionali hanno messo in luce che, assimilata la struttura ad un'unica membrana tesa, la sua analisi con i metodi di calcolo citati è in genere cautelativa e consente di stimare con soddisfacente attendibilità la misura del carico uniforme in corrispondenza di un abbassamento al centro di 0,15ln.
Si ribadisce la decisiva importanza, tuttavia, che sulla attivazione di questi meccanismi svolge una corretta disposizione dei dettagli di ancoraggio e di giunzione delle barre, che fungono da catene.
Mitchell e Cook [18] definirono un'espressione per il calcolo della singola catenaria, assumendo che la stessa dovesse portare un carico uniforme pari alla metà di quello gravante sull'area di sua pertinenza nel caso di solaio monodirezionale. Detta dunque l2 la distanza fra le mezzerie dei campi di solaio a sinistra e a destra della catenaria stessa, dall'equazione di equilibrio per il calcolo iterativo del carico sulla piastra già citato si ha:

Tc = forza di trazione nell'armatura inferiore che costituisce la catenaria;
ln = luce netta della catenaria;
e = deformazione specifica dell'armatura stessa;
w = carico uniforme sul solaio.
Fissato il valore della freccia limite pari a 0,15ln, la deformazione specifica nell'armatura è pari a 0,0538 e dunque risulta: Tc=0,465 w ln l2.
Di conseguenza, a vantaggio di sicurezza, si può assumere che l'armatura inferiore continua - che va a costituire la catenaria - debba avere un'area Asb pari a:

con
Fs coefficiente di sicurezza per la resistenza del materiale e ws carico distribuito non minore dell'intero carico di servizio non ridotto per alcun fattore.
Affinché possano considerarsi continue le barre dell'armatura inferiore devono (v. fig. 4.4) esser dotate di giunzione per sovrapposizione all'interno dell'area di diffusione della reazione delle colonne per una lunghezza non inferiore a ld. In alternativa la giunzione può trovarsi all'esterno dell'area suddetta, ma in tal caso la sua lunghezza va raddoppiata. Altra condizione essenziale è che esse siano piegate o uncinate o comunque ancorate alle estremità e nelle zone di discontinuità in modo da poter sopportare una tensione pari al limite di snervamento in corrispondenza della sezione di attacco colonna-solaio.


Fig. 4.4: Schema elementare per le disposizioni di dettaglio per la continuità
delle armature inferiori: (a) caso di solai piani; (b) caso di solai a fungo.

L'inserimento delle staffe delle travi anche all'interno dei nodi, e tutte le disposizioni costruttive specifiche delle verifiche a punzonamento risultano particolarmente efficaci anche ai fini della attivazione di questi comportamenti post-collasso.
Le raccomandazioni di progetto e sui dettagli costruttivi elaborate da Mitchell e Cook furono recepite dalle normative canadesi (Canadian Standards Association Code del 1984).

4.2.2 Solai unidirezionali
Si affronta ora il caso dei solai tessuti in una sola direzione, portati da travi principali e con nervature secondarie costituite da travetti gettati in opera o semi-prefabbricati con interposti blocchi di alleggerimento ([11]).


Fig. 4.5: Generica catenaria soggetta a carico distribuito uniforme
con estremità a quote differenti

Si consideri una semplice catenaria in acciaio con area della sezione trasversale A soggetta ad un carico uniforme q e tesa fra due supporti in grado di esercitare vincolo orizzontale e collocati a distanza l. Uno dei due vincoli è più in basso di h rispetto all'altro, a seguito di un cedimento verticale (v. fig. 4.5). Per l'equilibrio:
dT/dx=-q (4.1)

T = H tang = H y' (in prima approssimazione) dunque
H y'' = -q (4.1)
Integrando, imponendo le condizioni y(0)=h e y(l)=0, abbiamo:
(4.2)
Si noti che questa parabola ha un vertice nel punto x = a = l/2 - Hh/ql che cade fra i due supporti solo se H applicato non è troppo elevato; in questo caso si avrebbe una freccia massima
(4.3)

