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Estratto dagli atti del 15° Congresso C.T.E. Bari, 4-5-6 novembre 2004

COMPORTAMENTO FLESSOTORSIONALE DI ELEMENTI TIPO MICRO-SHED IN C.A.P. PREFABBRICATI IN PARETE SOTTILE E A SEZIONE CAVA


FRANCESCA GIUSSANI, Politecnico di Milano
STEFANO KNISEL, Professionista in Bergamo
FRANCO MOLA, Politecnico di Milano



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SUMMARY

The flexural and torsional behaviour of thinwalled p.c. elements with open cross section is investigated in detail. Two design procedures are proposed in order to improve the load bearing capacity of these structural elements especially when high spans are involved: the insertion of two battens acting in the horizontal plane at the ends of the element or the application of a continuous slab allowing to transform the open section in a closed one. A case study referred to a precast micro-shed type element allows to point out the outstanding advantages connected to the introduction of a continuous slab. Both analytical and numerical solutions are presented, showing good precision in the obtained results.


1. INTRODUZIONE

L’impiego di elementi in c.a.p. in parete sottile per la copertura di edifici industriali prefabbricati ha dato grande impulso agli studi orientati verso l’ottimizzazione di tali elementi in termini di capacità portante, consumo di materiale, prestazionalità, funzionalità e, non ultime, raffinatezza formale e validità estetica. Il tentativo di risolvere in maniera soddisfacente i problemi posti dagli obiettivi sopra elencati ha condotto i progettisti a concepire elementi caratterizzati da grandi luci anche dell’ordine di 30 m, sezioni sparse non dotate di assi di simmetria, spessori assai ridotti, con valori minimi dell’ordine di (6÷7) cm. Questi tipi strutturali che, sotto l’aspetto del funzionamento statico, rientrano nella categoria degli elementi in parete sottile a sezione aperta, richiedono un attento studio del comportamento flesso-torsionale, in quanto già in presenza dei soli carichi permanenti di peso proprio, essi risultano soggetti a sollecitazioni di torsione a causa della non appartenenza del baricentro e del centro di taglio della sezione trasversale alla medesima verticale. Ne consegue che la sollecitazione torsionale riveste grande importanza per questi elementi e richiede, allorché le luci assumono valori elevati, l’introduzione di opportune misure atte ad incrementarne la capacità portante.
Come è noto, negli elementi a parete sottile e sezione aperta, sussistono due capacità portanti agenti in parallelo e precisamente la capacità portante di torsione pura e quella di ingobbimento. o biflessionale. La prima è associata a flussi di tensioni tangenziali distribuiti linearmente nello spessore delle pareti con valor nullo nel piano medio delle stesse, mentre la seconda è connessa a flussi di tensioni tangenziali distribuiti uniformemente nello spessore. A causa della forma sparsa della sezione, le tensioni tangenziali prodotte dalla capacità portante biflessionale hanno, a parità di sollecitazione torcente, valore più ridotto rispetto a quelle di torsione pura, cosicché elementi nei quali tale capacità sia prevalente si mostrano staticamente più efficienti. Il problema progettuale più importante relativo a questi elementi appare pertanto quello di ideare sezioni per le quali la rigidità biflessionale sia prevalente su quella torsionale. Questa necessità, anche se risolta efficacemente a livello sezionale, non è comunque sufficiente per garantire la realizzazione di elementi aventi elevata efficienza statica poiché, a parità di rigidità sezionale, la capacità portante biflessionale diminuisce con la luce dell’elemento. E poiché la moderna progettazione è rivolta alla realizzazione di elementi di luci sempre più elevate, il loro comportamento torsionale è quasi totalmente assicurato dalla capacità torsionale pura che, a causa della sfavorevole distribuzione di tensioni tangenziali cui dà luogo, limita la prestazionalità statica di questi tipi strutturali. Poiché la elevata luce dell’elemento è contemporaneamente prerequisito progettuale primario e fattore determinante nel limitare, fino a renderla praticamente trascurabile, la capacità portante biflessionale, la ricerca di modalità operative atte a migliorare la capacità portante dell’elemento assume pertanto l’aspetto di obiettivo fondamentale del processo concettuale che regola il momento della progettazione di questi elementi strutturali.
Fra le possibilità operative atte a modificare favorevolmente la capacità portante dell’elemento possono riconoscersi le seguenti opzioni:
- progettare elementi la cui rigidità biflessionale sia assai elevata e nettamente preponderante rispetto a quella torsionale pura;
- disporre vincoli interni in corrispondenza alla testata dell’elemento capaci di modificare, anche solo localmente, il regime di sforzi esistente nell’elemento;
- introdurre vincoli interni diffusi lungo l’asse dell’elemento che siano in grado di modificare drasticamente il regime di sforzi tangenziali associato alla capacità torsionale pura.
Il primo modo di operare, tipicamente riconducibile ad un problema di ottimizzazione, trova naturali limitazioni nella geometria delle sezioni trasversali e nella necessità di dovere limitare gli spessori del profilo. Esso assume significativa importanza solo allorché le luci degli elementi sono sufficientemente contenute. Gli altri due modi di operare possono invece generare soluzioni assai interessanti, permettendo di progettare elementi caratterizzati da ottimi livelli prestazionali anche in presenza di luci elevate. Nel presente lavoro verranno dapprima discussi in forma generale gli aspetti basilari delle due problematiche connesse all’introduzione di vincoli interni localizzati o diffusi, mostrandone l’efficacia nell’incrementare la prestazionalità statica di elementi in parete sottile a sezione aperta. Successivamente, con riferimento alla tecnica di inserimento di vincoli diffusi, verrà analizzata nel dettaglio quella consistente nel realizzare nella sezione trasversale un nucleo chiuso mediante l’introduzione di una soletta orizzontale, conferendo agli elementi le caratteristiche di travi in parete sottile a sezione sparsa biconnessa. In particolare verranno presentate le metodologie di approccio analitico al problema riguardante la determinazione dello stato di sforzo e deformazione di questi particolari elementi, associate alla applicazione in sistemi internamente iperstatici della teoria delle aree settoriali. Saranno inoltre illustrate le tecniche risolutive di tipo numerico, basate sull’impiego del metodo degli elementi finiti. Le due metodologie di analisi verranno applicate allo studio dell’elemento prefabbricato ECOSHED 3000 della Società Gecofin Prefabbricati, nel quale la tecnica di introduzione del vincolo diffuso ha trovato cospicua e vantaggiosa applicazione. Le due metodologie di analisi mostrano soddisfacente accordo ed hanno permesso di operare mediante algoritmi di analisi attraverso i quali elementi in parete sottile a comportamento torsionale fortemente migliorato dall’inserimento di vincoli diffusi possono essere studiati con affidabilità. Nella sinergia fra la capacità di affrontare e risolvere efficacemente i problemi tecnologici connessi alla produzione di elementi dotati di soletta superiore con formazione di nucleo chiuso e l’approccio analitico che ne permette lo studio accurato sono quindi da ricercarsi le premesse di base che hanno consentito di fornire soluzioni adeguate alla richiesta di potere produrre elementi in parete sottile con luci elevate ed adeguata capacità portante torsionale.


