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Modellazione Strut-and-Tie di Elementi Strutturali in Calcestruzzo Armato:
Criteri per la definizione del Modello a Traliccio

Nadia Baldassino
- Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Strutturale, Università di Trento


SOMMARIO

Nelle parti di un elemento strutturale sedi di discontinuità statica o geometrica, non è applicabile l'ipotesi di Bernoulli che ipotizza che le sezioni ruotino restando piane. La progettazione non può essere effettuata utilizzando i metodi propri delle travi e spesso avviene sulla base di risultanze sperimentali o di regole pratiche. Nell'ambito delle strutture in calcestruzzo armato un valido aiuto alla progettazione di queste zone si ottiene mediante una generalizzazione del modello a traliccio che prevede la riduzione del campo di sforzi ad un insieme discreto di bielle compresse (puntoni - struts) e tese (tiranti - ties) tra loro interconnesse in regioni nodali.
In questa nota verranno richiamati i criteri che conducono alla individuazione del modello a traliccio con riferimento a strutture comunque complesse. In successive presentazioni verranno inoltre illustrati i criteri di dimensionamento e/o verifica dei principali componenti del modello a traliccio. L'applicabilità del metodo verrà inoltre dimostrata attraverso esempi applicativi.


1. INTRODUZIONE

La corretta progettazione di un elemento strutturale in cemento armato deve essere sviluppata considerando tutti gli aspetti dai quali potrebbe dipendere il raggiungimento della crisi o che non garantiscano il soddisfacimento di particolari requisiti funzionali. Appare quindi importante disporre di adeguate regole progettuali che, riferendosi a tutte le eventualità che potrebbero prodursi durante la vita di progetto, conducano ad una attenta analisi di tutte le parti dell'elemento strutturale, ciascuna delle dovrà essere progettata con lo stesso grado di accuratezza. Le indicazioni presenti in letteratura permettono una progettazione accurata ed attenta delle parti di una struttura non interessate da discontinuità geometriche o statiche. Si tratta di zone nelle quali il comportamento della sezione retta risulta indipendente dalla distribuzione locale dei carichi, dipendendo invece dalla sola risultante agente in sezione. La progettazione in tali zone viene effettuata sulla base delle seguenti ipotesi:
1. planarità delle sezioni (ipotesi di Bernoulli);
2. resistenza a trazione del calcestruzzo trascurabile;
3. perfetta aderenza acciaio-calcestruzzo;
4. utilizzo di modelli rappresentativi del legame costitutivo (s - e) dei materiali. In particolare nel calcolo elastico delle sezioni si ipotizza un comportamento elastico fragile, nel calcolo non lineare si adottano invece modelli analitici dei legami (s - e) dedotti sia dalle risultanze sperimentali sia da criteri di sicurezza.
In generale, le parti di una struttura per le quali si ritengono accettabili le ipotesi di Bernoulli sono definite come B-regions (beam, Bernoulli). Da un punto di vista progettuale in fase I, non fessurata, l'analisi si realizza utilizzando la teoria dell'elasticità lineare, mentre in fase II, fessurata, si ricorre a metodi standard come ad esempio il modello a traliccio.
Per le parti della struttura sedi di discontinuità statica (zone di applicazione di carichi concentrati, zone d'appoggio, etc.) o geometrica (nicchie, mensole tozze, particolari d'angolo, aperture, etc.) non è applicabile l'ipotesi di Bernoulli ed in letteratura sono conosciute come D-regions (discontinuity, distrubance, detail) (Fig. 1). Si tratta di zone interessate da fenomeni diffusivi, ovvero da stati di sforzo bi/tridimensionali. L'analisi delle D-regions nello stadio I non fessurato si esegue in campo lineare elastico, mentre in fase II il progetto spesso utilizza procedure suggerite da prove sperimentali, precedenti esperienze o regole pratiche.