(posto
h=h/l ).
In caso contrario l'abbassamento massimo coincide con la quota dell'estremo che ha ceduto, cioè h.
Al variare di H è possibile individuare un andamento della catenaria che rispetti la condizione di equilibrio 4.1, ma esiste un unico valore di H che garantisce la congruenza della deformazione della catenaria con la condizione che il suo allungamento sia pari all'allungamento elastico concesso alla stessa dalle relazioni costitutive del materiale di cui è costituita1.
1Il fatto che l'allungamento della catenaria avvenga tutto in campo elastico è immediata conseguenza delle condizioni d'equilibrio da imporre alla stessa: poiché H è costante e g variabile (da 0 al vertice ad un massimo ad una od entrambe le estremità); ci sarà una (o due) sezioni in cui lo sforzo assiale N raggiungerà un massimo che, nell'ipotesi di trascurare l'incrudimento del materiale della catenaria sarà pari al limite elastico dello stesso. Pertanto lungo tutta la catenaria il materiale rimarrà in campo elastico.

La lunghezza totale L della catenaria deformata è:

Se dunque inizialmente la catenaria era distesa fra i due supporti collocati alla stessa quota, l'allungamento complessivo subito Dl risulta pari a:
(4.4)

Nel contempo alla catenaria, soggetta punto per punto allo sforzo assiale

è concesso un allungamento elastico
(4.5)

Eguagliando l'allungamento geometrico a quello elastico otteniamo la condizione di congruenza:
(4.6)

A partire da questa equazione si può valutare lo sforzo H tale che la catenaria abbia sezione di area minima per soddisfare la verifica di resistenza, cioè la A = Nmax / fyd, con
(4.7)

Calcolato H risulta definito l'andamento della catenaria e si può ricavare la freccia massima per controllare se è soddisfatta la verifica di deformabilità.
In alternativa si può imporre a priori una freccia massima
h per la catenaria, ricavando la H dalla (4.3) (nell'ipotesi che la deformata abbia vertice fra i due supporti):


Riportato nella (4.6) il valore di H ottenuto si può ricavare A:
(4.8)

e determinare di conseguenza il livello tensionale lungo la catenaria.


Fig. 4.6: Effetto dell'inclinazione della catenaria

Invero, a rigori, l'equazione d'equilibrio della catenaria, tenendo conto che il carico, elemento per elemento, non agisce più su un tratto dx bensì ds sarebbe (v. fig.4.6b):
(4.9)
Posto z=y':

e integrando a variabili separate


Fig. 4.7: Schema geometrico della catenaria impiegato per la soluzione esatta

Assumendo l'asse Y come passante per il vertice e diretto verso l'alto (v. fig. 4.7), si ha che z(0)=0 Þ C1=0 e che nell'equazione precedente q debba esser preceduto dal segno + e non da - ; si ottiene allora (Cella [1999])
dunque
(4.10)
una volta posto c=H/q.
L'ascissa curvilinea di un punto (x,y) della catenaria a partire dal vertice è, ricordando che ds=(1+(y'))1/2dx

La lunghezza della catenaria deformata diviene:
(4.11)
Per esplicitare xB osserviamo che
     (4.12)
Dividendo la (4.11) per la (4.12) si ha:

        (4.13)

da sostituirsi nella (4.11). Nell'espressione di L resta (in genere) incognita H. Per determinare H va ovviamente imposta la condizione di congruenza, cioè l'eguaglianza di
Dl=L-l con l'allungamento elastico

sino ad ottenere un'espressione da impiegare alla stregua della (4.6).
In questa sede non considereremo la soluzione esatta per la deformata della catenaria sia per il notevole incremento dell'onere computazionale non giustificato da significativi miglioramenti della precisione dei risultati, sia perché non è corretto ipotizzare che una variazione di lunghezza della catenaria comporti variazioni del carico sui tratti elementari della stessa, come accade nel caso delle funi ove il carico coincide col peso della fune stessa.
Ricavate le relazioni per il calcolo della catenaria, vediamo di applicare le stesse per analizzare il comportamento post-collasso di un solaio unidirezionale.
Si ammette che l'innesco del fenomeno si identifichi con la rottura, in corrispondenza di una sola tesa, di un pilastro interno e che la trave principale (a spessore) che ha perso con esso un supporto verticale sia costretta a funzionare a catenaria con luce l doppia rispetto a quella delle campate della trave a cavallo del nodo col pilastro.
Supponiamo che il comportamento dei travetti non sia esclusivamente a catenaria e che, a vantaggio di sicurezza, il grado di vincolo offerto loro dalla trave sia uguale a quello offerto dalle travi alle estremità opposte.
In tal caso, nell'ipotesi di carico distribuito uniforme w sull'impalcato, sulla trave agirà un carico uniforme q=w
× lt/2.
La trave principale potrebbe:
- ricevere un aiuto in corrispondenza del nodo sul pilastro collassato (in virtù della rigidezza flessionale di travi ortogonali e/o del funzionamento a tirante della tesa superiore del pilastro) e in questo caso lo schema di funzionamento sarebbe quello di fig. 4.8b;
- non ricevere alcun aiuto da altri elementi portanti, e in questo caso lo schema di funzionamento sarebbe quello in fig. 4.8a;