2. ANALISI FLESSO-TORSIONALE DI ELEMENTI SOTTILI A SEZIONE APERTA IN PRESENZA DI VINCOLI INTERNI

2.1. APPROCCIO ANALITICO

Si consideri l’elemento di Figura 1a, avente lo schema statico di Figura 1b, soggetto ad un carico torcente costante qω. Riferita la sezione trasversale agli assi di principali di inerzia x-y e al centro di torsione D, l’equazione di equilibrio dell’elemento risulta
qIV - a2q''= qωl4/Elωω (1)

essendo

a2= (Gld/Elωω)l2 (2)
ed avendo operato nella (1) le derivazioni sulla ascissa adimensionale z=z/l .


Figura 1.
Elemento in parete sottile. a) Sezione trasversale; b) Schema statico longitudinale

Nella (2) si sono rispettivamente indicate con Gld (Nm2) e con Elωω (Nm4) la rigidità sezionale di torsione pura e di ingobbimento. Il comportamento torsionale dell’elemento è governato dal parametro a. Per valori piccoli di a, in particolare per a tendente a 0, la (1) si trasforma nella seguente equazione differenziale
qIV = qωl4/Elωω (3)

mentre per grandi valori di a, in particolare per tendente a ∞, dalla (1) si ricava

-q''= qωl2/Gld (4)

La (3) e (4) rappresentano rispettivamente le equazioni indefinite di equilibrio di elementi aventi portanza unicamente biflessionale o torsionale pura. Per quanto riguarda le condizioni al contorno, allorché l’elemento è vincolato con semplici appoggi torsionali, tali condizioni per le (1), (3) si scrivono
q(0)=q(1)=0
q''(0)=q''(1)=0 (5)
esprimenti l’annullarsi agli estremi delle rotazioni e del bimomento. Relativamente alla (4), le condizioni al contorno si scrivono invece
q(0)=q(1)=0 (6)
E’ facile osservare dalla (2) che il parametro a può essere reso piccolo allorché, a parità di rigidità torsionale Gld, si accresca quella biflessionale oppure si riduca la luce l dell’elemento.
Il regime tensionale in una sezione generica dell’elemento si scrive poi

sω(z,s)=Eq''(z)ω(s)
tω(z,s)=-Eq'''(z)Sω(s)/b(s) (7)
tD(z,s)=Gq'(z)b(s)

essendo rispettivamente ω(s), Sω(s), b(s) l’area settoriale, il suo momento statico alla ascissa s e lo spessore della parete. Le tensioni sω, tω sono associate al comportamento biflessionale, mentre la tensione tD è connessa a quello di torsione pura. In particolare sulla testata dell’elemento appoggiato torsionalmente risulta q''(0)=(0), cosicché è massimo il valore di q'(0) e quindi quello di tD(0,s). Inoltre poiché in tale testata risulta massimo il momento torcente esterno, avente valore

T(0)= qωl/2 (8)

ed essendo per ogni z

-Elωωq'''(z)+Gldq'(z)=T(z) (9)

anche q'''(0) presenta un valore massimo relativo nella sezione di testata. Indicate pertanto con ωmax, (Sω/b)max, bmax i valori massimi che le grandezze indicate attingono sulla sezione di estremo, per le tensioni massime agenti in tale sezione può scriversi

sωmax=0
tωmax=tω(0,s1)=-Eq'''(0)(Sω/b)max (10)
tDmax=tD(0,s2)=Gq'(0)bmax

essendo rispettivamente s1, s2 le ascisse ove il rapporto Sω/b e b raggiungono i loro valori massimi.
La distribuzione delle tD è più sfavorevole di quella delle tω, cosicché elementi dotati di bassi valori del parametro a risultano più efficienti. Negli elementi di notevole lunghezza a è invece assai elevato, cosicché il regime tensionale è quasi del tutto definito dalla terza delle (10) e l’equazione di equilibrio può essere assunta, senza grave errore, coincidente con la (4). Per migliorare l’efficienza statica di elementi di notevole lunghezza, può convenientemente procedersi modificando le condizioni di vincolo di estremità, ad esempio inserendo nelle sezioni di estremo un elemento di collegamento che riduca l’ingobbimento relativo fra due punti del profilo.