                                  Fig. 1: Esempi di tipiche D regions

Un criterio razionale alla progettazione può essere ottenuto attraverso una generalizzazione dell'analogia con la trave reticolare che conduce ad un modello applicabile a ciascuna parte della struttura. Considerato un problema comunque complesso per geometria e carico, il modello a traliccio propone la condensazione del flusso di sforzi in un insieme discreto di elementi compressi (puntoni-struts) e tesi (tiranti-ties) tra loro interconnessi in regioni nodali. Gli elementi tesi simulano armature lente, cavi da precompressione, gli sforzi di compressione viceversa si suppone vengano assorbiti esclusivamente dal calcestruzzo. Si ottiene in tal modo una rappresentazione schematica dello stato tensionale di una struttura in calcestruzzo armato, permettendo nel contempo una semplificazione ed una sistematizzazione delle fasi di analisi.
L'analogia con la trave reticolare fu utilizzata per la prima volta alla fine del secolo scorso da Ritter (1899) e Mörsch (1912). Il metodo fu poi sviluppato e raffinato da Leonhardt (1965), Rüsch (1964) e Kupfer (1964). A Thürlimann (1983) e Mueller (1978) si devono i fondamenti teorici per una applicazione razionale del metodo. Studi di Collins e Mitchell (1980), Hsu (1993), proposero l'applicazione del modello a traliccio a problemi di taglio e torsione, mentre la generalizzazione del metodo a tutta la struttura fu proposto in modo organico da Schlaich e Schäfer (1984).
In letteratura il modello a traliccio viene usualmente indicato come "truss model" se riferito alle zone B e come "strut-and-tie model" se riferito alle zone D.

2.  IL MODELLO A TRALICCIO

Il modello a traliccio si propone come strumento di lavoro di applicabilità generale a tutte le parti di una struttura. Nelle zone tipo B il modello a trave reticolare e le relative procedure di progetto sono note e di facile e corrente utilizzo mentre l'applicazione del modello alle zone D, risulta meno immediato ed in generale presenta una soluzione non univoca.
Lo sviluppo del modello a traliccio segue di massima le seguenti fasi:
1. suddivisione della struttura in zone B e D;
2. analisi globale;
3. individuazione del traliccio resistente.
Ciascuna di queste fasi verrà brevemente esaminata nel seguito.

2.1  Individuazione delle Zone B e D

I risultati di una analisi elastica permettono in modo relativamente semplice la ripartizione della struttura in zone B e D. Le prime infatti, sono facilmente individuabili dalla presenza di campi di sforzi regolari per traiettoria ed intensità, le seconde invece, riferendosi a zone diffusive, sono caratterizzate da concentrazioni di sforzi che progressivamente si riducono allontanandosi della singolarità di geometria e/o di carico (Fig. 2, Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987). Tale comportamento marcatamente differenziato ha suggerito una semplice procedura che permette il tracciamento delle linee di separazione tra i due tipi di zone.

                      Fig. 2: Traiettorie del campo di sforzi in zone D e B.


Si fa riferimento alla Figura 3 (Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987). In una prima fase si individua una struttura ausiliaria (b) soggetta ad una distribuzione di carico staticamente equivalente a quella assegnata, ma sufficientemente regolare da poter essere ricondotta alle ipotesi di Bernoulli. Si ottiene così una struttura con sole zone B, ma non compatibile con le effettive condizioni al contorno statiche e cinematiche.

                        Fig. 3: Suddivisione della struttura in zone B e D.

In una seconda fase si definisce una sistema di forze autoequilibrate che sovrapposto allo stato (b), consenta di ripristinare le condizioni al contorno reali (schema c). Con riferimento al principio di De Saint Venant si riesce quindi ad individuare sullo schema (c) la suddivisione in campi D e B: in questi ultimi gli effetti del sistema di forze autoequilibrate sono trascurabili.
Un'apparente limitazione all'applicabilità di questo procedimento a strutture in calcestruzzo armato potrebbe derivare dal fatto che, in fase fessurata, esse presentano rigidezze diverse in diverse direzioni. Va tenuto presente però che scopo di questa procedura è quello di individuare un accettabile percorso dei carichi e non quello di una puntuale partizione dei campi di sforzo. Nel seguito si farà riferimento a sistemi piani caricati nel loro piano. A tali sistemi possono essere ricondotti anche molti problemi tridimensionali nei quali lo stato tensionale si sviluppa secondo piani preferenziali. Per problemi più complessi esistono specifiche formulazioni tridimensionali.

2.2  L'Analisi Globale

L'analisi di strutture composte da elementi snelli (travi e telai) permette di determinare reazioni vincolari e caratteristiche di sollecitazione (azioni assiali, tagli, momenti). Questi risultati consentono da un lato il diretto dimensionamento delle zone B con i metodi noti, dall'altro la determinazione delle forze agenti alle interfacce con le zone D che saranno invece trattate e dimensionate con criteri diversi. Nel caso di elementi tozzi l'intera struttura viene a costituire una zona D e dall'analisi si ricava come risultato utile, l'insieme delle reazioni vincolari, ovvero del sistema di forze rispetto al quale impostare direttamente il modello a traliccio.
Il tipo di analisi strutturale (elastica ovvero non lineare, in regime fessurato, etc.) cui fare riferimento, dipende dallo stato limite ritenuto più importante nel contesto progettuale. Se l'attenzione è posta agli stati limite di esercizio l'analisi sarà di tipo elastico lineare, poiché tale può essere considerato il comportamento del calcestruzzo al di sotto di tensioni (0.3¸0.4 fc). Si farà invece ricorso ad un'analisi non lineare se si ritiene più importante riferire il dimensionamento agli stati limite ultimi. Ovviamente le due diverse impostazioni porteranno a modelli di traliccio diversi.

