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Estratto dagli atti del 15° Congresso C.T.E. Bari, 4-5-6 novembre 2004

UNA FORMULAZIONE APROSSIMATA DEL COMPORTAMENTO
ELASTO-VISCOSO DI STRUTTURE NON OMOGENEE AD INERZIA
E SCHEMA STATICO VARIABILE NEL TEMPO


PIETRO MONACO e DOMENICO RAFFAELE
Politecnico di Bari



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SUMMARY

The modern building techniques concerning the assembly, in different steps, of precast elements and concrete, while calculating the corresponding structures have to take into consideration the use both of resistant sections and of a variable  static pattern. These structures are particularly sensible to flow deformation caused by concrete’s viscosity; for this reason they need to be analysed with calculation that takes into consideration the time-evolution of  tensions and the deformations depending by the interaction of elements characterized by different ages. The analysis is further on complicated by the consideration that reinforcing bars, not subject to viscosity, can sensibly condition the tensional status redistribution. The main purpose of this paper is to present an approximated calculation of the elastic-viscous behaviour of the structures used in order to project the “Quattroquercie viaduct” of the motorway A3 Salerno-Reggio Calabria.


1. ANALISI DELLO STATO DI DEFORMAZIONE

L’indagine sul comportamento a lungo termine di strutture non omogenee ad inerzia variabile, è condotta suddividendo il tempo di analisi in un adeguato numero n di intervalli temporali. Ciascun intervallo i compreso fra gli istanti Ti e Ti+1 è caratterizzato dalle seguenti peculiarità:

- sono attive una o più componenti sezionali che nel seguito verranno considerate omogeneizzate rispetto ad un modulo elastico comune Ec;
- per ciascuna componente sezionale attiva k, si verificano variazioni di deformazione  (deformazione specifica a livello della corda baricentrica) e  (curvatura), entrambe di natura elasto-viscosa;
- alla fine dell’intervallo (T=Ti+1) si verificano, per ciascuna componente sezionale efficace, deformazioni elastiche e , supposte istantanee, prodotte dalle azioni esterne.
La presenza delle componenti sezionali attive nell’intervallo considerato dipende dalle modalità e dai tempi di costruzione, nonché dalla configurazione raggiunta dalla struttura.
Le componenti di deformazione  e  dipendono:
- dalla storia pregressa delle deformazioni elastiche della componente sezionale k in esame (viscosità legata agli eventi deformativi elastici stabilizzatisi negli intervalli j<i );
- dalla ridistribuzione dovuta alle diverse età dei calcestruzzi, alla presenza di armatura e all’effetto del ritiro e delle eventuali variazioni termiche presenti nell’intervallo i (elasto-viscosità legata all’ipertstaticità interna della sezione nell’intervallo i);
- dall’effetto elasto-viscoso dovuto all’eventuale iperstaticità esterna raggiunta nell’intervallo i dalla struttura.
Le componenti di deformazione e , sono quelle elastiche istantanee prodotte dalle azioni esterne (eventuali reazioni elastiche iperstatiche comprese) valutate su ciascuna componente sezionale attiva dello schema statico raggiunto dalla struttura nell’intervallo i+1.


1.1 Analisi deformativa nell'intervallo generico

Fissata l’attenzione sul generico intervallo i ci si propone di valutare l’incremento delle deformazioni elasto-viscose  e  che si sviluppano nelle componenti attive della generica sezione della struttura nell’arco di tempo (Ti+1 - Ti).
Danno contributo alle suddette deformazioni:
a) le deformazioni elastiche sviluppatesi nelle stesse componenti delle stesse sezioni in tutti gli intervalli j<i;
b) le deformazione elastiche prodotte dall’intervento dei nuovi carichi esterni applicate negli istanti Tj (con j£i);
c) le deformazioni elasto-viscose che si sviluppano nello stesso intervallo i.
Per quanto attiene il punto a) ci si riferisce alla fig.1a. Definita la funzione bi(t) (linea di influenza della variazione del coefficiente di viscosità nell’intervallo i nella componente sezionale k, per incremento di deformazione elastica al generico istante t<Ti)