Figura 2.
(a) Elemento con calastrelli di estremitą; (b) Struttura principale

Una tecnica assai semplice, tratteggiata in Figura 2a consiste nel disporre sulle due testate un calastrello di lunghezza d, larghezza a e spessore d che sia in grado, lavorando come trave inflessa nel piano orizzontale, di costituire vincolo elastico capace di limitare l’ingobbimento relativo fra i punti A e B del profilo aperto. Come ben noto [01], questa operazione permette di applicare agli estremi della trave un bimomento, rendendo il sistema internamente iperstatico, modificando lo stato tensionale nella zona di testata. La soluzione del problema iperstatico si persegue, come rappresentato in Figura 2b, indicando con Mω il bimomento applicato dal calastrello, fornito dalla relazione Mω=Q1Ω, essendo Q1 la forza di taglio agente nel calastrello e Ω il doppio dell’area racchiusa dal nucleo, e scrivendo la condizione di congruenza in z=0 che, per ragioni di simmetria, diviene, [02]
_________________
Mω=[d11f(a)+d11v]=-q'q(0)g(a) (11)
______________________
essendo rispettivamente d11, d11v l’ingobbimento prodotto da due bimomenti unitari agenti nelle sezioni di estremità dell’elemento supposto privo di rigidità torsionale pura e quello che si produce elasticamente nel vincolo e q'q(0) l’ingobbimento prodotto dal carico torsionale qω nell’elemento supposto privo di rigidità torsionale pura. Le funzioni f(a), g(a) hanno rispettivamente le espressioni generali

(12)

mentre, nello specifico caso trattato, per d11v risulta

(13)

essendo ka=a/d, kb=E/G.
Introdotto il parametro di accoppiamento

(14)

e il bimomento di incastro perfetto di un elemento privo di rigidità torsionale

(15)

alla (11) può darsi la suggestiva forma

(16)

Essendo il parametro b soggetto alle limitazioni
0≤b≤1 (17)
per il bimomento Mω risulta l’intervallo di variazione

(18)
________________________________________
E’ infine interessante osservare che i fattori d11, q'q(0) si valutano nell’elemento supposto privo di rigidità torsionale pura, ovvero applicando l’eq. (3). L’evidente analogia che viene ad instaurarsi con l’analisi flessionale di un elemento soggetto ad un carico uniforme e a due momenti flettenti di egual valore unitario posti alle estremità permette immediatamente di scrivere
_
d11=l/2Elωω
_
q'q(0)=qωl3/24Elωω (19)

cosicché risulta
_
Mω=-qωl2/12 (20)

e quindi, introdotta la funzione

(21)

alla (16) può darsi la forma compatta

(22)

Per la rotazione, l’ingobbimento e le sollecitazioni biflessionale e torsionale dell’elemento risultano le espressioni

(23)
ove si è posto

(24)


Figura 3. Funzioni l(a,b)


Figura 4. Rotazioni torsionali

I grafici delle funzioni l, riportati nella Figura 3 al variare di b, e delle relazioni (23), illustrati da Figura 4 a Figura 8, al variare di b per a=10 e al variare di a per b=0.4, permettono di evidenziare chiaramente l’effetto del vincolo di estremità nel migliorare la capacità portante dell’elemento. L’esame della funzione l evidenzia che un aumento di rigidità del vincolo interno, caratterizzata da valori crescenti di b, accresce il bimomento di estremità cui corrispondono riduzioni dello stato deformativo e delle tensioni tangenziali di torsione pura, riportate nella Figura 8, associate alla insorgenza delle tensioni longitudinali illustrate in Figura 6.


Figura 5. Ingobbimento


Figura 6. Tensioni normali di ingobbimento


Figura 7. Tensioni tangenziali di ingobbimento

Nella testata dell’elemento, purché il fattore a non sia troppo elevato, possono così raggiungersi cospicue riduzioni della tensione tangenziale tD, spostando verso la capacità resistente di ingobbimento l’equilibrio torsionale della sezione di estremità. Vi è comunque da osservare che la tensione tD, che subisce un sensibile abbattimento nella sezione terminale, tende ad aumentare al crescere di z spostando verso le sezioni più interne all’elemento le situazioni critiche nei riguardi della capacità portante torsionale. Questa circostanza non appare comunque particolarmente negativa poiché nelle sezioni più interne è presente, con la pienezza del suo valore e degli effetti correlati, la forza di presollecitazione che, prevenendo i fenomeni fessurativi, incrementa in maniera decisiva la capacità portante torsionale dell’elemento.


Figura 8. Tensioni tangenziali di torsione pura

Una situazione altrettanto favorevole non si manifesta invece per le tensioni normali da ingobbimento sω(0,a,b) generate dal bimomento applicato dal vincolo, le quali sono presenti nella sezione terminale e danno luogo a stati di trazione che devono essere equilibrati mediante armature ordinarie, non essendo ancora efficace la presollecitazione. Si può pertanto concludere che, sebbene il vincolo offerto dal calastrello terminale sia efficace nel ridurre le tensioni tangenziali tD, la sua efficienza, che diminuisce al crescere di a, è limitata negli elementi di notevole luce a causa del minore ingobbimento che si genera nella sezione terminale dell’elemento e può dare luogo a effetti nocivi per la durabilità degli elementi di luce più ridotta, per i quali il maggior valore del bimomento di estremità può generare effetti fessurativi locali dovuti alla presenza di elevate tensioni longitudinali di ingobbimento.
Una soluzione più idonea che permette di ridurre in maniera decisiva le tensioni tD senza applicare sollecitazioni biflessionali di estremità e conseguentemente tensioni normali di trazione, consiste nel realizzare una soletta continua di spessore d, estendendo i due calastrelli terminali alla totale lunghezza della trave, ovvero ponendo d=l. In questo caso, come mostrato in Figura 9, il vincolo elastico interno è costituito dalla soletta superiore e condiziona gli spostamenti longitudinali relativi dei punti A, B di connessione fra l’elemento e la soletta, incrementandone in maniera decisiva la capacità resistente a torsione.