2.3  L'Individuazione del Traliccio Resistente

Svolta l'analisi generale si tratta ora di individuare un meccanismo resistente conformato a traliccio in grado di rappresentare con soli elementi biella, compressi o tesi, la distribuzione dei flussi di sforzo delle zone D inizialmente individuate. Nella costruzione del traliccio resistente ci si basa sui seguenti criteri:
- tiranti e puntoni sono elementi che modellano i flussi di sforzo effettivi rettificandone l'andamento con tratti rettilinei;
- tiranti e puntoni si collegano in nodi strutturali che, in una fase successiva, dovranno essere oggetto di verifiche di resistenza locali. La disposizione dei nodi in parte è data dalla geometria del problema (dimensioni, posizioni di vincoli e carichi), in parte è dedotta dai tracciati delle isostatiche. In particolare vi sarà un nodo ad ogni cambio di curvatura (flesso) di queste;
- in assenza di un'analisi di tipo elastico, il modello a traliccio può essere costruito utilizzando il metodo del tracciato dei carichi. Il metodo consiste nell'individuare tra le forze agenti sulle facce di frontiera di una zona D (Fig. 4, Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987) dei vettori forza tra loro in equilibrio nei riguardi della traslazione, ma con rette d'azione non coincidenti, ovvero caratterizzati da una certa eccentricità. Si collegano i punti di applicazione di queste forze con percorsi di carico, in genere curvi, che non devono intersecarsi fra loro. Questi percorsi vengono poi rettificati in linee spezzate con nodi nei punti di collegamento. Per mantenere l'equilibrio ai nodi sarà necessario inoltre introdurre nuove aste (ad esempio per contenere le cosiddette spinte a vuoto). Si otterrà quindi la configurazione finale del traliccio. La Figura 5 (Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987) descrive un'applicazione del procedimento nel caso particolare di forze in equilibrio agenti sulla stessa faccia di frontiera. In Figura 6 (Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987) si mostra il caso di un traliccio ottenuto per combinazione dei due procedimenti (analisi elastica del continuo e metodo del percorso dei carichi);
- le forze interne sono le forze associate ai tiranti e ai puntoni. Nei casi più semplici i tralicci sono isostatici e le forze nei diversi elementi possono essere calcolate ponendo semplici condizioni di equilibrio. In base all'intensità di queste forze verrà effettuato il dimensionamento delle bielle con criteri riferiti alla resistenza limite dei materiali;
- nel suo complesso il procedimento di modellazione fa riferimento al teorema statico dell'analisi limite: come conseguenza ne deriveranno stime di capacità portante in difetto e quindi a favore di sicurezza.

Fig. 4: Trave parete: (a) metodo del tracciato dei carichi; (b) modello a traliccio.



Fig. 5: Particolare applicazione del metodo del tracciato dei carichi.



    Fig. 6: Tipica D region: (a) traiettorie degli sforzi principali; (b) diagrammi degli
              sforzi; (c) modello a traliccio.

Se il modello è stato individuato facendo riferimento ai flussi di sforzo ricavati da un'analisi elastica, il modello ottenuto può essere considerato come uno schema iniziale da distorcere in modo parametrico nel tentativo di riuscire a individuare valori ultimi del carico di intensità maggiore. Un modo sistematico per compiere questa ricerca si basa su procedure che richiedono l'utilizzo dell'elaboratore elettronico (Schlaich, Anderheggen, 1990; Biondini, Bontempi, Malerba, 1996).
Dovendo scegliere tra più modelli di traliccio, ci si può orientare secondo i seguenti criteri:
1. condizione di minimo dell'energia di deformazione associata al modello che, nell'ipotesi di comportamento elastico di tiranti e puntoni in fase post-fessurata, è determinabile come:  

                                                                       S Fli emi  = minimo                              (1)

dove Fi , liemi   indicano rispettivamente sforzo assiale, lunghezza e deformazione dell'i-esimo elemento. In considerazione del contributo esiguo offerto dalle aste compresse (generalmente puntoni di calcestruzzo) rispetto alle barre di armatura, la (1) può essere semplificata limitando la sommatoria alle sole aste tese. Il modello corrispondente alla condizione di minimo dell'energia di deformazione sarà quindi quello che presenterà il minor numero di bielle tese e di minor lunghezza.
2. aspetti operativi associati alla possibilità di una effettiva corrispondenza fra i tiranti del modello e le barre di armatura in opera. A titolo d'esempio si faccia riferimento alle Figure 7a e 7b (Schlaich, Schäfer, Jennewin, 1987); alla soluzione 7a, che richiederebbe la disposizione di barre d'armature inclinate, è da preferire la soluzione 7b facilmente realizzabile sostituendo ai tiranti, ad esempio, una adeguata maglia quadrata d'armatura.

