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Estratto dagli atti del 15° Congresso C.T.E. Bari, 4-5-6 novembre 2004

COMPORTAMENTO A LUNGO TERMINE DI STRUTTURE IBRIDE
CONTENENTI ELEMENTI PREFABBRICATI IN CALCESTRUZZO


FRANCESCA GIUSSANI, Politecnico di Milano
ARIANNA MINORETTI, Professionista in Milano
FRANCO MOLA, Politecnico di Milano
CLAUDIO SAVOLDI, Professionista in Milano



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SUMMARY

The long term behaviour of hybrid shear resistant structures subjected to sustained loads is discussed. The analytical approach is based on the kinematical hypothesis regarding the rigid motion of the points belonging to the horizontal planes and on the introduction of constitutive linear viscoelastic laws. The shear resistant elements can exhibit flexural, torsional and warping rigidity. Assuming the lateral deformation as affine to the creep coefficient, the problem is governed by fourth-order ordinary differential equations which are solved in detail. A case study allows to properly discuss the basic aspects of the proposed algorithm and to point out the most outstanding prerequisites of hybrid shear resistant structures.


1. INTRODUZIONE

La tendenza verso forme architettoniche caratterizzate da maggior libertà creativa, la ricerca orientata ad una sempre più efficace collaborazione fra elementi strutturali resistenti e la richiesta di procedimenti costruttivi improntati a semplicità operativa ed al contenimento dei tempi di costruzione sono fra le principali ragioni che hanno portato a definire il concetto di strutture ibride, il cui sviluppo, nelle ultime due decadi, ha costituito fenomeno di grande importanza nella moderna ingegneria strutturale. L’accezione strutture ibride può dare luogo a svariate interpretazioni che, seppure corrette sotto l’aspetto lessicale, non definiscono esaurientemente i caratteri fondamentali che sono alla base di questi tipi di strutture e che ne permettono la precisa e non ambigua classificazione all’interno del più vasto universo degli organismi portanti delle costruzioni. Per meglio procedere alla identificazione delle caratteristiche tipiche delle strutture ibride, può essere utile ricordare situazioni nelle quali questo concetto, seppur a prima vista possa ritenersi applicabile, non è invece sufficientemente connotativo delle prerogative meccaniche del complesso strutturale. E’ questo il caso della associazione del concetto di ibridismo alla presenza di più materiali caratterizzati da differente comportamento reologico, in particolare alla presenza di elementi strutturali in acciaio e in calcestruzzo fra loro collaboranti come avviene ad esempio nelle travi a sezione mista acciaiocalcestruzzo, o, in minor misura, data la sostanziale omogeneità di base dei due materiali, negli elementi strutturali formati da calcestruzzi gettati in tempi differenti. Sotto un altro aspetto il carattere ibrido di una struttura è spesso associato alla presenza di più elementi, fra loro collaboranti che, seppur costituiti dal medesimo materiale, presentano comportamento meccanico differente come avviene ad esempio nei complessi resistenti alle azioni orizzontali ove collaborano elementi caratterizzati da elevate rigidità torsionali con elementi privi di rigidità torsionale. Anche in questo caso non può propriamente parlarsi di strutture ibride a causa della omogeneità del loro materiale costituente. Il concetto di ibridismo strutturale trova invece la sua compiuta definizione allorché i complessi resistenti siano formati da elementi fra loro collaboranti, caratterizzati da comportamento meccanico anche sensibilmente differente e risultino formati da materiali marcatamente disomogenei dal punto di vista reologico. Sotto questo secondo aspetto le tipiche situazioni sono quelle che contemplano la presenza di elementi o parti strutturali di tipo metallico e di tipo cementizio mentre dal punto di vista della diversità di comportamento meccanico, l’accoppiamento, in complessi resistenti alle azioni orizzontali, di strutture di tipo reticolare oppure a telaio in acciaio con pareti o nuclei in calcestruzzo armato tipicamente classifica un impianto strutturale quale struttura ibrida, [01]. All’interno dei vari tipi di collaborazione statica che possono instaurarsi fra elementi meccanicamente e reologicamente non omogenei, di grande interesse appare quella orientata a garantire la stabilità della costruzione nei confronti delle azioni laterali. Nella moderna ingegneria, la ricerca di forme architettoniche improntate a maggiore libertà ha condotto verso la progettazione di complessi nei quali lo sviluppo verticale subisce cesure o brusche variazioni causando l’insorgere di azioni orizzontali di elevata entità atte a modificare la discesa in linea diretta delle azioni verticali o a spostare la loro linea di discesa, giungendo anche in alcuni casi esasperati a prospettare la progettazione di edifici con colonne inclinate per la cui stabilità orizzontale sono richieste azioni orizzontali di sensibile entità, [02]. Edifici di questo tipo, che presentano forti singolarità di tipo esteticoformale, trovano nelle strutture ibride ideale mezzo per la loro stabilità laterale poiché l’accoppiamento di strutture metalliche e in calcestruzzo, di cui le prime di tipo intelaiato o reticolare e le seconde a nucleo o a parete, permette, portando le prime sulle facciate dell’edificio, di sfruttarne le caratteristiche anche sotto l’aspetto formale, connotando in maniera marcata il carattere ibrido ed esteticamente innovativo dell’edificio. La presenza di elementi reologicamente e meccanicamente eterogenei, capaci di opporsi ad azioni orizzontali aventi carattere di tipo permanente, pone problemi di complessa soluzione sia sotto l’aspetto progettuale sia sotto quello analitico poiché la ridistribuzione delle azioni orizzontali fra i vari elementi e l’incremento degli spostamenti laterali che nel tempo si generano rendono assai difficili le scelte da effettuarsi per mettere a punto sistemi efficienti ed affidabili, mantenendo il più possibile inalterate le prerogative architettoniche dell’edificio. E’ questo un problema che ha assunto negli ultimi tempi carattere sempre più attuale, in particolare in strutture nelle quali vengano impiegate ossature portanti di tipo prefabbricato, aventi nodi di tipo non monolitico e pertanto necessitanti di sistemi di sostegno laterali che molto spesso sono costituiti da pareti reticolari o da telai a struttura metallica. Allo scopo di presentare il problema nella sua essenzialità e di indagarne gli aspetti più significativi, nel presente lavoro vengono presi in considerazione complessi taglio-resistenti a configurazione ibrida soggetti ad azioni laterali di lunga durata. Allo scopo di fissare i caratteri essenziali del problema, l’aspetto reologico viene studiato considerando i casi limite di elementi collaboranti formati da materiale elastico e da materiale viscoelastico, mentre l’aspetto meccanico contempla il caso della presenza di elementi caratterizzati da rigidità flessionale e di elementi aventi rigidità flessotorsionale. La soluzione del problema, condotta in dettaglio in accordo coi principi esposti nel Codice Modello CEB-FIP MC90, [03], e assimilati dall’Eurocodice 2, può perseguirsi con ottima approssimazione attraverso formulazioni semplificate che permettono una chiara comprensione dei complessi fenomeni che si manifestano nel tempo in queste strutture e il cui insufficiente controllo può dare luogo a gravi insuccessi associati ad un insoddisfacente comportamento in esercizio del sistema strutturale, con nocive conseguenze sulle parti portate e su quelle di finitura. Un esempio numerico, relativo ad un caso di significativa importanza pratica, permetterà di trarre utili conclusioni sul comportamento staticodeformativo di strutture ibride demandate ad assicurare la stabilità di edifici soggetti ad azioni laterali aventi carattere permanente.


2. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA

2.1. CONSIDERAZIONI GENERALI

L’analisi dello stato di sollecitazione e di spostamento laterale di strutture ibride soggette ad azioni orizzontali di tipo permanente costituisce problema di complessa soluzione se affrontato nella sua generalità. Una trattazione più semplice può derivarsi assumendo ipotesi restrittive sul comportamento meccanico delle strutture resistenti e sulla reologia dei materiali che le costituiscono. Per quanto riguarda il comportamento meccanico, se si considerano elementi resistenti caratterizzati da sola rigidità flessionale accoppiati ad altri aventi rigidità di tipo flesso-torsionale e se ne ipotizza la costanza di geometria con l’altezza dell’edificio, la trattazione del problema, nell’ipotesi di comportamento elastico dei materiali, risulta agevole e comporta la risoluzione di un’equazione differenziale di quarto ordine, [04]. L’introduzione della non omogeneità reologica dei materiali costituenti gli elementi resistenti, limitata al caso di accoppiamento fra elementi a comportamento puramente elastico e a comportamento viscoelastico lineare, conduce alla risoluzione di un sistema di equazioni integro-differenziali che deve essere condotta attraverso algoritmi numerici nel dominio spazio-tempo. Introducendo le ipotesi semplificative dell’Eurocodice 2, la legge tensioni-deformazioni di tipo viscoelastico lineare può convenzionalmente essere ricondotta ad una forma pseudo-elastica lineare, cosicché la soluzione del problema può perseguirsi attraverso la sovrapposizione di soluzioni di tipo elastico ottenute in corrispondenza a due differenti valori del modulo elastico del calcestruzzo e considerando le azioni applicate al tempo iniziale e al tempo generico. In questo modo la risoluzione del problema comporta quella di equazioni differenziali di secondo ordine la quale, nelle ipotesi poste circa il comportamento meccanico e la geometria degli elementi resistenti, risulta sufficientemente agevole. Nel prosieguo il problema verrà quindi risolto nel dettaglio nell’ipotesi di comportamento elastico dei materiali, mostrando successivamente come sia possibile, note le soluzioni elastiche, estendere le stesse per effettuare una valutazione sufficientemente approssimata degli effetti differiti connessi alle deformazioni viscose delle strutture in calcestruzzo facenti parte di complessi ibridi taglio-resistenti.