Figura 9. Flusso di tensioni tangenziali nell'elemento vincolato alla soletta

Detti x, y gli assi principali di inerzia, siano G e D rispettivamente il baricentro e il centro di torsione dell’elemento avente sezione aperta, una volta privato della soletta superiore. Indicando con Q(z) il flusso di tensioni tangenziali che si trasmette fra soletta ed elemento, l’equazione indefinita di equilibrio alla torsione si scrive

ElωωqIV-Gldq''=qω+Q'Ω (25)

ove Ω, rappresentante la differenza fra le aree settoriali dei punti che si affacciano lungo il taglio effettuato fra la soletta superiore e l’elemento, coincide con il doppio dell’area racchiusa dalla linea media del profilo della parte biconnessa della sezione.
La condizione di congruenza nel punto di separazione risulta

dQQ=Ωq' (26)

essendo dQ lo spostamento relativo prodotto da un flusso di taglio unitario, la cui valutazione, operata applicando il principio dei lavori virtuali, porta a scrivere

(27)

Ricordando che, in accordo alla teoria di Vlasov, è da ritenersi nulla la deformazione di scorrimento nel piano medio del profilo, dalla (27) si ricava subito

dQ=a/dG (28)

Dalla (26) si ha quindi

Q(z)=Ωq'(dG/a) (29)

e sostituendo la (29) nella (25) si ottiene

ElωωqIV-Gldq''=qω+Ω2(dG/a)q'' (30)

Posto infine
_
ld=Ω2d/a (31)

la (30) assume la forma definitiva
____________
ElωωqIV-G(ld+ld)q''=qω (32)

La (32) rappresenta l’equazione di equilibrio torsionale dell’elemento in presenza del vincolo fornito dalla soletta superiore. Posto pertanto

(33)

ricordando la (2), si ricava

(34)

e risulta immediato osservare che il vincolo interno rappresentato dalla soletta superiore dà luogo ad un sensibile incremento di a, essendo ld>>ld. Combinando le (32), (34) si ottiene infine

(35)

Ne deriva pertanto che l’introduzione della soletta superiore in elementi che, per via della loro elevata luce, presentano alti valori del parametro a, incrementa ulteriormente ed in maniera assai cospicua tale parametro, sì da rendere praticamente trascurabile il contributo all’equilibrio torsionale della capacità portante di ingobbimento, permettendo di riscrivere la (35) nella forma ridotta (4), ottenendo così

(36)
__________
essendo G=ld/ld. Operando l’integrazione della (36) con le condizioni al contorno espresse dalla (6) si ottiene

(37)

mentre per il momento torcente T=Gld(1+G)q' si ricava

(38)

e quindi per il flusso di tensioni tangenziali agente nella soletta nella sezione di testata, espresse dalla (29), può scriversi

(39)

Al flusso dato dalla (39) corrisponde la tensione tangenziale

(40)

Si osservi infine che allorché risulta G >>1, ricordando la (31), per la (40) si può scrivere

(41)

cosicché la tensione tangenziale ts viene a coincidere con la tensione ts(B) deducibile applicando la formula di Bredt per gli elementi a sezione chiusa. La combinazione delle (40), (31), (41) permette infine di scrivere l’interessante relazione

(42)

che correla la tensione tangenziale agente nella soletta con quella calcolabile attraverso la formula di Bredt che ne costituisce il valore asintotico allorché G tende a ∞.
Nelle altre parti del nucleo chiuso, appartenenti al profilo dell’elemento, oltre alla ts è presente la distribuzione di tensioni tangenziali distribuite linearmente nello spessore connesse al comportamento a torsione pura con inerzia torsionale ld(1+G). Per tali tensioni risulta il valore massimo

(43)

e tale valore, in virtù delle (31), (42) si scrive

(44)

Ne deriva che le massime tensioni tangenziali agenti nella sezione di testata risultano

− nella soletta
(45)

− nelle altre parti del nucleo chiuso
(46)

− nelle parti non appartenenti al nucleo chiuso
(47)

Le (45)÷(47) evidenziano con chiarezza il contributo alla resistenza offerto dalla soletta. Essa infatti permette di ricondurre lo stato di tensione tangenziale esistente in ogni parte della sezione alla tensione calcolata in accordo alla formula di Bredt, agente nel nucleo chiuso. In particolare nella soletta, che realizza il vicolo elastico di impedimento al libero ingobbimento, la tensione è più piccola di quella prevista dalla formula di Bredt a causa della sua deformabilità elastica, mentre è maggiore nelle altre parti del nucleo chiuso rispetto a quella esistente in soletta poiché qui sussistono anche le tensioni tangenziali di torsione pura il cui contributo è comunque modesto essendo ridotto il fattore bmaxa/Ω. Tali tensioni sono le uniche che sussistono nelle parti esterne al nucleo che risultano perciò moderatamente impegnate. Allorché la soletta sia assunta indeformabile può porsi G tendente a ∞ cosicché la tensione di Bredt può riguardarsi quale valore limite asintotico della tensione tangenziale agente nel nucleo chiuso. I concetti ora espressi sono ben evidenziati nella Figura 10 ove, al variare di G, è riportato, per diversi a, il rapporto

(48)


Figura 10. Rapporto tra le tensioni tangenziali in presenza e in assenza della soletta

fra le tensioni di torsione pura calcolate in presenza della soletta e quella valutata in assenza della soletta. Si osserva al crescere di G una diminuzione monotonica della tensione di torsione pura fino al suo annullamento, in corrispondenza a G tendente a ∞ allorché lo stato tensionale nella sezione è governato dal regime di Bredt che si instaura nel nucleo chiuso.


