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Modellazione Strut-and-Tie di Elementi Strutturali in Calcestruzzo Armato:
Meccanismi Elementari e Criteri di Dimensionamento. 

Nadia Baldassino - Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Strutturale, Università di Trento


SOMMARIO

Un criterio razionale alla progettazione delle elementi strutturali in calcestruzzo armato può essere ottenuto attraverso una generalizzazione dell'analogia con la trave reticolare che conduce alla individuazione di un modello a traliccio. La progettazione delle D-regions, caratterizzate da discontinuità statiche e/o geometriche, spesso è basato sull'utilizzo di modelli a traliccio (strut-and ties models) che prevedono la condensazione del flusso di sforzi in un insieme discreto di elementi compressi (puntoni-struts) e tesi (tiranti-ties) tra loro interconnessi in regioni nodali. Gli elementi tesi simulano armature lente, cavi da precompressione, gli sforzi di compressione viceversa si suppone vengano assorbiti esclusivamente dal calcestruzzo.
Nel presente lavoro vengono descritte le tre componenti elementari del modello a traliccio (puntoni-struts, tiranti-ties, e regioni nodali) e vengono illustrate le corrispondenti regole e metodi di verifica/dimensionamento. Particolare attenzione è dedicata alla verifica delle zone nodali in considerazione del ruolo essenziale da essi ricoperto nell'ambito del meccanismo di trasferimento degli sforzi tra le componenti del traliccio.

1. INTRODUZIONE

Per le parti della struttura sedi di discontinuità statica (zone di applicazione di carichi concentrati, zone d'appoggio, etc.) o geometrica (nicchie, mensole tozze, particolari d'angolo, aperture, etc.) non è applicabile l'ipotesi di Bernoulli che ipotizza che le sezioni ruotino e traslino rimanendo piane. In letteratura tali zone sono conosciute come D-regions (discontinuity, distrubance, detail). Si tratta di zone interessate da fenomeni diffusivi, ovvero da stati di sforzo bi/tridimensionali. L'analisi delle D-regions nello stadio I non fessurato si esegue in campo lineare elastico, mentre in fase II il progetto spesso utilizza procedure suggerite da prove sperimentali, precedenti esperienze o regole pratiche.        
Un criterio razionale alla progettazione può essere ottenuto attraverso una generalizzazione dell'analogia con la trave reticolare. Il modello di calcolo a cui si perviene propone la condensazione del flusso di sforzi diffuso in un insieme discreto di elementi compressi (puntoni-struts) e tesi (tiranti-ties) tra loro interconnessi in regioni nodali. Gli elementi tesi simulano armature lente, cavi da precompressione, gli sforzi di compressione viceversa si suppone vengano assorbiti esclusivamente dal calcestruzzo. Si ottiene in tal modo una rappresentazione schematica dello stato tensionale di una struttura in calcestruzzo armato.
I principali criteri adottabili per la definione del modello a traliccio sono riportati in (Baldassino, 2001).
La verifica ed il controllo delle scelte operate attraverso l'adozione di un traliccio resistente avviene attraverso il dimensionamento delle sue componenti che, in linea generale, consiste:
- nella verifica della conformità degli sforzi applicati al calcestruzzo;
- nella determinazione delle barre di armatura corrispondenti alle aste tese;
- nella verifica che le zone nodali siano in grado di assicurare la trasmissione delle azioni tra gli elementi costituenti il traliccio.
Di seguito viene proposta una sintetica descrizione delle tre componenti elementari del modello a traliccio e dei relativi metodi di verifica.


2. IL DIMENSIONAMENTO: I MECCANISMI ELEMENTARI

2.1 I Puntoni

La simulazione di un campo di sforzi di compressione avviene per mezzo di elementi compressi in grado di riprodurre in modo semplificato, la reale distribuzione dello stato di sforzo. Per rappresentare in maggior dettaglio situazioni caratteristiche delle zone B e D, sono stati individuati tre modelli di trasmissione standard (Fig. 1, Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987):
a. il ventaglio (the fan) (Fig. 1a);
b. la bottiglia (the bottle) (Fig. 1b);
c. il prisma (the prism) (Fig. 1c).

             Fig. 1: Modelli di trasmissione per campi di sforzo di compressione:
                     (a) il ventaglio; (b) la bottiglia; (c) il prisma.