2.2. GLI SVILUPPI ANALITICI

Si consideri un complesso strutturale costituente l’impianto resistente alle azioni laterali di una costruzione di altezza H, la cui sezione trasversale alla generica quota z è rappresentata in Figura 1.


Figura 1. Sezione trasversale del complesso strutturale

Assunto il punto O quale origine degli assi (x,y), si pongano le seguenti ipotesi:
• Gli impalcati dell’edificio siano perfettamente rigidi nel proprio piano e perfettamente flessibili fuori di esso;
• Le altezze di interpiano hi fra gli impalcati siano una frazione trascurabile dell’altezza totale;
• Gli elementi resistenti siano caratterizzati da rigidità flessionale nelle direzioni degli assi principali di inerzia, assunti paralleli agli assi (x,y) e da rigidità torsionale di tipo primario o di de Saint Venant e di tipo biflessionale o di ingobbimento. Tali rigidità possono coesistere nello stesso elemento oppure alcune di esse possono avere valori assai ridotti sì da poterle ritenere trascurabili.
Dette pertanto (xi, yi) le coordinate dei baricentri Oi degli elementi privi di rigidità torsionale e (xj, yj) quelle dei centri di torsione Dj degli elementi dotati di tale rigidità, gli spostamenti dei suddetti punti nelle direzioni x, y si scrivono:
ui=u-q*yi vi=v+q*xi (1)
cosicché, indicate rispettivamente con Kxi=E*lxxi, Kyi=E*lyyi le rigidità flessionali degli elementi, le azioni di taglio ad essi applicate risultano:
Vxi=-E*lxxi*ui'''=-Kxi*(u'''-q'''*yi)
Vyi=-E*lyyi*vi'''=-Kyi*(v'''-q'''*xi) (2)
mentre per il momento torcente si ha:
Ti=-Kwi*q'''+KTi*q' (3)
essendo Kwi=E*lwwi, KTi=G*ldi le rigidità torsionali di ingobbimento e di torsione pura dell’i-esimo elemento. Introdotte le componenti di sollecitazione esterna Fx, Fy, aventi rispettivamente eccentricità ey, ex rispetto al polo O, il momento Fz da esse generato intorno a tale polo vale:
Fz=Fx*ey+Fy*ex (4)
cosicché le equazioni di equilibrio alla quota z si scrivono:
SVxi=Fx SVyi=Fy
S(-Vxi*yi+Vyi*xi)+STi=Fy (5)
Introducendo le (2), (3) nelle (5) si ottiene:
-Kx*u'''+Sx(y)*q'''=Fx -Ky*v'''-Sy(x)*q'''=Fy
Sx(y)*u'''-Sy(x)*v'''-Kw*q'''+KT*q'=Fz (6)
ove si è posto:
kx=SKxi Ky=SKyi (7)
Sx(y)=SKxi*yi Sy(x)=SKyi*xi (8)
KT=SKTi Kw=SKxi*y2i+SKyi*x2i+SKwi (9)
Le (6) costituiscono un sistema di equazioni differenziali lineari di quarto ordine la cui soluzione, una volta stabilite le condizioni al contorno, permette di determinare gli spostamenti incogniti u, v, q e, attraverso le (2), (3), le sollecitazioni negli elementi. Essendo ciascun elemento assimilabile ad una mensola, ipotizzando nulle le azioni esterne in sommità, le condizioni al contorno si scrivono:
u(z=0)=u'(z=0)=0
v(z=0)=v'(z=0)=0
q(z=0)=q'(z=0)=0
u''(z=H)=v''(z=H)=q''(z=H)=0 (10)
Kx*u'''(z=H)=Sx(y)*q'''(z=H)
Ky*v'''(z=H)=Sy(x)*q'''(z=H)
Sx(y)*u'''(z=H)-Sy(x)*v'''(z=H)+-Kw*q'''(z=H)+KT*q'(z=H)=0
Effettuate le posizioni:
_
Kw=Kw-(Sx(y))2/Kx-(Sy(x))2/Ky
_
qz=qz+Sx(y)qx/Kx-Sy(x)qy/Ky (11)
la terza delle (6) fornisce:
_ sssssssssss._
Kw*qlV-KT*qll=qz (12)
e le relative condizioni al contorno risultano:
q(z=0)=q'(z=0)=0 q''(z=H)=0
_
Kw*q'''(z=H)-KT*q'(z=H)=0 (13)
La (12), con le relative condizioni al contorno (13), rappresenta l’equazione fondamentale della torsione del complesso resistente. Per la sua risoluzione, introdotta l’ascissa adimensionale ξ=z/H e il parametro, anch’esso adimensionale,
aaaaaaaa._
a2=H2*KT/Kw (14)
nella variabile indipendente ξ la (12) e le (13) si scrivono:
aaaaaaaa_
qlV-a2*qll=qz*H4/Kw (15)
q(ξ=0)=q'(ξ=0)=0 q''(ξ=1)=0
q'''(ξ=1)−a2*(ξ=1)=0 (16)
aaaaaaaa a._
Indicato con q(ξ) un integrale particolare della (15), la soluzione generale diviene:
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa_
q(ξ)=C1+C2*ξ+C3*Ch(a*ξ)+C4*Sh(a*ξ)+q(ξ) (17)
e dalle (16) risulta:
aaaaaa_aaaaaaaaaaaaa_
C1+C3+q(0)=0 C2+a*C4+q'(0)=0 (18)
da cui:
(19)