2.2. I PROCEDIMENTI DI ANALISI NUMERICA

Lo studio del comportamento flessotorsionale degli elementi in parete sottile a sezione aperta con vincolo elastico diffuso rappresentato dalla soletta superiore di cui in Figura 11 è mostrato un tipico esemplare, può convenientemente affrontarsi mediante il Metodo degli Elementi Finiti. Tale metodo permette una analisi particolarmente raffinata che consente di cogliere anche aspetti di comportamento di tipo locale che i procedimenti analitici, basati su ipotesi cinematiche più rigide, non sono in grado di afferrare. A tale riguardo si ricordano le problematiche connesse alla deformabilità trasversale del profilo e quelle derivanti dalla presenza di gradienti tensionali negli spessori.
Operando nel dominio elastico lineare, l’utilizzo del Codice di calcolo Algor 14, [03], [04], e dell’elemento tridimensionale “Brick” si mostra particolarmente efficiente e permette di modellare con flessibilità e precisione l’intera struttura, specialmente nelle parti ove variazioni di geometria, eventuali forometrie, applicazioni di carichi concentrati, condizioni al contorno di carattere puntuale, richiedono una attenta e affidabile discretizzazione strutturale. Allorché si presentano situazioni di simmetria strutturale e di carico, l’intero manufatto, o una sua parte, può discretizzarsi come mostrato sinteticamente in Figura 12.


Figura 11. Elemento per coperture tipo shed

La scelta di tale discretizzazione, che è demandata interamente alla capacità introspettiva dell’utilizzatore, deve essere opportunamente progettata e controllata nei suoi prerequisiti essenziali poiché da essa deriva in maniera sostanziale la precisione dell’analisi.


Figura 12.
Discretizzazione della parte terminale

I risultati sono restituiti sia in forma numerica sia grafica cromatica, quest’ultima di facile e immediata lettura, nonché utile riferimento per una più approfondita analisi di dettaglio. Le due rappresentazioni, tra loro sinergiche, devono essere, in linea di principio, entrambe elaborate, onde poter adire ad una soddisfacente modellazione del comportamento strutturale.
Lo studio di elementi in parete sottile, sia in configurazione isolata, sia fra loro interagenti, eseguito mediante l’utilizzo del Codice Algor, è stato ampiamente sviluppato negli ultimi anni [05].
Nel presente lavoro con riferimento all’elemento Ecoshed 3000, ne viene determinato lo stato tensionale e deformativo, generato dalle azioni costituite dal peso proprio, dal carico di esercizio e dalla presollecitazione, con particolare riferimento ai valori che le tensioni tangenziali attingono nel nucleo centrale chiuso.
Allo scopo di istituire un utile confronto tra l’approccio analitico e quello numerico, i risultati ottenuti saranno oggetto di confronto e discussione.


3. APPLICAZIONE ALLO STUDIO DELL’ELEMENO ECOSHED 3000

L’elemento prefabbricato in calcestruzzo armato presollecitato, è utilizzato per particolari coperture dette a micro-shed, nelle quali il semplice accostamento di più elementi e l’orientamento a nord dei lucernari, Figura 13, consente, all’interno dell’edificio industriale, un’illuminazione di tipo indiretto, essenziale per particolari destinazioni d’uso.


Figura 13.
Elementi accostati

Ne segue una sezione trasversale asimmetrica a profilo chiuso in parete sottile rappresentata in Figura 14, con spessore minimo 5 cm e larghezza totale 249 cm.


Figura 14.
Sezione trasversale

Il manufatto, il cui profilo longitudinale è mostrato in Figura 15, ha altezza costante 127.8 cm e lunghezza 26.60 m, con luce di calcolo pari a 26.20 m.
La resistenza caratteristica a compressione cubica a 28 giorni è Rck=550 daN/cm2, il modulo elastico risulta Ec=422000 daN/cm2 e il modulo di contrazione trasversale è n=0.15.


Figura 15.
Profilo longitudinale

L’elemento è vincolato ad ogni estremo in semplice appoggio, in configurazione isostatica in senso longitudinale e trasversale, attraverso due cuscinetti in neoprene armato dello spessore complessivo di 16 mm, collocati, per ogni appoggio, in corrispondenza delle nervature.
Le azioni considerate sono da intendersi quali rappresentative, ovvero non coincidono in linea di principio con azioni relative ad un edificio specifico. Esse sono quindi da assumersi quali dati, che, pur mediamente riscontrabili nella realtà di impiego, sono qui utilizzati per la determinazione di sollecitazioni rappresentative dell’usuale utilizzo dell’elemento e per effettuare comparazioni tra i metodi di calcolo analitico e numerico.