I primi due meccanismi trovano la loro principale utilizzazione nelle zone D, riproducendo fenomeni diffusivi dello stato di sforzo. Il ventaglio in particolare, si riferisce a campi di sforzo prevalentemente monodirezionali con curvatura trascurabile e conseguentemente assenza di sforzi trasversali, la bottiglia invece, è in grado di rappresentare in modo conveniente stati di sforzo bi/tridimensionali, tipici delle zone di applicazione di carichi concentrati. Infatti in prossimità del carico la bottiglia prevede lo sviluppo di sforzi di compressione trasversali mentre in zone più distanti, stati tensionali di trazione dai quali può dipendere la fessurazione precoce del calcestruzzo. Per evitare questa eventualità è opportuno prevedere l'inserimento di una adeguata armatura metallica diffusa. Per questa configurazione sono stati proposti metodi di verifica semplificati (Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987) in grado di determinare la percentuale meccanica d'armatura necessaria a garantire la sicurezza dell'elemento, utilizzando come dati iniziali la pressione in corrispondenza al carico concentrato ed il rapporto b=b/a (Fig. 1b). Il prisma, infine, rappresenta un meccanismo caratteristico delle zone B, da utilizzare in presenza di sforzi di compressione monoassiale. La scelta della configurazione più opportuna dipende dalle caratteristiche del problema affrontato.
La verifica dell'elemento compresso consiste nel controllo della massima sollecitazione agente sul calcestruzzo che, in ogni punto, dovrà risultare inferiore alla sollecitazione di riferimento.

2.2 I Tiranti

Da un punto di vista progettuale i tiranti di un modello a traliccio rappresentano una idealizzazione delle barre d'armatura. Considerando il caso più generico, in cui sia previsto l'utilizzo di armatura lenta e da precompressione, per i tiranti si utilizza, sia in fase di verifica, sia in fase di dimensionamento, la relazione (1)

                                           Ts £ As fsd + Ap Dfp                                       (1)

dove
Ts    azione sul tirante;
As    area dell'armatura lenta;
Ap    area dell'armatura da precompresso;
fsd    tensione di progetto dell'armatura lenta;
Dfp   tensione residua dell'acciaio da precompresso oltre la decompressione.
Le fasi di progetto e verifica degli elementi tesi non comportano particolari problemi ma una notevole attenzione deve essere posta nella progettazione del dettaglio. Si tratterà quindi di utilizzare tutte quelle precauzioni (diffusione delle armature, corretto ancoraggio, predisposizione di un adeguato interferro e copriferro, etc.) che permettano un corretto e completo trasferimento degli sforzi al calcestruzzo.

2.3 Le Zone Nodali

Le zone nodali sono in genere disposte in corrispondenza ad una deviazione del flusso di sforzi e rappresentano una parte fondamentale del modello a traliccio attraverso le quali avviene l'interazione tra le bielle compresse e tese. L'importanza delle zone nodali giustifica la particolare cura ed attenzione con la quale si svolgono verifica e dimensionamento.
E' possibile distinguere due diversi tipi di nodi: i nodi diffusi ed i nodi concentrati. I primi permettono una realistica rappresentazione di campi di sforzo diffusi su ampie porzioni della struttura. Vengono introdotti in un modello a traliccio in corrispondenza all'incontro tra campi di sforzi di compressione diffusi o nel caso in cui si preveda una distribuzione di barre di armatura che determina una graduale deviazione degli sforzi (Fig. 2, Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987). In generale i nodi diffusi non richiedono particolari verifiche dello stato di sollecitazione del calcestruzzo, quanto piuttosto un controllo sull'ancoraggio delle barre di armatura che deve avvenire all'esterno della zona nodale. 


Fig. 2: La particolare disposizione delle armature metalliche determina una graduale 
         deviazione del campo di sforzi, tipica dei nodi diffusi.