    Fig. 7: Modelli a traliccio relativi allo stesso problema: la soluzione (a) richiede
             l'utilizzo di barre di armatura inclinate.

3.  CONCLUSIONI

Nella presente nota è stato affrontato il problema della modellazione strut-and-tie per la progettazione di elementi strutturali in calcestruzzo armato. Il metodo consiste nella generalizzione dell'analogia con la trave reticolare che conduce ad un modello a traliccio applicabile a ciascuna parte della struttura. Nelle zone tipo B il modello a trave reticolare (truss model) e le relative procedure di progetto sono note e di facile e corrente utilizzo mentre l'applicazione del modello alle zone D (strut-and-tie model), risulta meno immediato ed in generale presenta una soluzione non univoca.
In questa nota l'attenzione è stata rivolta alla progettazione delle zone D proponendo l'analisi dei criteri principali che conducono alla scelta di un traliccio resistente in grado di riprodurre il campo di sforzi associato all'elemento o componente strutturale analizzato. Lo sviluppo del generico modello strut-and-tie può essere considerato come una serie di fasi successive, ciascuna delle quali in questo contesto, è stata brevemente descritta ed analizzata.

4.  BIBLIOGRAFIA

1. Biondini F., Bontempi F., Malerba P.G., (1996), "Ricerca di Modelli Strut-and-Tie
  mediante programmazione lineare", Studi e Ricerche, Scuola di Specializzazione in
  Costruzioni in Cemento Armato, Politecnico di Milano, Vol. 17, pp. 121-156.
2. Collins M.P., Mitchell D., (1980), " Shear and Torsion Design of Prestressed and
    non-Prestressed Concrete Beams", PCI Journal, 25, No. 5, September-October,
    pp. 32-100.
3. Hsu T.T.C., (1993), Unified Theory of Reinforced Concrete, CRC Press.
4. Kupfer H., (1964), "Erweiterung der Möhrsch'schen Fachwerkanalogie mit Hilfe des
  Prinzips vom Minimum der Formänderungsarbeit", CEB Bulletin d'Information n. 40,
   Paris.
5. Leonhardt F., (1965), " Reducing the shear reinforcement in reinforced concrete 
    beams and slabs", Mag. concrete Research, 17, No. 53, December, p. 187.
6. Mörsch E., (1912), Der Eisenbetonbau, seine Theorie und Anwendung, Verlag
    Konrad Wittwer, Stuttgart.
7. Mueller P., (1978), Plastische Berechnung von Stahlbetonscheiben und Balken,
    Bericht No. 83, Insitut für Baustatik und Konstruktion, EHT Zürich, July.
8. Rüsch H., (1964), "Über die Grenzen der Anwendbarkeit der Fachwerkanalogie bei
   der Berechnung der Schubfestigkeit von Stahlbetonbalken", Festschrift F. Campus
   'Amici et Alumni', Université de Liège.
9. Ritter W., (1899), "Die Bauweise Hennebique.", Schweizerische Bauzeitung, Bd.
    XXXIII No. 7, January.
10. Schlaich J., Schäfer K., (1984), Konstruieren im Stalbetonbau, Betonkalender ,
    Part II , W. Ernst & Sohn, Berlin- München, pp. 787-1005, (revised version
    published in the Betonkalender 1989).
11. Schlaich J., Schäfer K., Jennewin M., (1987), "Toward a Consistent Design of
    Structural Concrete.", PCI Journal, Vol. 32, N. 3, May-June, pp. 74-150.
12. Schlaich M., Anderheggen E, (1990), "Computer-Aided Design of Reinforced
    Concrete Structures Using the Truss Model Approach", Proceedings for Second
    International Conference on Computer-Aided Analysis
, Vol. 1, Zell am See,
    Austria, pp. 539-550.
13. Thürlimann B., Marti P., Pralong J., Ritz P., Zimmerli B., (1983), " Vorlesung zum
    Fortbildungskurs für Bauingenieure", Institut für Bautechnik und Konstruktion, ETH
    Zürich.



 









 

 

 

 


 




 
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