L’entità delle azioni applicate è la seguente
- peso proprio g=749 daN/m
- permanenti ∆g=20 daN/m2
- variabili q=180 daN/m2
e la loro applicazione è esemplificata in Figura 16, ove sono riportati anche gli assi principali di inerzia e le posizioni del centro di taglio D e del baricentro G, per i quali risultano rispettivamente nel sistema x’-y’ le coordinate
xG = 116.35 cm yG = 45.52 cm
xD = 79.77 cm yD = -7.73 cm


Figura 16.
Esempio di applicazione

Le azioni applicate, scomposte lungo gli assi principali, risultano
qx = -5.114 kN/m
qy = -12.024 kN/m
qω = -4.01 kNm/m

Per quanto riguarda la presollecitazione (P), esemplificata in Figura 17, essa è composta da 21 trefoli da 1/2”, di cui 8 inguainati, e da 3 trefoli da 3/8”.
Per simulare il tratto di diffusione della presollecitazione, le forze che i singoli trefoli trasmettono al calcestruzzo sono state distribuite in tratti di lunghezze pari a 50 cm per i trefoli di minor sezione e di 60 cm per quelli di maggior area.


Figura 17.
Nodi di applicazione delle forze di presollecitazione

Relativamente ai parametri sezionali, si è calcolato
lxx = 0.14035 m4 aaaa lyy = 0.01747 m4
lωω = 0.00113 m6aaaa ld = 0.00072 m4
Ω = 0.6064 m2 aaaaaaa = 0.72 m
_
ld = 0.02501 m4 aaaaal*d = 0.02573 m2
____________________________
d = 0.049 m aaaaaaaaG =ld/ld = 34.736

cosicché per il parametro a dell’elemento privo del vincolo fornito dalla soletta e quello modificato a risultano i valori

a=26.2[(0.4*0.00072)/0.00113]1/2 = 13.227
_
a =13.227 (1*34.736)1/2 = 79.07

Vengono nel prosieguo riportati i risultati relativi alla analisi flesso-torsionale effettuata per via analitica. Tale studio, atteso l’elevato valore assunto dal parametro a, può effettuarsi senza commettere errore significativo assumendo trascurabile la capacità portante biflessionale dell’elemento dotato del vincolo della soletta.
I risultati delle analisi numeriche relativi alle tensioni tangenziali sono riportati da Figura 18 a Figura 20 ove, per maggiore facilità di lettura, le tensioni tangenziali prodotte dalle azioni di taglio Vx, Vy e dal momento torcente T sono state diagrammate separatamente. Infine nella Figura 21 sono rappresentate le tensioni tangenziali totali, somma di quelle prodotte dalle forze di taglio Vx, Vy e dalla torsione T. I valori indicati sono relativi al piano medio del profilo ove è tDS=0. Per determinare la tensione tangenziale massima agente nella sezione di testata dell’elemento è necessario aggiungere il contributo espresso dalla (43). Le tensioni tzs prodotte da Vx appaiono alquanto contenute e non superano 0.6 MPa, mentre assai più marcate sono le tensioni associate a Vy, che raggiungono nella nervatura più sottile della sezione valore massimo prossimo a 4 MPa. La presenza contemporanea di Vx e Vy mitiga il quadro tensionale associato a Vy in quanto sulla nervatura più sottile le tensioni tangenziali associate a Vx e Vy hanno segno opposto. In presenza della totalità dei carichi, le tensioni tangenziali prodotte dal taglio non superano pertanto i 3.3 MPa. Le tensioni associate alla torsione, valutate sul piano medio del profilo, sono presenti praticamente solo nel nucleo chiuso della sezione e sono associate al flusso Q(z=0), che è costante con s. La variabilità delle tensioni tangenziali con l’ascissa curvilinea è pertanto dovuta solamente alla variabilità dello spessore del profilo. Anche in questo caso le tensioni massime si dislocano sulla nervatura di minimo spessore con valori dell’ordine di 2 MPa. E’ interessante notare il fondamentale contributo fornito all’equilibrio dal vincolo interno, costituito dalla soletta superiore, ove le tensioni tangenziali si posizionano nell’intervallo (1.5÷2) MPa. Essendo tuttavia nella nervatura di minimo spessore le tensioni tangenziali prodotte dalla torsione di segno opposto a quelle prodotte dal taglio Vy, lo stato tensionale in essa presente migliora fortemente sotto l’effetto delle azioni totali e le tensioni massime non superano 1.35 MPa. Viceversa, le tensioni dovute alla torsione, al taglio Vx e al taglio Vy sono concordi nella nervatura di maggior spessore che, sebbene più robusta, patisce le più ingenti tensioni tangenziali, tuttavia di valore non eccessivo, essendo le massime non superiori a 2.1 MPa. Nelle propaggini, essendo il loro contributo alla torsione trascurabile, le tensioni tangenziali mantengono, in presenza delle azioni totali, il valore che esse hanno in presenza della concomitanza di Vx e Vy. Allo stesso modo, nella soletta superiore che funge da vincolo trasversale le tensioni sotto le azioni totali si mantengono identiche a quelle prodotte dalla sola torsione.