Nel caso in cui le deviazioni del campo di sforzi avvengano in un tratto di limitate dimensioni, idealizzabile con un singolo punto, si parlerà di nodo concentrato. Rispetto al caso dei nodi diffusi, i nodi concentrati richiedono verifiche particolari riguardanti sia l'equilibrio delle forze concorrenti, sia lo stato di sollecitazione della zona nodale.
Benché sia possibile individuare nodi singoli fra loro diversi per le caratteristiche delle aste concorrenti, in realtà è possibile considerare quale riferimento il nodo determinato dall'incontro di tre puntoni, per il quale la valutazione dello stato di sforzo della regione nodale risulta relativamente agevole. A titolo d'esempio si consideri il problema di Figura 3 (Marti, 1985). I punti di intersezione A, B e C, dei tre puntoni individuano una zona triangolare soggetta ad uno stato di sforzo biassiale. Il primo controllo da eseguire consiste nella verifica dell'equilibrio fra le forze concorrenti al nodo mentre, la determinazione dello stato di sforzo nella regione può avvenire, ad esempio, attraverso la costruzione grafica di seguito riassunta. 

        Fig. 3: Verifica di una regione nodale formata dall'incontro di tre puntoni.

Si consideri il puntone A: lo stato di sforzo agente lungo la direttrice AH, perpendicolare alla forza FA, è di semplice compressione e di intensità s = sA=FA/AH. Il cerchio di Mohr associato al puntone passerà per l'origine degli assi ed intersecherà l'asse delle ascisse nel punto s = sA. Il punto di intersezione tra il circolo e la parallela alla direttrice AH passante per il punto A' di coordinate (sA;0) definisce il polo del cerchio di Mohr QA. Questo punto, che è unico, assume particolare interesse perché permette di valutare lo stato di sforzo agente lungo una qualsiasi giacitura semplicemente considerando le coordinate del punto di intersezione tra il circolo di Mohr e la parallela alla giacitura tracciata per il polo stesso. Lo stato di sforzo agente lungo il lato AC dell'area nodale è determinato dalle coordinate nel piano (s - t) del punto A'' ottenuto tracciando la parallela ad AC passante per il polo QA. Utilizzando la stessa procedura per i puntoni B e C si individuano i punti B'' e C'' che, con A'', permettono di individuare lo stato di sforzo agente al contorno dell'area nodale. Il circolo di Mohr per la regione nodale si ottiene tracciando il cerchio passante per i punti A'', B'' e C''. Il centro di tale cerchio appartiene all'asse delle ascisse mentre il polo Q si ottiene come punto di incontro tra il prolungamento delle rette A''-QA, B''-QB e C''-QC (Fig. 4, Marti, 1985). In tal modo è possibile quindi determinare lo stato di sforzo agente nella regione nodale lungo una qualsiasi giacitura e quindi svolgere le necessarie verifiche di resistenza.
Un caso particolare per la procedura descritta si verifica quando le dimensioni dei puntoni siano scelte in modo tale che lo stato di sforzo per ciascuno di essi risulti costante: il cerchio di Mohr degenera in un punto e lo stato di sforzo della regione nodale risulterà idrostatico. I puntoni inoltre risultano perpendicolari alle linee di contorno del nodo e l'uguaglianza dello stato di sforzo permette di introdurre la relazione:
 

                                       FA : t1 = FB : t2 = FC : t3                          (2)

che può essere sfruttata in sede di progetto (Fig. 4, Marti, 1985). Infatti assegnate le forze FA , FB  e FC  e le dimensioni di due puntoni t1  e t2  è possibile determinare la terza dimensione, t3, garantendo l'equilibrio del nodo e il rispetto della compatibilità degli sforzi.

    Fig. 4: Metodo grafico per la determinazione dello stato di sforzo di una regione
              nodale formata dall'incontro di tre puntoni.

         Fig. 5: Regione nodale caratterizzata da uno stato di sforzo idrostatico.

Nel caso in cui la regione nodale sia interessata anche da bielle tese, la procedura descritta trova comunque utilizzo, trasformando l'azione di trazione in forza di compressione che sollecita il nodo. Questo tipo di nodo singolo è tipico delle zone di appoggio, nelle quali l'ancoraggio delle barre di armatura avviene per mezzo di piastre. La relazione (2) può essere utilizzata per il dimensionamento della piastra di ancoraggio.
Allo stesso modo la determinazione dello stato di sforzo in un'area nodale simile a quella di Figura 6 (Schlaich, Anagnostou, 1990), può essere ricondotta alla procedura appena esaminata attraverso successive suddivisioni, ciascuna delle quali prevede la determinazione dello stato di sforzo in un'area nodale intermedia, ottenuta considerando l'azione di due puntoni adiacenti. Nell'esempio di Figura 6 (Schlaich, Anagnostou, 1990), l'area nodale I è ottenuta considerando l'azione dei puntoni 1 e 2.