Nel caso particolare di azioni costanti con z le (19) si semplificano notevolmente in quanto si ricava subito:
(20)
e quindi dalle (19) e(17) risulta:
(21)
(22)
È facile osservare che, in assenza di rigidità torsionale di St. Venant (KT=0), la rotazione massima in sommità assume il valore
aaaaaa_aaaaaa._
q0max=qz*H4/8*Kw (23)
cosicché alla (22) può darsi la forma
q(ξ)=q0max*f(ξ,a) (24)
avendo posto
(25)
Dalle (23), (24) e (25) è possibile dedurre le espressioni del bimomento Mwi, del momento torcente di ingobbimento Twi e del momento torcente di St. Venant per l’elemento i-esimo di rigidità Kwi e KTi. Si ottiene:
(26)
(27)
(28)
essendo
aaaaaaa_aaaaaaaaaaa_
Mwmax=-qz*H2/2 Tmax=qz*H (29)
Nota la funzione q(ξ) è possibile procedere alla integrazione delle prime due delle (6) cui può darsi la forma
(30)
Posto ancora
(31)
dalle (30) risulta
(32)
e le condizioni al contorno associate alle (32), in virtù delle prime due delle (10), divengono semplicemente
(33)
aaaaaaaaaaaaaaaaii_ai_
indicati pertanto con u , v due integrali particolari delle (32), risulta
(34)
ed imponendo le condizioni (33) si ricava
(35)
Per carico esterno qx, qy, costante con z, si ottiene poi
(36)
e dalle (31), (34), (35) si ricava infine
(37)
Posto
(38)
(39)
dalle (37), (38), (39), (24) si ricava
(40)
cosicché per le azioni flettenti e taglianti presenti sull’i-esimo elemento di rigidità flessionale Kxi o Kyi può scriversi
(41)
essendo
Mxmax=-qx*H2/2 Vxmax=qx*H
Mymax=-qy*H2/2 Vymax=qy*H (42)
ed il problema risulta così completamente risolto.