Fig. 4.8: Schemi statici per una trave principale in funzionamento a catenaria

A vantaggio di sicurezza, ammettiamo valida la seconda ipotesi: si vuole determinare la quantità di armatura inferiore da portarsi continua.
A titolo di esempio si considera il caso in cui lo spessore del solaio sia pari a 25cm. Al variare della larghezza e della luce della trave si calcolano il momento resistente limite e, quindi, il carico distribuito uniforme q cui la trave può esser assoggettata nell'ipotesi che il momento massimo sia M=kqlp2.
Si assume k=1/14 ed lP (luce trave principale) pari all'interasse fra i nodi successivi. Si valuta il momento resistente come quello limite in corrispondenza del quale è soddisfatta la verifica alle t.a. nell'ipotesi che al lembo più compresso il calcestruzzo sia soggetto ad una tensione pari alla (
sc)amm e che l'armatura inferiore sia soggetta alla (ss)amm.
Si considerano i casi in cui la larghezza della trave sia pari a 50, 70, 90, 110, 130cm e lunghezza pari a 3,5m, 4,5m e 5,5m.
A titolo di esempio si riportano nella tab. 4.1 i risultati relativi al caso in cui lo spessore del solaio sia 25cm e le travi siano realizzate con cls di classe Rck 300 (o C25/30) ed armature con barre FeB44K.

Tabella 4.1: Percentuale armatura inferiore continua per il funzionamento a catenaria di una trave principale in un telaio di spina, a spessore (25cm) realizzata con cls Rck 300 e barre di armatura FeB44K

Luce trave l [m] 3,50 3,50 4,50 4,50 4,50 5,50 5,50
Larghezza trave B [cm] 50 70 70 90 110 110 130
Altezza trave H [cm] 25 25 25 25 25 25 25
Copriferro d [cm] 3 3 3 3 3 3 3
Rapp. geometrico armatura tesa rs 0,7% 0,7% 0,7% 0,7% 0,7% 0,7% 0,7%
h limite assunto (=f/l) 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15
% armatura di continuità 76% 76% 59% 59% 59% 48% 48%