è immediato constatare che l’effetto viscoso nell’intervallo i, relativo alla generica componente sezionale k, dipende dall’andamento delle funzioni Dee(t) e bi(t) nell’intervallo j.
Se si ipotizza la prima funzione lineare nell’intervallo DTj con valore iniziale nullo e valore finale Deej=Dee(Tj+1), l’effetto viscoso nell’intervallo i è immediatamente valutabile con la (1) dove il coefficiente aij rappresenta il valor medio assunto dalla funzione bit nell’intervallo j.
L’ulteriore ipotesi che anche la funzione bit possa considerarsi lineare nell’intervallo j porta a definire:

  (1)

Per quanto attiene il punto b), non vi è nessuna difficoltà, noto l’incremento di deformazione elastica  prodotta al tempo Tj, a valutare l’effetto viscoso prodotto nell’intervallo i:
 (2)

Per quanto attiene infine il punto c) (fig.1b), è immediato constatare che il solo effetto viscoso nell’intervallo i dipende dalla funzione Dee(t) e dalla funzione fi+1,t nello stesso intervallo i. Ipotizzando ancora la prima funzione lineare nell’intervallo DTi con valore iniziale nullo e valore finale Deei, l’effetto viscoso alla fine dell’intervallo i è facilmente valutabile con la (3) dove il coefficiente yi rappresenta il valor medio assunto dalla funzione fi+1,t nell’intervallo i.
L’ulteriore ipotesi semplificativa che anche la funzione fi+1,t sia lineare nell’intervallo i porta a definire

  (3)

Da quanto esposto, gli effetti elasto-viscosi nell’intervallo i sono di immediata valutazione (nelle ipotesi descritte), appena si conoscano i coefficienti di influenza aij bij e yi relativi a ciascuna componente sezionale k attiva nell’intervallo i.
Definite pertanto le matrici di dimensioni (n x n):
[A]k: matrice triangolare con elementi della diagonale principale tutti nulli, il cui generico termine aij rappresenta il valor medio assunto dalla funzione bit nell’intervallo (Tj+1 – TJ);
[B]k: matrice triangolare il cui generico elemento bij rappresenta la variazione del coefficiente viscoso Dfij nell’intervallo (Tj+1 – Ti) per deformazione elastica verificatasi al tempo Tj;
[C]k: matrice diagonale il cui generico elemento della diagonale principale cij = (1+yi) con yi valor medio della funzione fi+1,i nell’intervallo (Ti+1 – Ti); ed i vettori (tutti ad n elementi):
: variazione di deformazione specifica elasto-viscosa prodotta nell’intervallo i;
: variazione di deformazione specifica elastica verificatasi nell’intervallo j;
: deformazione elastica prodotta dalle azioni esterne agenti al tempo Tj;
: variazione di deformazione specifica da ritiro prodotta nell’intervallo i;
: variazione di sollecitazione sezionale specifica (Dnik = DNik/Ak ; Dmik = DMik/Jk) prodotta nell’intervallo i;
: variazione di sollecitazione sezionale specifica indotta dalle sollecitazioni  ed  prodotte dall’intervento dei carichi esterni nell’istante Tj;
indicato, inoltre, con il pedice “a” le grandezze relative alla (k+1) componente sezionale costituita dalla sola armatura metallica, le (4) consentono di valutare gli incrementi delle deformazioni specifiche Deik Dcik che, per effetto elasto-viscoso si hanno alla fine dell’intervallo i.
 (4)

Poichè le matrici [A]k [B]k e [C]k sono tutte di tipo triangolare, il sistema di equazioni (4) risulta disaccoppiato ed è pertanto risolvibile per passi successivi, nel rispetto delle condizioni di equilibrio e congruenza interna, una volta noti i termini che riguardano i passi precedenti a quello in esame.


2. APPLICAZIONE PROGETTUALE

La formulazione semplificata appena descritta è stata applicata per valutare il comportamento a lungo termine dell’impalcato del viadotto “Quattroquerce”, in fase di costruzione sull’Autostrada A3 in località Sala Consilina.
L’impalcato, con schema a trave continua, è costituito da 15 campate di luce pari a 38.00 m ad eccezione della prima e dell’ultima di luce pari a 33,70 m.
E’ realizzato con travi a “cassone” in c.a.p. prefabbricate in stabilimento con armature pre-tese e disposte ad interasse di 4 m (fig.2). Dopo il varo delle travi, la continuità è realizzata con un getto in opera (getto di 1a fase sia all’interno dei cassoni che della soletta per una estensione di 16.00 m a cavallo degli appoggi) ed una post-tensione centrata. La struttura viene completata mediante il getto, successivo alla post-tensione nodale, della sola soletta nelle zone di campata (getto di 2a fase).