2.3. LA RISOLUZIONE A LUNGO TERMINE

La trasposizione al dominio viscoelastico lineare del sistema risolvente (6) può immediatamente effettuarsi applicando gli enunciati dei teoremi generali ad esso inerenti. Indicata con R(t,t') la funzione di rilassamento degli elementi viscoelastici ed introdotti i coefficienti adimensionali ρi(t,t')=R(t,t')/E relativi a tali elementi ed i coefficienti ρi=1 per gli elementi aventi comportamento elastico, l’applicazione del secondo teorema della viscoelasticità lineare ed il principio di sovrapposizione di Mc Henry permettono di scrivere:
(43)
Il sistema integro-differenziale (43) richiede per la sua risoluzione algoritmi numerici alquanto laboriosi, basati sulla contemporanea applicazione del procedimento alle differenze finite per esprimere le derivate spaziali e sul metodo dei trapezi per valutare gli integrali sul tempo, [05]. Tenendo peraltro presente che il problema in esame rientra nella generale casistica dell’analisi di strutture viscoelastiche collaboranti con strutture elastiche, l’applicazione di metodi approssimati per la risoluzione delle (43) appare perseguibile. In particolare, applicando i concetti relativi alla formulazione algebrica del legame viscoelastico lineare riportata in [06], suggerita dall’Eurocodice 2 ed alla metodologia applicativa di tale formulazione stabilita in [07], il sistema (43) può risolversi in forma approssimata nel modo seguente.
a) Si introducano i coefficienti di invecchiamento χ e di combinazione µ dati dalle relazioni
(44)
b) Si risolvano le (6) al tempo iniziale assumendo per tutti gli elementi un comportamento elastico lineare e siano u0, v0, q0 gli spostamenti così determinati;
c) Si assegni alle parti viscoelastiche il modulo variato E'=E/(1 +χ*j) e si risolvano di nuovo le (6). Siano u1, v1, q1 gli spostamenti che vengono così calcolati.
La soluzione del problema in presenza di azioni esterne costanti nel tempo può allora porsi nella seguente forma:
u=u1*(1-µ)+µu0 v=v1*(1-µ)+µ*v0 q=q1*(1−µ)+µ*q0 (45)
ed in modo analogo, dette Sk le sollecitazioni esistenti in un generico elemento, può scriversi
Sk=Sk1*(1−µ)+µ*Sk0 (46)
essendo rispettivamente Sk0, Sk1 le sollecitazioni valutate nelle ipotesi di comportamento strutturale in accordo a quanto indicato in b), c).
La soluzione del problema, adottando la procedura qui brevemente descritta, è di agevole derivazione, richiedendo l’effettuazione di analisi elastiche. A tale riguardo possono direttamente impiegarsi le (6), modificando opportunamente i parametri che dipendono dal modulo elastico degli elementi a comportamento viscoelastico lineare. Nel prosieguo si mostra una significativa applicazione dell’algoritmo ora discusso.


3. ESEMPIO DI APPLICAZIONE

Si consideri il complesso strutturale rappresentato schematicamente in fig. 2. Esso consta di telai prefabbricati a nodi cerniera disposti con inclinazione delle colonne esterne di circa 7.5° sulla verticale. I telai hanno interasse 9 m. Le strutture di controvento consistono nelle due pareti 1 poste alle estremità dell’edificio e nel nucleo centrale 2 posto al centro dello stesso. Nelle due campate di estremità destra la larghezza minore dell’edificio si incrementa di 3 m, cosicché in tale zona risultano maggiori le forze orizzontali di deviazione applicate al sistema controventante che risulta quindi soggetto a torsione. Il complesso delle strutture di controvento presenta doppia simmetria, cosicché risulta conveniente disporre gli assi di riferimento (x,y) nel centro di simmetria. In tale modo si ha Sx(y)=Sy(x)=0 ed il sistema risolvente (6) risulta disaccoppiato nelle componenti v, q, essendo u=0 non avendosi forze applicate in direzione x. L’analisi viene condotta secondo la formulazione approssimata discussa nel §2.3. ed i casi che verranno esaminati costituiscono situazioni estreme.
Precisamente la prima (caso (a)) si riferisce ad un sistema controventante realizzato interamente in calcestruzzo di cui il nucleo centrale, costruito con casseri scorrevoli, presenta una età nettamente superiore a quella delle pareti la cui realizzazione è assunta contemporanea a quella dell’edificio. Si tratta dunque di un problema caratterizzato da disomogeneità reologica, il cui caso limite, studiato nel prosieguo, è definibile assegnando al calcestruzzo del nucleo un comportamento puramente elastico a causa della sua età più avanzata.