     Fig. 6: Determinazione dello stato di sforzo in una regione nodale complessa.

La verifica della zona nodale si suddivide in due fasi distinte, la prima delle quali necessaria alla determinazione dello stato di sforzo agente, mentre la seconda consiste nel controllo della compatibilità degli sforzi. In generale non potendo individuare in modo completo la casistica delle zone nodali, ogni problema dovrà essere affrontato e risolto singolarmente. I risultati di analisi sperimentali (Schlaich e Schäfer, 1987) hanno comunque permesso di sviluppare metodi di verifica approssimati che si basano sul controllo dello stato di sforzo agente al contorno dell'area nodale, che deve soddisfare precise limitazioni, funzione della tipologia di nodo analizzato. Accanto alle verifiche di resistenza alle quali si è già accennato, particolare attenzione deve essere inoltre rivolta alla progettazione del dettaglio dell'area nodale in presenza di barre di armatura, garantendone una corretta disposizione, un adeguato ancoraggio per mezzo di piastre, cappi o una sufficiente lunghezza di ancoraggio, in modo da assicurare l'effettiva trasmissione delle azioni al calcestruzzo.

3.  LA RESISTENZA A COMPRESSIONE DEL CALCESTRUZZO E I FATTORI DI
     EFFICIENZA

Il collasso di un traliccio avviene quando un puntone raggiunge la crisi per schiacciamento del calcestruzzo o un numero sufficiente di tiranti si plasticizza permettendo la formazione di un meccanismo. Ne segue che la verifica dovrà essere condotta accertando che lo stato di sforzo negli elementi del traliccio, determinato dalla particolare condizione di carico, vincolo e geometria, risulti sempre inferiore allo sforzo massimo ritenuto accettabile. Se, per quanto riguarda le barre di armatura, la determinazione della tensione limite non presenta particolari problemi, lo stesso non accade per quanto riguarda la resistenza del calcestruzzo che deve essere scelta in funzione dell'effettivo stato di sollecitazione che, in genere, è pluriassiale. In forma sintetica, la resistenza limite del calcestruzzo (f*cd) può essere valutata modificando la resistenza di progetto a compressione monoassiale (fcd) attraverso un fattore di efficienza nc , che dipende dall'effettivo stato di sforzo

                                               f*cd = nc fcd                                  (3)

I principali aspetti da considerare per una corretta determinazione di tale coefficiente sono:
- campi di tensione presenti in direzione trasversale;
- presenza e orientazione di fessure che interrompono la continuità di un'area 
   compressa;
- campo deformativo in direzione trasversale.
Nel caso dei puntoni il coefficiente di efficienza è fortemente influenzato dalla presenza di un campo di trazione trasversale ed in particolare dalla sua inclinazione. In generale, la presenza di fessure che interrompono la compattezza di un puntone determina una riduzione della resistenza del calcestruzzo che sarà più accentuata nel caso in cui le fessure non risultino parallele alla direzione della biella compressa. Per quanto riguarda invece le aree nodali, è necessario prestare attenzione all'ancoraggio delle barre di armatura che, attivando i meccanismi di aderenza, determinano una riduzione della resistenza a compressione del calcestruzzo.
In letteratura sono presenti proposte variamente articolate per il coefficiente di efficienza che considerano, in modo più o meno evidente, gli aspetti accennati. Di seguito vengono richiamate alcune di queste formulazioni.

- Schlaich e Schäfer (1991), facendo essenzialmente riferimento all'esame di risultati sperimentali, propongono:
Per i puntoni
nc  =  1.0  per stati di sforzo di compressione monoassiali o indisturbati;
nc  =  0.8  per stati di sforzo di compressione monoassiali con fessure parallele alla
              direzione del puntone;
nc  =  0.6  per stati di sforzo di compressione con fessure inclinate rispetto alla
              direzione del puntone.
Per i nodi
La verifica dell'area nodale avviene attraverso una procedura semplificata che si basa sul controllo dello stato tensionale medio presente sul contorno dell'area nodale. I coefficienti di efficienza risultano:
nc    =  1.1  per nodi determinati dall'incontro di solo puntoni che creano stati di 
                sforzo bi o tridimensionali di compressione;
nc    =  0.8  se nel nodo è previsto l'ancoraggio di barre di armatura.
Tutti i coefficienti devono essere utilizzati considerando una resistenza di progetto pari a f1cd= 0.85 fcd