Figura 1.
Ipotesi di calcolo

Ciascuna sezione risulta pertanto caratterizzata, in generale, da due componenti sezionali in cls (distinte a seconda che la sezione ricada in campata o a cavallo degli appoggi) costituite dalla trave in c.a.p. e dal getto in opera (riempimento nodale sugli appoggi, sola soletta in campata), e da una terza componente sezionale rappresentata dall’armatura metallica (lenta e di precompressione). E’ ovvio che, a seconda dell’intervallo considerato e della sezione trasversale, una o più delle suddette componenti sezionali possono mancare. Le caratteristiche statiche e geometriche delle componenti sezionali in cls, omogeneizzate rispetto alla trave prefabbricata, sono riassunte nella tabella 1. La tabella 2 indica invece i tempi previsti per la realizzazione dell’impalcato. Le armature di pre e post-tensione sono schematizzate in figura 3, mentre la soletta è dotata longitudinalmente di un’armatura lenta di 15 cm2/m.
L’analisi è stata limitata alla striscia di competenza della trave di bordo e, al fine di semplificare i calcoli, si sono considerate le sole prime 4 campate, ipotizzando il vincolo di incastro in corrispondenza della sezione di estremità della 4a campata. Ciascuna campata è stata suddivisa in 38 conci e sono state analizzate le 39 sezioni di estremità relative a ciascun concio.
L’analisi elasto-viscosa è stata sviluppata per un numero di passi pari agli intervalli considerati, applicando le (4) ed aggiornando ad ogni passo e per ogni sezione, i vettori {Dnj}k e {Dmj}k.


Figura 2.
Sezioni trasversali viadotto


Tabella 1


Tabella 2



Figura 3.
Precompressione

Sono stati considerati i 7 intervalli temporali indicati nella tabella 3. La figura 4 mostra la successione delle fasi costruttive, gli schemi statici ed i carichi relativi a ciascun intervallo di tempo.
L’applicazione delle (4) prevede la conoscenza:
- del vettore  che definisce, per ciascuna componente sezionale, la deformazione da ritiro prodotta nel generico intervallo i,
- dei vettori  che definiscono le sollecitazioni istantanee relative a ciascuna componente sezionale prodotte dall’intervento dei carichi esterni;
- dei vettori che rappresentano gli incrementi di sollecitazione verificatisi in tutti gli intervalli temporali che precedono quello in analisi. Il vettore  è facilmente determinabile una volta stabilite le leggi costitutive del ritiro. Nel caso in esame si sono adottate quelle proposte dal C.E.B., considerando una umidità relativa pari al 50% ed una temperatura media di 20°.
I vettori sono valutati sulla base degli sforzi di precompressione presenti al tempo T0 (sola trave in c.a.p.) ed al tempo T2 (trave in c.a.p. + riempimento nodale) e delle sollecitazioni flessionali prodotte dai carichi esterni (eventuali reazioni iperstatiche comprese) agenti agli istanti T0 (cadute di precompressione + peso proprio trave in c.a.p.), T1 (getto di 1a fase), T3 (getto di 2a fase) e T4 (intervento delle opere di finitura). In tutti i suddetti istanti gli incrementi delle sollecitazioni sezionali  e sono facilmente calcolabili, una volta assegnate le sollecitazioni  e  (prodotte dai carichi esterni e relative all’asse baricentrico y0 della sezione globale attiva all’istante considerato), ed una volta noti i momenti di inerzia Jk rispetto ai propri assi baricentrici ed i momenti statici S0k rispetto ad y0, delle singole componeni sezionali di area omogeneizzata Ak [05]. Sulla base di quanto esposto al precedente punto 2°, si sono costruite le linee di influenza delle funzioni bit (fig.5) e della funzione fi+1,t (fig.6) per ogni componente sezionale, valutando altresì i valori medi delle suddette funzioni nei singoli intervalli (indicati con un * nelle stesse figure).