Figura 2. a, b
complesso strutturale oggetto dell’indagine

La seconda opzione (caso (b)) è invece tipica delle strutture ibride per comportamento reologico dei materiali, allorché si ipotizzano le parti formate da materiale elastico, ad esempio tralicci reticolari. In questo caso le deformazioni viscose del nucleo centrale, seppur ridotte data la sua età avanzata, non sono trascurabili poiché le pareti non presentano tali deformazioni, cosicché l’evoluzione temporale degli stati di sollecitazione e spostamento deve essere studiata. In questo caso, a differenza del precedente, è conservativo supporre che il tempo di costruzione del nucleo sia il più breve possibile, per incrementare la disomogeneità reologica del complesso ed ottenere soluzioni che costituiscano i limiti superiori entro cui il reale comportamento strutturale viene a collocarsi.
Si studia dapprima il comportamento flessionale del complesso.
Introdotto il coefficiente di accoppiamento ω=2*Ky1/(2*Ky1+Ky2), l’applicazione delle (40), (41), assumendo elastico il nucleo centrale, permette di scrivere per le grandezze al generico tempo t:
(47)
avendo posto
(48)
Le (47) forniscono la soluzione del problema al generico tempo t per il caso (a), ovvero allorché il nucleo centrale è assimilabile ad un elemento con comportamento elastico. All’istante iniziale t=t0 risulta j=0 , cosicché dalle (47), attraverso le (48), può derivarsi la soluzione a tale tempo assegnando valore unitario delle funzioni u1, u2. È poi di particolare importanza osservare che le (47) ammettono anche il calcolo dello stato di spostamento e sollecitazione per il problema (b) allorché sia assunto elastico il comportamento delle pareti laterali e viscoelastico quello del nucleo. In questo caso è facile verificare che le (47) possono ancora impiegarsi purché le funzioni u1, u2 siano valutate in corrispondenza al valore del coefficiente di accoppiamento ω anziché a quello del suo complementare ω e si applichino rispettivamente le funzioni u1, u2 alla parte elastica e a quella viscoelastica.
Si prende ora in considerazione il problema torsionale. L’applicazione alla (24) dei concetti esposti precedentemente, tenendo conto delle (14), (45), allorché si consideri il problema (a), ovvero si assuma il nucleo centrale caratterizzato da comportamento elastico, permette di scrivere
(49)
Per quanto riguarda le pareti aventi comportamento viscoelastico, le relative forze di taglio ed il momento flettente, essendo in questo caso Kw=2*K1y*a2, dove 2a è la distanza tra le pareti, si derivano dalle (34), ottenendo
(50)
Relativamente al nucleo, si ricava la seguente espressione per il momento torcente
(51)
Nelle precedenti si sono effettuate le seguenti posizioni
(52)
e la soluzione iniziale, per t=t0 è di immediata deduzione ponendo j=0, a'=a.
Anche in questo caso è fondamentale osservare che, allorché si studi il problema (b), ovvero si considerino a comportamento elastico le pareti laterali e a reologia viscoelastica il nucleo centrale, le (49), (50), (51) valgono ancora purché ci si riferisca al parametro a'=a/(1+χ*j)1/2 e nella (49) si sostituisca l’unità al termine (1+χ*j).
Nell’esempio si sono considerati i seguenti valori numerici

Allo scopo di mostrare le sensibili differenze di comportamento che si manifestano al variare del comportamento meccanico degli elementi, i risultati relativi alla risoluzione dei problemi (a) e (b) sono di seguito illustrati e confrontati tra loro.
Nella fig. 3 sono riportati, per entrambi i casi, lo spostamento laterale v e la rotazione torsionale q.