- Canadian Concrete Code
Utilizza il modello proposto da Collins e Mitchell (1986) che considera in modo esplicito l'effetto prodotto da fessure variamente inclinate che interessano il puntone. Il coefficiente di efficienza nc dipende dalla deformazione principale di trazione (e1) perpendicolare al puntone, determinata in base all'inclinazione del campo di trazione rispetto a quest'ultimo. Si assume:
Per i puntoni
nc  =  0.6                 per stati di sforzo di compressione monoassiali o indisturbati;
nc  =  (0.8+170e1)-1  per stati di sforzo di compressione con fessure variamente
                             inclinate rispetto alla direzione del puntone.
Per i nodi
nc  =  0.85  per nodi determinati dall'incontro di soli puntoni che determinano stati di
                sforzo bi o tridimensionali di compressione;
nc  =  0.75  se nel nodo è previsto l'ancoraggio di barre di armatura in una direzione;
nc  =  0.6    se nel nodo è previsto l'ancoraggio di barre di armatura in più di una 
                direzione.
Tutti i coefficienti devono essere utilizzati per una resistenza di progetto pari (fc f'c) dove in particolare fc  = 0.6 e f 'c è la resistenza cilindrica a compressione.

- CEB-FIP Model Code '90 assume:
Per i puntoni
nc  = (1-fck/250)         per stati di sforzo di compressione monoassiali o indisturbati;
nc  = 0.6*(1-fck/250)   per stati di sforzo di compressione monoassiali interessati
                               fessure.
Per i nodi
nc  = (1-fck/250)         per nodi determinati dall'incontro di soli puntoni o se l'angolo
                               formato tra il tirante e il puntone principale è inferiore a 55°
                               e le armature metalliche risultano opportunamente
                               distribuite;
nc  = 0.6*(1-fck/250)  se nel nodo è previsto l'ancoraggio di barre di armatura.
Con fck resistenza caratteristica cilindrica del calcestruzzo.

3. CONCLUSIONI

Un criterio razionale alla progettazione di elementi strutturali in calcestruzzo armato è ottenuto attraverso una generalizzazione dell'analogia con la trave reticolare che prevede la condensazione di flussi di sforzo diffusi in un insieme discreto di elementi compressi (puntoni-struts) e tesi (tiranti-ties) tra loro interconnessi in regioni nodali
In questa nota è stato affrontato il problema della verifica e del dimensionamento delle principali componenti del traliccio resistente. Sono illustrati i meccanismi di trasferimento degli sforzi associati ai flussi di sforzi di compressione, i criteri di dimensionamento degli elementi tesi. Particolare attenzione è stata dedicata inoltre alla verifica delle zone nodali dalle quali dipende il corretto trasferimento degli sforzi tra bielle tese e compresse. Sono illustrate infine le modalità di verifica degli elemnti in calcestruzzo lavoranti in compressione, illustrando il concetto di coefficiente di efficenza e riportandone i valori di calcolo per le situazioni di progetto più significative.

4.  BIBLIOGRAFIA

1. Baldassino N., (2002), "Modellazione Strut-and-Tie di Elementi Strutturali in Calcestruzzo Armato: Criteri per la Definizione del Modello a Traliccio"
2. CEB-FIP (1993), Model Code '90, CEB Bulletin d'Information n. 213/214, May.
3. Collins M.P., Mitchell D., (1986), " Rational Approach to Shear Design - The 1984 Canadian Code Provisions", ACI Journal, November-December, pp. 925-933.
4. Marti P., (1985), "Basic Tools of Reinforced Concrete Beams Design.", ACI Journal, Schlaich J., Schäfer K., Jennewin M., (1987), "Toward a Consistent Design of Structural Concrete.", PCI Journal, Vol. 32, N. 3, May-June, pp. 74-150.
5. Schlaich M., Anagnostou G., (1990), "Stress Field for Nodes of Strut-and-Tie Models", Journal of Structural Engineering, Vol. 116, N. 1, January, pp. 13-22.
6. January-Febraury, pp. 46-56.
7. Schlaich J., Schäfer K., (1991), "Design and Detailing of Structural Concrete Using Strut-and-Ties Models.", The Structural Engineer, Vol. 69, N. 6, March, pp. 113-125.









 

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