Tabella 3



Figura 4.
Fasi di costruzione del viadotto

La conoscenza dei valori medi aij e yi relativi a ciascun intervallo di analisi, consente poi la definizione delle matrici [A]k [B]k e [C]k relative alle stesse componenti sezionali.
Si hanno pertanto a disposizione tutti gli elementi per condurre l’analisi elasto-viscosa relativa al generico intervallo i.
Nella ipotesi più generale che, nell’intervallo temporale considerato, tutte e tre le componenti sezionali siano attive (fig.7), gli incrementi di deformazione elasto-viscosa ottenuti sviluppando le (4) risultano:
(5)


Figura 5.
Coefficienti di influenza

Le (5) definiscono 6 condizioni nelle 12 incognite Deik , Dcik , DNik , DMik (con k=1,2,3) che devono contemporaneamente soddisfare le condizioni di equilibrio e congruenza interna espresse dalle (6), in cui DM*i rappresenta l’incremento di sollecitazione flessionale prodotto nella sezione globale se, nell’intervallo considerato, la struttura ha raggiunto un grado di iperstaticità.
(6)


Figura 6.
Linee di influenza


Figura 7. Deformazioni e forze di migrazione

La soluzione del problema è sintetizzata in (7):
(7)
con:


Nella soluzione della (6) possono verificarsi due eventualità:
A) Nell’intervallo i la struttura è ancora esternamente isostatica (intervalli n° 0 e n° 1 per l’esempio che si sta analizzando). In questo caso il termine DM*i = 0. Pertanto è possibile valutare DNik e DMik che aggiornano i vettori {Dnj}k e {Dmj}k, consentendo di passare all’analisi dell’intervallo successivo.
B) Nell’intervallo i la struttura è iperstatica (intervalli n° 2, n°3, n°4, n° 5 e n° 6). In tal caso il termine DM*i risulta diverso da zero e rappresenta una ulteriore incognita del problema. In questo caso risulta conveniente separare gli effetti sulla struttura ipotizzata isostatica da quelli prodotti dall’iperstaticità: indicando infatti con DNoik e DMoik gli incrementi di sollecitazione prodotte sulla struttura considerata momentaneamente isostatica, è possibile rientrare nel caso (A). La conoscenza delle incognite DNoik e DMoik consente quindi di valutare le variazioni di curvatura Dcoik(z)=DMoik/EcJk dalle quali risalire alle variazioni di rotazione Dr in corrispondenza delle sezioni estreme di ciascuna campata, che dovranno ovviamente essere rispettose delle condizioni di continuità nodale imposte dalla ipotizzata iperstaticità. Si valutano preliminarmente i coefficienti di deformabilità viscosa relativi al generico intervallo i (Fig. 8). Tali coefficienti possono essere intesi come le rotazioni prodotte alle estremità della generica campata da una coppia nodale che, in conformità all’ipotesi posta alla base del procedimento, cresce linearmente nell’intervallo considerato, da un valore nullo (all’inizio dell’intervallo), fino a raggiungere il valore unitario (alla fine dell’intervallo).
Indicati con DN’ik e DM’ik le sollecitazioni incrementali prodotte nelle componenti sezionali in tali ipotesi di carico e conservando lo stesso significato dei simboli fin qui adottati, la soluzione del sistema di equazioni (7) consente di calcolare la distribuzione delle curvature Dc’(z) = DM’ik/EcJk in queste ipotesi, da cui dedurre i coefficienti di deformabilità viscosa g, relativi al generico intervallo ed alla generica campata. La tabella 4 contiene i valori di tali coefficienti, riferiti alla 1a campata ed alle campate successive, e relativi agli intervalli in cui si realizzano gli schemi iperstatici (a) e (b) già illustrati in Fig. 4, mentre la (8) esprime le condizioni di congruenza nodale nelle incognite iperstatiche DXn che si saranno stabilizzate alla fine del generico intervallo i, nel rispetto dei parametri di viscosità caratteristici dello stesso intervallo. La soluzione della (8) nelle incognite DX1 DX2 DX3 DX4 permette infine di valutare gli incrementi DM*i e di risolvere la (6) anche nelle ipotesi che nell’intervallo i la struttura abbia raggiunto un grado di iperstaticità esterno.