Figura 18.
Tensioni tangenziali prodotte dal taglio Vx (daN/cm2)


Figura 19.
Tensioni tangenziali prodotte dal taglio Vy (daN/cm2)

Il decisivo contributo fornito dalla soletta alla capacità portante torsionale dell’elemento è ben rilevabile allorché per a=13.227, ovvero per l’elemento privo di soletta, si valuti la tensione tangenziale di torsione pura nel punto di suo valore massimo, nella nervatura di sinistra, ove si ha b=10 cm. Ricordando la terza delle (7) e la seconda e la quinta delle (23), risulta
________ _
TD = 0.849Vω =0.849*4.01*26.4/2 = 44.9 kNm
tDmax = 44.9*104*10/0.00072*10-8 = 62.36 daN/cm2


Figura 20.
Tensioni tangenziali prodotte dal momento torcente T (daN/cm2)


Figura 21. Tensioni tangenziali totali (daN/cm2)

Il valore della tensione così calcolata non è accettabile per il calcestruzzo, viceversa, in presenza della soletta si ha TD~Vω , da cui sullo spessore dmin~4.5 cm, la tensione alla Bredt vale ts(B)= 4.01(26.2/2)*104/(6064*4.5)=19.25 daN/cm2.
Per la tensione nel punto di massimo spessore della nervatura sinistra, dalla (44) si calcola quindi il valore
tDmax =19.25*(34.736/35.736)*(10*72/6064)=2.22 daN/cm2
che mostra per tale tensione una riduzione del 96% rispetto a quella esistente nell’elemento a profilo aperto. La tD diventa così pressoché trascurabile e la tensione tangenziale presente nella nervatura si riduce pertanto a quella connessa al flusso alla Bredt, riportata in Figura 20. La presenza della soletta permette pertanto di trasformare un elemento in parete sottile a sezione aperta, assolutamente insufficiente ad equilibrare il momento torcente, in un elemento del tutto valido a questo scopo, confermando il suo essenziale ruolo volto ad incrementare la valenza progettuale dell’elemento.
I risultati della analisi numerica sono illustrati in forma grafica cromatica dalla Figura 22 alla Figura 25, relativamente ad una sezione posta a 40 cm dall’appoggio. Sono stati considerati i seguenti quattro casi di carico
- LC1 = g + ∆g
- LC2 = g + ∆g + q + P
- LC3 = q
- LC4 = g + ∆g + q

I valori delle tensioni tangenziali sono riferiti agli assi x ed y, come indicato nelle figure. Detti valori devono essere opportunamente composti nei tratti in cui l’asse del profilo della sezione non è parallelo ad essi.


Figura 22.
Tensioni tangenziali txy

Figura 23.
Tensioni tangenziali tyz

In Figura 24 e Figura 25 si può notare come le forze di presollecitazione abbiano una decisa influenza nel modificare, localmente, le tensioni tangenziali sopra riportate a causa della presenza delle azioni mutue che si instaurano fra i trefoli e il calcestruzzo a seguito del loro ancoraggio per aderenza.


Figura 24.
Tensioni tangenziali tyz

Per il caso di carico LC2, si riporta infine in Figura 26 la tensione syy nella sezione di mezzeria.


Figura 25.
Tensioni tangenziali txy

Figura 26.
Tensioni normali syy

I risultati dei due approcci mostrano buona correlazione. In particolare i livelli tensionali tangenziali prodotti dalle sollecitazioni di taglio e torsione risultano ben sovrapponibili. Differenze si notano invece per quanto riguarda le tensioni normali massime agenti al lembo inferiore dell’elemento. L’analisi per elementi finiti evidenzia una trazione dell’ordine di 2 MPa, mentre l’analisi secondo la teoria delle aree settoriali fornisce una tensione di compressione di circa 0.5 MPa. Questa differenza trova la sua giustificazione nelle differenti ipotesi con cui sono calcolate le tensioni. Precisamente, l’analisi ad elementi finiti tiene conto del gradiente tensionale esistente nello spessore del profilo, mentre l'analisi secondo la teoria delle aree settoriali si riferisce a stati tensionali longitudinali costanti nello spessore dell’elemento e valutati sul profilo medio, quindi a minore distanza dagli assi principali di inerzia. Peraltro, le tensioni normali, calcolate secondo l’approccio delle aree settoriali, possono essere facilmente rivalutate, ottenendo risultati del tutto simili a quelli propri dell’approccio agli elementi finiti, allorché si rimuova, al solo fine del calcolo delle tensioni di tipo flessionale, l’ipotesi della costanza delle tensioni negli spessori e si introduca l’ipotesi di distribuzione piana delle deformazioni longitudinali.
Sotto l’aspetto della idoneità statica dell’elemento a fronte delle sollecitazioni applicate, si ravvisa quindi una situazione ammissibile e soddisfacente i dettami normativi e ciò anche quando l’elemento è impiegato sulla sua luce massima quale è quello che è stato oggetto del presente studio. L’evidenza fisica, la chiarezza degli assunti e dei risultati che ne derivano conferiscono all’approccio analitico connotazione di strumento indispensabile per procedere al progetto dell’elemento. L’analisi per elementi finiti, che è in grado di cogliere non solo gli stati tensionali connessi alla presenza di azioni interne globali, bensì anche quelli di carattere locale, appare invece consigliabile in sede di verifica finale, per potere affinare la conoscenza sul comportamento del manufatto e dell’influenza esercitata da anomalie tensionali di carattere locale.