Si rileva che, nelle ipotesi fatte per la stima del carico uniforme, la percentuale di armatura inferiore da portarsi continua non varia al variare della larghezza della trave a parità degli altri fattori.
Essa invece cresce al crescere della qualità dell'acciaio delle barre e al crescere dello spessore del solaio, e decresce al crescere della lunghezza della trave e della qualità del cls impiegato.
In casi ordinari, le percentuali di armatura da portarsi continua oscillano fra il 30% e quasi l'85%. Di conseguenza si può ritenere che se l'armatura massima in campata, necessaria in esercizio, fosse portata sino agli appoggi, sarebbe sufficiente a garantire il funzionamento a catenaria.
E' indubbio che l'armatura inferiore continua necessaria si ridurrebbe in presenza un contributo degli elementi trasversali, e cioè se i travetti funzionassero a loro volta a catenaria.
In tal caso il carico sulla trave principale sarebbe funzione delle deformate dei travetti che a loro volta sono funzione dell'abbassamento del punto d'attacco alla trave principale. Passando dal discreto al continuo possiamo ipotizzare che anziché ai travetti la trave principale sia vincolata trasversalmente lungo ogni tratto dx ad una catenaria di sezione At·dx/i, ove At è l'armatura inferiore continua nel singolo travetto e i è l'interasse fra i travetti. L'equazione di equilibrio per la trave diviene: H y'' = VA(y)
ove VA(y) è la reazione verticale di questa "catenaria trasversale elementare" al punto di vincolo con la trave principale.
(4.14)
con lt lunghezza del travetto; dunque essendo ht=y l'equazione d'equilibrio per la catenaria-trave principale diviene:
(4.15)
equazione differenziale del 2° ordine che, essendo espressi i coefficienti variabili da funzioni implicite (la (4.6) ), può esser risolta per via numerica.
In questa sede è comunque sufficiente considerare che all'aumentare dell'abbassamento di una estremità della travetto-catenaria, il vertice si sposta verso l'estremità cedevole, il carico verticale su di essa si riduce ma il tiro nella catena cresce notevolmente. Si può dimostrare che la condizione in cui il travetto non è più portato dalla trave principale si verifica in condizioni ordinarie (solaio da 25cm, luci da 4 a 6,25m, carico unitario 800daN/m2) quando l'abbassamento dell'estremità è nell'ordine del 5
¸6% e che in queste condizione il tiro richiederebbe un'armatura dal 200 al 400% di quella che ordinariamente disporremmo inferiormente nel travetto, per la verifica a flessione al momento positivo in campata.
E del resto per luci delle travi principali prossime a quelle dei solai una tale condizione si verificherebbe per abbassamenti - della travata che funzioni a catenaria -dell'ordine del 2
¸4%, assolutamente verosimili, pur considerando lo sgravio del carico sulla trave stessa dovuto al contributo dei travetti. In definitiva il funzionamento completo a catenaria del sistema di impalcato costituito dai travetti e dalla trave non gioverebbe a quest'ultima, se non a rischio di rottura dell'armatura inferiore dei travetti.
Questo a meno di scorrimenti dell'armatura che, però, comprometterebbero l'ancoraggio della stessa alle estremità, potendosi in tal caso far affidamento solo sulla tensione d'aderenza residua.
E' dunque più favorevole lo scenario che prevede che il travetto si rompa in corrispondenza di sezioni critiche, restando tuttavia appeso alla sua armatura; che le suddette sezioni siano sufficientemente distanti fra loro e che fra di esse il travetto stesso funzioni in regime flessionale. Al limite se il travetto si rompesse solo presso le estremità (è per esso la condizione più gravosa) la trave principale alla sua estremità porterebbe la metà del carico totale gravante sul travetto, in coincidenza con l'ipotesi cautelativa sul funzionamento della trave principale.
Osserviamo ora che affinché il funzionamento a catenaria sia attivabile non è sufficiente che vi sia adeguato quantitativo di armatura continua nella trave principale, ma è anche necessario che il resto della struttura possa equilibrare il tiro alle estremità della catenaria stessa. Per valutare le sollecitazioni alle quali devono far fronte gli altri elementi si consideri quanto riportato nella fig. 4.9a, che si riferisce per semplicità al caso di un impalcato su tre telai longitudinali.
Il tiro T all'estremità della trave principale funzionante a catenaria sfrutterà la soletta come membrana compressa per equilibrarsi con il tiro proveniente dall'altra estremità della stessa trave2.
2 E' questo un percorso a minore energia di dissipazione rispetto ad altri che impegnino elementi secondari dell'impalcato, magari facendoli lavorare in regime flessionale.

Lo sforzo per raggiungere la soletta dovrà risalire nella trave principale (cfr. fig. 4.9b) mediante percorsi diagonali di compressione: ogni aliquota elementare che risalirà andrà incontro a due deviazioni generando una coppia di spinte H1(3).
3 In pratica il tiro T va incontro ad un U-Turn, secondo il gergo del metodo LP, suddiviso nelle sue aliquote elementari.

L'intensità di queste spinte dipende dall'inclinazione delle diagonali compresse e dal numero e dall'entità delle aliquote elementari DT nelle quali si decompone T. Se ammettiamo q=45° e passiamo dal continuo al discreto, risulta H1 = DT = T×z/L, ove z è l'altezza utile della trave a spessore ed L la lunghezza dell'armatura inferiore che si può considerare in continuità con quella del campo nel quale si è attivato il funzionamento a catenaria.