Figura 3. Spostamento flessionale e rotazione torsionale

Si osserva la forte sensibilità del complesso strutturale agli effetti viscosi nonché la differente influenza che essi hanno sullo spostamento totale in dipendenza della rigidezza elastica relativa esibita dall’elemento a comportamento viscoelastico. Infatti, risulta K2y=2*K1y=4.55, ovvero la rigidezza del nucleo è circa 4.5 volte più grande di quella del sistema formato dalle pareti. Gli effetti viscosi sono pertanto molto più marcati allorché il comportamento viscoelastico sia proprio del nucleo centrale (caso (b)), mentre assumono entità assai contenuta quando il nucleo centrale ha comportamento elastico (caso (a)). Queste previsioni sono confermate dai risultati ottenuti che attestano nel caso (a) e nel caso (b) rapporti fra gli spostamenti finali ed iniziali pari a 1.17 e 2.50, con una escursione più che doppia. La risposta torsionale è invece caratterizzata dal parametro a, che risulta tanto più basso quanto più la rigidità biflessionale supera quella di torsione pura. Nel caso in esame, avendosi a=1.56, il contributo della rigidità biflessionale appare ben evidente, risultando per t=t0 q(t0)/q0max=0.52, ovvero più della metà dello spostamento rotazionale è di tipo biflessionale. Ne deriva che il comportamento viscoso delle pareti (caso (a)) dà luogo ad un incremento temporale della rotazione torsionale pari a circa il 30% di quello che si avrebbe allorché il comportamento viscoelastico fosse associato solo al nucleo (caso (b)). È interessante notare che l’evoluzione temporale dello spostamento flessionale è affine allo spostamento iniziale mentre ciò non si verifica per la rotazione torsionale.
Ne deriva che per tutti i punti dell’impalcato dell’edificio, eccettuato il punto origine degli assi, gli spostamenti orizzontali si evolvono in maniera non affine. In particolare, per il punto di vertice dell’impalcato, come può evincersi dalla fig.4, lo spostamento finale risulta variabile fra circa 2.2 e 3.5 volte il valore dello spostamento massimo di origine flessionale, in dipendenza al comportamento reologico dei materiali. In particolare i valori 2.2 e 3.5 sono associati rispettivamente ai casi limite (a) e (b), sottolineando come la combinazione di nucleo viscoelastico e pareti elastiche, per gli assunti valori di rigidezza, sia di tipo sfavorevole.


Figura 4. Spostamento del vertice A

I grafici delle azioni interne negli elementi riportati nelle fig.5,6, mostrano, nel caso (a), una ridotta crescita delle sollecitazioni nel nucleo, pari a circa il 17%, associata ad una marcatissima riduzione delle stesse nelle pareti che si attestano a circa il 22% del loro valore iniziale. Questa disparità è conseguenza della rigidità flessionale del nucleo che è nettamente preponderante rispetto a quella delle pareti. Vi è poi da osservare che essendo in questo caso l’incremento di spostamento laterale nella stessa direzione di quello iniziale, il comportamento elastico del nucleo fa si che il suo incremento percentuale sollecitativo sia coincidente con quello dello spostamento del complesso strutturale. Un comportamento del tutto differente è osservabile nel caso (b), ove le pareti, di tipo elastico, subiscono un incremento sollecitativo pari a 1.5 volte quello iniziale, mentre l’elemento centrale, di tipo viscoelastico, subisce una riduzione sollecitativa percentuale di circa il 33%. Questi risultati mostrano chiaramente come, anche sotto l’aspetto sollecitativo, la situazione (b) sia più sfavorevole.


Figura 5. Azioni taglianti e flettenti nell’elemento 1 (problema flessionale)


Figura 6. Azioni taglianti e flettenti nell’elemento 2 (problema flessionale)

Le sollecitazioni agenti negli elementi conseguenti alla condizione di carico torsionale sono riportate nelle figg. 7, 8.


Figura 7.
Azioni taglianti e flettenti nell’elemento 1 (problema torsionale)


Figura 8. Momento torcente nell’elemento 2 (problema torsionale)