Figura 8.
Incognite iperstatiche

(8)


3. RISULTATI DELL'ANALISI

La valutazione dei vettori {Dnj}k e {Dmj}k relativi a ciascuna sezione di ascissa z, a ciascun intervallo j ed a ciascuna componente sezionale k, consente di conoscere le sollecitazioni sezionali. Al generico istante (i+1), tempo finale dell’intervallo i, risulta:



E’ pertanto possibile valutare nello stesso istante lo stato tensionale relativo alla generica componente sezionale. La Fig. 9 mostra l’evolversi dello stato tensionale al lembo superiore ed inferiore della trave.


Figura 9.
Stati tensionali

Figura 10.
Stato tensionale nelle fibre estreme

La figura 10  mostra invece lo stato tensionale finale (T = 3950 gg) in corrispondenza delle fibre estreme della trave in c.a.p. e del getto di completamento.
In entrambe le figure, con il simbolo sc, sono indicate le tensioni complessive che si sviluppano nelle singole componenti sezionali alla fine di ciascun intervallo preso in esame; con il simbolo Dsc sono invece indicate le sole tensioni prodotte, nei singoli intervalli, dalla ridistribuzione viscosa e dagli effetti iperstatici ad essa connessi.
Infine, le barre a tratto ringrossato rappresentano gli incrementi nelle punte di tensione, prodotti dai sovraccarichi accidentali nella distribuzione più gravosa. Tutta l’analisi fin qui esposta è stata anche sviluppata nell’ulteriore ipotesi semplificativa di considerare entrambe le funzioni bit e fi+1,t linearizzate a tratti, con le semplificazioni dette in precedenza (espressioni (1) e (3) del punto 2 in relazione ai coefficienti aij   e yi. I risultati ottenuti non hanno evidenziato differenze apprezzabili.


4. CONCLUSIONI

Gli effetti del comportamento nel tempo del calcestruzzo su strutture che prevedono più fasi costruttive, devono essere necessariamente analizzati mediante procedure al passo.
L’ipotesi di viscosità lineare, combinata con l’individuazione di adeguati intervalli finiti di tempo commisurati ad una corretta previsione delle fasi costruttive, consentono un’agevole soluzione del problema se si ipotizza una variazione lineare, in ciascun intervallo, dello stato di deformazione elastico. In particolare quest’ultima ipotesi favorisce una semplice implementazione per un programma di calcolo automatico, poiché ad ogni passo consente di sostituire la funzione incognita Dee(t) con il suo valore finale nell’intervallo.
L’analisi numerica relativa all’esperienza progettuale trattata, porta a concludere che la procedura di calcolo può essere ulteriormente snellita, senza commettere errori significativi, ipotizzando un andamento lineare anche per le funzioni bit e fi+1,t nel generico intervallo. In queste ipotesi è pertanto possibile evitare l’onere della calcolazione dei valor medi delle suddette funzioni nei diversi intervalli ed operare con i valori semplificati aij = (bi,j+1 + bij)/2 e yi = fi+1,i/2, di immediata valutazione, una volta definite le leggi costitutive della viscosità.


5. BIBLIOGRAFIA

[01] Bollettino 203/204/205 C.E.B. – F.I.P.: Model Code 1990, Losanna, 1991.

[02] Bollettino 215 - C.E.B.: “Structural effects of time-dependent behaviour of concrete”, 1993.

[03]  F. Mola: Analisi in fase viscoelastico lineare di strutture non omogenee lungo il proprio asse. Studi e Ricerche vol. 9, Italcementi, Bergamo, 1987.

[04] F. Mola: Studio del comportamento a lungo termine di strutture caratterizzate da disomogeneità reologiche distribuite lungo l’asse e nelle sezioni trasversali. Studi e ricerche vol. 10, Italcementi, Bergamo, 1988.

[05] P. Monaco. – D. Raffaele: Il comportamento elasto-viscoso di travi continue non omogenee a sezione variabile e vincoli posticipati. Congresso C.T.E. 4-6 novembre 2004. Bari.

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