Fig. 4.9a: Percorso del tiro T nel meccanismo di funzionamento a catenaria
(vista assonometrica).


Fig. 4.9b: Risalita del tiro dall'armatura inferiore verso l'estradosso della trave principale.


Fig. 4.9c: Trasferimento delle spinte H1/2 verso le travi di bordo (vista assonometrica).

Queste coppie tenderanno ognuna ad equilibrare la precedente e la successiva sfruttando dei percorsi di trazione trasversale all'interno della trave principale (garantiti dalla staffatura): restano non equilibrate la prima e l'ultima delle spinte H1.


Fig. 4.9d: Percorso delle spinte H1/2 all'interno delle travi di bordo.

Seguiamo dapprima lo sforzo principale. Questo divenuto di compressione al corrente superiore della trave, C1=T, "entra" nella soletta seguendo percorsi diagonali di compressione e raggiungendo il corrente superiore delle travi di bordo. Se il solaio è simmetrico rispetto al piano medio del telaio di spina, ogni aliquota elementare DC si suddividerà in aliquote uguali verso le travi di bordo. Ognuna di queste aliquote andando incontro ad una coppia di deviazioni genera una coppia di spinte H2, pari, nell'ipotesi che l'inclinazione della diagonale compressa sia di 45° rispetto alla direzione longitudinale, a .

Le
DC/2 raggiungono le travi di bordo e "scendono" dal corrente superiore a quello inferiore (in figura 4.9a è rappresentata la discesa della loro risultante C).
Le H2 delle due
DC in corrispondenza della trave principale si equilibrano reciprocamente, mentre quelle sulle travi di bordo si possono autoequilibrare solo inserendo dei tiranti che possono esser costituiti da una armatura continua longitudinale (cioè parallela ai travetti) nella soletta.
Passiamo ora ad esaminare il percorso delle spinte H1.
Esse tenderanno a suddividersi in due aliquote. Le H1' cercano l'equilibrio con un percorso attraverso le colonne (sollecitate, rispettivamente, quella in testa a trazione e quella in coda a compressione) ed una H1" che cercheranno un percorso di equilibrio tutto interno all'impalcato.
Supponendo a vantaggio di sicurezza che risulti H1''= H1 ,si osserva che esse dapprima agiranno come un carico concentrato in mezzeria sulle strisce terminali della campata di solaio in oggetto (cfr. fig 4.9c) per trasferirsi poi sulle travi di bordo e traslando in ognuna di esse (cfr. fig 4.9d) le H1/2 si faranno mutuamente equilibrio. La traslazione attraverso le travi di bordo genera coppie di spinte che sollecitano queste ultime a flessione. La coppia prodotta da queste spinte equilibra quella generata dalla "discesa" delle C=T/2 - nelle travi di bordo - dal corrente superiore a quello inferiore.
Si noti che con l'attivazione del meccanismo appena descritto, l'equlibramento di tutte le spinte conseguenti al cedimento di un pilastro, avviene all'interno dell'impalcato stesso, per cui gli elementi strutturali verticali non risultano sollecitati da azioni orizzontali che potrebbero metterli in crisi per flessione e/o taglio ma esclusivamente da una aliquota dello sforzo normale che veniva portato dal pilastro che ha subito il collasso.

Tratto da "Dall'analisi dei crolli insegnamenti per adeguare i criteri di progettazione delle nuove strutture in c.a"
di G. C. Marano, F. Parmisano, A. Vitone, C. Vitone