Figura 27.
Spostamenti verticali

Relativamente agli spostamenti verticali, nella Figura 27 sono riportate le deformate della linea d’asse riferita al punto C del profilo dell’elemento indicato in Figura 16, valutate in campo elastico seguendo l’approccio analitico, i cui risultati appaiono nella parte destra della figura, e quello numerico, relativo alla parte sinistra. Nelle analisi si è introdotta la presollecitazione con il suo valore finale, astraendo dai fenomeni viscosi che si sviluppano nel tempo. I due metodi mostrano pratica coincidenza, pur osservando che il metodo numerico mette in evidenza una maggiore flessibilità dell’elemento in quanto ne coglie la deformazione trasversale del profilo nonché il cedimento elastico degli appoggi in neoprene. Di questi contributi, il primo non è presente nell’approccio analitico in quanto basato sull’ipotesi di indeformabilità del profilo, mentre il secondo, pur facilmente determinabile, è stato comunque trascurato nelle calcolazioni che si riferiscono alla sola deformabilità elastica dell’elemento. Sotto le azioni di tipo permanente, la presollecitazione è prevalente e si hanno spostamenti positivi. La presenza delle azioni variabili inverte questa tendenza e lo spostamento a metà della campata diviene negativo. Questo fatto merita attenzione poiché spostamenti negativi potrebbero essere sfavorevoli per il deflusso delle acque. Peraltro, tenendo conto che fra gli incrementi di spostamento dovuti alla viscosità, quelli prodotti dalla presollecitazione, che genera stati tensionali decrescenti nel tempo, risultano minori rispetto a quelli prodotti dai carichi permanenti, la situazione a tempo finale, che nell’analisi sotto le azioni permanenti è compatibile ad un corretto scolo delle acque, potrebbe non più esserlo allorché si tenga conto degli effetti viscosi e delle curvature indotte dal ritiro. Essendo peraltro gli spostamenti assai contenuti, modesti errori di calcolo potrebbero dar luogo a situazioni apparentemente accettabili. Da qui la necessità di un’analisi di grande accuratezza che, in linea di principio, non dovrebbe condursi con formulazioni semplificate della legge di viscosità o, se utilizzate, dovrebbero comunque essere sempre oggetto di controllo e verifica di affidabilità confrontandone i risultati con quelli derivati dalla applicazione di metodologie di analisi raffinate.


4. CONCLUSIONI

La necessità di potere disporre di elementi di copertura prefabbricati in c.a.p. di elevate prestazioni ha condotto alla progettazione di manufatti con luci che sono prossime ai 30 m, caratterizzate da sezioni sparse con spessori assai limitati. Questo tipo di elementi, che ricade nell’ambito delle travi in parete sottile a sezione aperta, presenta due capacità portanti di tipo torsionale, precisamente quella associata all’ingobbimento della sezione e quella di torsione pura. A causa della notevole luce degli elementi, la capacità portante di ingobbimento è assai ridotta, pertanto la resistenza torsionale risulta essenzialmente affidata alla capacità torsionale pura, che è in genere insufficiente ad equilibrare le azioni applicate. Per potere pertanto sfruttare pienamente questi elementi, le cui capacità resistenti di tipo flessionale ne permettono l’utilizzo su luci prossime a trenta metri, occorre modificarne l’assetto onde migliorarne il regime statico torsionale. Mantenendo lo schema statico di elementi semplicemente appoggiati sia flessionalmente che torsionalmente, la possibilità di modificare favorevolmente il regime delle tensioni tangenziali di estremità, risiede nella applicazione di un vincolo interno che, prevenendo l’ingobbimento relativo fra due punti della sezione, introduca un bimomento iperstatico al quale conseguano flussi di tensioni tangenziali distribuiti uniformemente negli spessori, capaci di equilibrare il momento torcente esterno in maniera più efficace di quanto non avvenga per le tensioni tangenziali associate alla capacità portante di torsione pura. L’introduzione di un bimomento concentrato alla estremità degli elementi può essere operato applicando un calastrello di forte rigidità flessionale nel piano orizzontale. Tale vincolo si rivela di buona efficacia e permette di incrementare sensibilmente la capacità portante dell’elemento. Tuttavia l’insorgenza di tensioni normali di trazione generate dal bimomento può produrre stati fessurativi nelle sezioni terminali dell’elemento ove la presollecitazione non è ancora pienamente attiva. Un vincolo interno di grande efficacia e di migliore funzionamento è quello costituito dalla realizzazione di una soletta superiore continua che permette di costituire un nucleo chiuso, particolarmente idoneo per equilibrare il momento torcente. La configurazione a nucleo chiuso con propaggini di piccolo spessore rende più complessa l’analisi dell’elemento che può comunque ricondursi ad una applicazione della teoria delle aree settoriali. Ciò è perseguibile trattando la soletta quale vincolo elastico diffuso, il cui flusso di tensioni tangenziali è ottenibile mediante la scrittura di una equazione di congruenza che governa l’ingobbimento relativo fra i punti estremi cui è collegata la soletta stessa. Le analisi teoriche svolte nel presente lavoro, sia in forma analitica, sia ricorrendo a formulazioni numeriche basate sulla discretizzazione per elementi finiti, hanno permesso di evidenziare il decisivo contributo della soletta, che costituisce fattore essenziale per l’incremento della capacità portante e contributo tecnologico di grande efficacia che innalza in modo netto la qualità del prodotto.
I due approcci hanno fornito risultati pressoché sovrapponibili sia per quanto riguarda lo stato tensionale sia per quello deformativo. Essi consentono pertanto di poter effettuare con precisione e affidabilità l’analisi di questi particolari elementi e permettono di procedere alla loro progettazione mirando a soddisfare inizialmente i criteri di ottimizzazione non solo legati alla capacità portante quali, ad esempio, il peso dell’elemento e le sue caratteristiche estetiche e formali. La successiva fase, legata alla verifica della capacità portante, trova negli approcci discussi lo strumento basilare, attraverso il quale vengono a delinearsi le correzioni e i miglioramenti atti a potere garantire un efficiente e affidabile comportamento statico e deformativo del manufatto.


5. BIBLIOGRAFIA

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[05] KNISEL S., MOLA F., “Problemi di interazione fra elementi di copertura prefabbricati a profilo aperto di piccolo spessore”, Atti del Congresso CTE 2002, Mantova, 2002.


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