Relativamente al caso (a), si osserva una riduzione delle sollecitazioni di taglio e flessione nelle pareti cui si associa un incremento del momento torcente nel nucleo. È importante osservare che nel presente caso le azioni di taglio e flessione nelle pareti, che dipendono dalla rotazione torsionale, hanno distribuzione di tipo esponenziale. In particolare la presenza di una forza di taglio non nulla alla estremità della parete, conseguenza della presenza di un momento torcente agente in sommità del nucleo, fa sì che il momento flettente nelle pareti presenti un punto di massimo lungo l’altezza. La riduzione maggiore delle sollecitazioni di taglio nelle pareti è dislocata a ξ=0.4 ed è pari a circa il 15% del valore massimo di taglio agente alla base dell’elemento. Tale forza, essendo alla base T2=0 , poiché ivi risulta q'=0 , equilibra l’intero momento torcente e non può pertanto variare nel tempo. Il momento flettente presenta la sua massima variabilità alla base, mentre l’incremento del momento torcente in sommità del nucleo si attesta al 30% del valore massimo, e la maggiore variazione che si manifesta per ξ=0.5 risulta dell’ordine dell’ 80% di tale valore. Relativamente al caso (b), l’aggravio sollecitativo nelle pareti, aventi comportamento elastico, è alquanto marcato. Ne deriva pertanto che, seppure la situazione (b) sia favorevole in termini di spostamento, la riduzione che ad esso concerne, dell’ordine del 17.5%, si mostra meno significativa di quanto non sia invece l’aumento sollecitativo che si manifesta nelle pareti. Da questo punto di vista globale appare pertanto più favorevole, come avviene nel caso della flessione, seppur con carattere differente, la configurazione di tipo (a) con nucleo elastico. I risultati ottenuti mostrano la necessità di valutare la prestazionalità delle strutture di controvento sia in termini deformativi sia in termini delle ridistribuzioni sollecitative che si sviluppano nel complesso degli elementi. Le proprietà ora discusse e messe in evidenza mostrano che il comportamento ibrido degli elementi che dà luogo, per quanto riguarda il funzionamento meccanico, a distribuzioni di spostamenti non affini e, sotto l’aspetto reologico, a ridistribuzioni di sollecitazioni e ad evoluzioni dello stato deformativo pure non affini a quello iniziale, deve essere accuratamente indagato. Allorché il materiale costituente gli elementi resistenti è reologicamente omogeneo, possono presentarsi i due casi limite di elementi puramente elastici o di elementi viscoelastici omogenei. Nel primo caso non possono verificarsi ridistribuzioni sollecitative né variazioni temporali degli spostamenti mentre nel secondo la omogeneità reologica, in accordo ai teoremi fondamentali della viscoelasticità lineare, impedisce lo svilupparsi di ridistribuzioni sollecitative amplificando in massima misura l’incremento deformativo.


4. CONCLUSIONI

L’utilizzo di strutture di controvento di tipo ibrido può rappresentare una scelta progettuale capace di conferire agli edifici carattere di originalità sotto l’aspetto architettonico, garantendo una elevata efficienza statica cui si accompagna un affidabile comportamento in esercizio della costruzione. L’inserimento di strutture ibride trova il suo congegnale campo di applicazione negli edifici la cui configurazione spaziale richiede la presenza di strutture di controvento dotate di grande rigidità per poter equilibrare le azioni orizzontali di carattere permanente che nascono a causa della complessità geometrica dell’impianto strutturale. In queste tipologie di costruzioni, peraltro sempre più frequenti nel panorama delle nuove proposte che si vengono delineando per la realizzazione di edifici, spesso se riguardati quali nuovi punti di riferimento nel tessuto urbano delle grandi e medie città, i sistemi ibridi rivestono sovente ruolo determinante sotto l’aspetto estetico.
L’utilizzo di tali sistemi in situazioni statiche spesso esasperate richiede accurate analisi che siano in grado di saggiarne con accuratezza il livello di efficienza sia nei riguardi della deformabilità del complesso sia per ciò che concerne la valutazione dello stato sollecitativo dei singoli elementi che lo costituiscono. L’ibridismo strutturale che si manifesta sia in termini di differenti funzionamenti meccanici dei singoli componenti, sia in quelli di diverso comportamento reologico, pone, quando queste prerogative sono entrambe presenti, non semplici problemi sotto l’aspetto computazionale, dovendosi procedere ad analisi a lungo termine che, se effettuate nella loro generalità, richiedono l’utilizzo di algoritmi matematici di difficile maneggio. La proposta operativa discussa nel presente lavoro deve riguardarsi quale tecnica di indagine che, seppur approssimata, consente di operare agilmente e di risolvere in modo chiaro i vari problemi, senza introdurre concetti e modalità di calcolo che non siano quelli stabiliti e supportati dagli attuali codici di misura della sicurezza. A fronte della sua semplicità operativa, il procedimento permette di indagare in profondità problematiche strutturali complesse e di comprenderne le peculiarità più significative per poterle poi utilizzare nella progettazione di strutture caratterizzate da elevate prestazioni ed esteticamente pregevoli. L’esempio discusso ha posto in evidenza come la non omogeneità reologica e la sua distribuzione fra gli elementi resistenti giochi un ruolo essenziale nei riguardi del comportamento in esercizio, cosicché la possibilità di poter stabilire limiti entro i quali viene a collocarsi la soluzione del problema indipendentemente dal livello di non omogeneità reologica è aspetto di grande importanza per una corretta progettazione. L’algoritmo presentato permette rapidamente di definire tali limiti ed è quindi strumento di grande utilità per le operazioni preliminari di progettazione costituenti la base da cui prendono forma le scelte presiedute dalla concettualità progettuale.


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