Provvedimenti costruttivi di dettaglio
Continuando a riflettere sull'esempio proposto nel paragrafo precedente, si può trarre spunto dal modello e dalla lista di obiettivi prestazionali squisitamente strutturali da esso dedotte, per delineare concretamente i conseguenti provvedimenti da assumere in sede di progettazione anche dei dettagli costruttivi.
Perché l'analisi risulti completa, e non sfuggano aspetti significativi, è opportuno seguire un metodo. Si potrebbe a tal fine procedere secondo il LpM (cfr. riff. [10], [11], [21]) e cioè esaminando distintamente i tre elementi fondamentali ai quali è possibile in generale ricondurre il comportamento di una struttura: il percorso del carico; il percorso delle spinte; i nodi di deviazione.
Con riguardo al primo (il percorso dei carico verticale), non rappresenta normalmente un problema rilevante (né sotto il profilo economico, né tanto meno sotto quello tecnico) l'adeguamento della sezione resistente di ciascun pilastro alla funzione straordinaria alla quale sarebbe chiamato qualora dovesse ricevere una parte anche rilevante del carico di un pilastro contiguo che abbia subito una rottura locale (punto (d) del par. 3.2.1).
Una regola di base dovrebbe dunque essere quella di dotare i pilastri di una ridondanza - nei confronti dello sforzo normale di compressione - maggiore di quella di qualsiasi altro elemento strutturale dell'edificio.  Come mostrato nel par. 3.1, la ridondanza di pilastri esili (l/z elevato) gioverebbe contemporaneamente non solo al percorso del carico, ma anche a quello delle spinte orizzontali. Un'altra ragione che deve indurre a dotare di maggiore ridondanza i pilastri, quando appartengono alle ultime tese, è esposta qui di seguito. Si deve in conclusione convenire che si tratta di provvedimenti progettuali caratterizzati da un ridotto rapporto costi/benefici, in considerazione della loro versatilità, e cioè del fatto che risultano funzionali a diversi possibili comportamenti alternativi.
Passando al secondo elemento fondamentale del disegno del Load Path (gli itinerari delle spinte orizzontali: punto b della lista del paragrafo precedente) la questione si presenta ben più impegnativa. Innanzi tutto per la ragione che - come si è detto - le spinte possono avere una intensità assai elevata, in relazione a quella dei carichi verticali che le imprimono. La fig. 3.2 fornisce informazioni in tal senso di immediata percezione: l'angolo di inclinazione (
J) degli itinerari obliqui dei carichi verticali, pur nella ipotesi che essi attraversino i pannelli murari confinati dalle maglie del telaio, può risultare alquanto ridotto. Angoli vicini ai 45° implicherebbero spinte del medesimo ordine di grandezza dei carichi che le hanno generate. Un primo importante obiettivo del progetto, dunque, potrebbe consistere nel favorire itinerari deviati con valori elevati di J (prossimi a 90°). Un mezzo per perseguire tale scopo è quello di rendere possibile una risalita del carico - lungo il pilastro che ha subito il collasso - più in alto possibile. Dalle quote più alte, peraltro, si presentano varie possibili alternative di ridiscesa del carico verso pilastri ancora integri, utilizzando percorsi obliqui tanto meno deviati rispetto alla verticale quanto più elevata è la quota di partenza. Questo particolare funzionamento implica tuttavia che i ritti possano - in fase post-collasso - non solo decomprimersi, ma anche fungere da tiranti, e che lo sforzo di trazione possa in essi risultare tanto maggiore quanto più elevato è il piano dell'edificio. Due i provvedimenti a tal fine più importanti, dunque: in primo luogo assicurare la possibilità di introduzione nel tirante del carico di impalcato da sospendere, attraverso una adeguata progettazione di dettaglio del nodo (giunzioni delle barre verticali predisposte non solo per la ipotesi di compressione, ma anche per quella di trazione; barre a canestro progettate per favorire la inversione degli itinerari di compressione (LpM :[6], [10], [21]); in secondo luogo dimensionare l'armatura longitudinale minima dei pilastri in ragione proporzionale non più solamente alla loro area, ma anche a quella massima delle tese sottostanti. Come si era anticipato, si tratta di accorgimenti che concorrono a dotare i pilastri di una ridondanza che si mostra poi utile anche in previsione di differenti scenari, che lo vedano impegnato da  carichi non più in risalita dai livelli sottostanti , ma in discesa, provenienti dal pilastro contiguo (a seconda, appunto, che l'innesco del collasso si  sia verificato, rispettivamente, in un pilastro sottostante, oppure in uno contiguo).
Con riguardo al percorso delle spinte orizzontali resta comunque di fondamentale importanza la predisposizione di itinerari che ne consentano - ove possibile - il mutuo equilibrio al livello di piano. Infatti le spinte che fossero obbligate anch'esse a scendere, alla ricerca di equilibrio in azioni uguali e contrarie, dovrebbero inevitabilmente deviare dalle loro naturali traiettorie orizzontali per intraprendere itinerari obliqui (fig. 3.3), ed imprimere pertanto a loro volta spinte (verticali) che andrebbero a sommarsi ai carichi, aggravando l'impegno dei pilastri.
Dallo studio del comportamento membranale di impalcato (cfr. riff. [21], [16], [17], [5]) si possono trarre suggerimenti per provvedimenti progettuali. La grande efficacia dei circuiti di compressione intorno a pilastri interni, che abbiano subito una rottura, deve indurre ad attenuare la troppo spiccata ortotropia dei solai a nervature parallele, mediante sistematici travetti trasversali e solette di spessore adeguato. Resta naturalmente di fondamentale importanza la predisposizione di itinerari di trazione all'interno dell'impalcato, visto che inevitabilmente le spinte orizzontali tenderanno ad utilizzarli, alla ricerca di soluzioni equilibrate che richiedano il minimo investimento di energia di deformazione. La indisponibilità di catene filanti senza soluzione di continuità attraverso gli impalcati, in entrambe le direzioni, è certamente una delle cause principali della gravità del danno conseguente ad una rottura locale rilevante, come ad esempio il collasso di un pilastro. Per realizzare un presidio dei pilastri di bordo e d'angolo risulterebbe particolarmente efficace la predisposizione di un adeguato funzionamento a trave orizzontale, in alternativa a quello membranale anulare di semplice compressione, che può attivarsi solo intorno a pilastri interni. Giova a tal fine  la ridondanza delle travi di bordo, con specifico riguardo alla dimensione di base ed ai bracci orizzontali delle staffe, o - meglio - la solidarizzazione alle travi di bordo di  fasce di soletta  dei solai contigui, adeguatamente armate.
Con riguardo, infine, al terzo elemento fondamentale del disegno del Load Path (i nodi di deviazione) va detto che l'adeguamento del progetto di dettaglio dei nodi trave/solaio-pilastro [9] è manifestamente decisivo, perché l'edificio possa effettivamente sviluppare comportamenti del tipo prospettato con il modello di fig.3.2 (punto g della lista del paragrafo precedente). Andrebbero in primo luogo estese a tutte le opere (indipendentemente dal fatto che sorgano o meno in regioni dichiarate sismiche) alcune delle prescrizioni mirate a dotare la struttura di un elevato grado di duttilità [2], ed in particolare quelle che tendono a favorire la deviazione delle coppie, dagli orizzontamenti ai pilastri: una situazione non comune in modelli che presuppongano che i pilastri siano al riparo da azioni orizzontali rilevanti. Così, ad esempio, andrebbero rigorosamente evitate sporgenze laterali delle travi a spessore eccessive rispetto alla dimensione del lato longitudinale del pilastro; adottate staffature infittite nelle cosiddette regioni di discontinuità dei pilastri; e così via. Il dettaglio dei nodi, tuttavia, deve essere ispirato anche alla esigenza di favorire il comportamento membranale di impalcato, di cui si è detto in precedenza. A tal fine i provvedimenti costruttivi devono mirare a canalizzare le spinte orizzontali entro i loro itinerari, sia quelli orizzontali, sia quelli obliqui. Con riguardo ai primi, particolare attenzione va posta nei confronti dell'ancoraggio di estremità delle barre filanti continue (catene), lì dove le spinte devono introdursi nelle travi orizzontali di recinzione, poste a presidio dei pilastri di bordo e di angolo. Durante la fase di sviluppo progressivo del collasso, le spinte naviganti lungo le catene tentano di deviare anche in corrispondenza dei nodi interni, per entrare nei  pilastri sottostanti.  Ciò tuttavia è possibile solo a condizione che le barre longitudinali siano fisicamente appoggiate sulla faccia orizzontale di estremità superiore del pilastro, e che questo appoggio sia stabile. A tal fine esse devono passare all'interno di quelle verticali del pilastro, e queste ultime, a loro volta, devono essere recintate da adeguata staffatura, che ne impedisca la divaricazione, per effetto dell'azione espulsiva delle catene in fase di crollo. 

BIBLIOGRAFIA
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[18] Mitchell D., Cook W. D.: "Preventing progressive collapse of slab structures", Journal of the structural division, ASCE, 110 (7), 1984.

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