Estratto dagli atti del 15° Congresso C.T.E. Bari, 4-5-6 novembre 2004

SULLA AZIONE DIAFRAMMA DEI SISTEMI DI COPERTURA IN EDIFICI INDUSTRIALI PREFABBRICATI IN CALCESTRUZZO ARMATO

LIBERATO FERRARA, Politecnico di Milano
GIANDOMENICO TONIOLO, Politecnico di Milano
GEORGIOS TSIONIS, Politecnico di Milano

SUMMARY

It is well known that the effective response of a structure to seismic actions relies on the diaphragmatic behaviour at storey and roof level. Due to their in-plane stiffness and strength the diaphragm transfer inertia forces to vertical structural elements and ensure that they act together to resist the earthquake induced forces.
Roof systems in prefabricated r/c industrial buildings generally employ precast prestressed roof elements, often feature by non-conventional cross section shapes, and furthermore separated by interposed skylights. The diaphragmatic behaviour of these roof systems has to be hence carefully checked, in order to provide a reliable evaluation of seismic actions on the structures.
In this work, with reference to a sample building, the problem has been analysed through modal analyses, considering different roof systems. The efficacy of the proposed simplified design approaches has been also checked.
A simplified design method has been proposed and its reliability has been checked.

1. INTRODUZIONE

Il funzionamento a diaframma dei solai di piano e di copertura è quello che permette di ripartire le azioni orizzontali del sisma sui diversi elementi resistenti dell'organismo strutturale e che assicura una risposta vibratoria complessivamente coerente di tutte le sue parti [01].
Per una struttura gettata in opera tale funzione è facilmente assolta dalla monoliticità degli impalcati che formano una lastra continua indeformabile nel suo piano. Sarà sufficiente un incatenamento perimetrale, costituito da armature continue, e degli adeguati collegamenti con i montanti, per garantire la trasmissione degli sforzi nel diaframma così confinato e la loro ripartizione sui montanti stessi [02,03].
Anche per i solai costruiti con elementi prefabbricati e completati con getti in opera vi è una analoga possibilità di realizzare un buon funzionamento a diaframma, previi gli stessi accorgimenti di incatenamento e collegamento [04]. Questo può riferirsi anche ai solai realizzati con elementi nervati completati con una soletta gettata in opera sopra gli elementi [05,06,07]; può riferirsi ancora a solai realizzati con pannelli alveolari resi solidali con getti di riempimento nei giunti laterali e frontali [08,09,10,11].
In genere però le grandi coperture prefabbricate sono realizzate con elementi posati a secco, senza getti integrativi in opera e con unioni meccaniche saldate o bullonate [12] (Fig. 1). Per queste coperture il buon funzionamento a diaframma non è altrettanto scontato e la trasmissione delle relative azioni, basata su meccanismi che dipendono dall'assetto delle unioni stesse, va analizzata caso per caso [05].

Figura 1. Edificio prefabbricato ad uso industriale.

L'azione diaframma consiste in flussi di sforzi tangenziali Q che trasmettono le forze sismiche dai montanti più sollecitati a quelli meno sollecitati, ripartendole in modo uniforme sui montanti stessi e impedendo nel contempo risposte sconnesse dove alcune parti vibrano fuori fase rispetto ad altre. La valutazione precisa di questi sforzi è ardua; se ne può dare una valutazione approssimata in rapporto all'entità delle forze sismiche in gioco [13].
Posto di avere pilastrate di eguale rigidezza, come in genere accade negli edifici industriali prefabbricati, a ciascuna di esse, nell'ipotesi di un perfetto comportamento a diaframma, compete una quota parte della forza inerziale complessiva Fh pari ad F'=Fh/(p+1), dove con p si è indicato il numero delle campate nella direzione ortogonale a quella considerata per l'azione sismica. Nella ipotesi di una copertura completamente sconnessa, e tenendo conto degli assetti prevalentemente isostatici dei sistemi di copertura degli edifici prefabbricati, ai montanti intermedi competerebbe, per il medesimo valore della forza inerziale complessiva Fh, una forza pari ad F"int=Fh/p, mentre a quelli laterali spetterebbe una forza F"ext=Fh/2p. L'effetto dell'azione diaframma potrà pertanto essere quantificato nel modo seguente, rispettivamente per i gruppi di montanti intermedi ed esterni:

A garantire tale trasferimento di forze, legato al ripristino della congruenza imposto dal comportamento a diaframma, nascerà, nel piano del diaframma stesso, una distribuzione di forze membranali di scorrimento, che dovrà essere opportunamente definita. Tale criterio verrà meglio illustrato negli esempi che seguono.

2. DIAFRAMMA RIGIDO

Una prima situazione (Fig. 2) si riferisce a coperture realizzate con elementi nervati affiancati e collegati l'uno all'altro da connessioni saldate poste sui bordi delle ali. In questo caso la solidarietà della lastra è realizzata in modo discreto, attraverso connessioni puntuali.
L'analisi può essere svolta su di uno equilibrato come quello di Figura 2b. Posto che F₀=F_h/2p rappresenti la forza inerziale corrispondente a metà campata, si avrà, per p=2:

Figura 2. Copertura con elementi binervati collegati.

0.5DFint = -DF_ext =F_h/12 = 0.33 F₀ = DF.

In tale semplice caso la risultante delle forze membranali di scorrimento può ipotizzarsi, convenzionalmente, concentrata nella posizione indicata in Figura 2(b).
Su uno degli n elementi della copertura di una singola campata si ha di conseguenza uno sforzo di trasmissione

Q = DF/n

che va ad aggiungersi da una parte ed a sottrarsi dall'altra alla forza media F₀ = F/n
Per l'equilibrio dell'elemento si ha

R = F₀/2 + Q/2

ovvero

R = F₀/2 - Q/2

sugli appoggi, rispettivamente in corrispondenza dei pilastri laterali e di quelli centrali, ed

S=(Q/m)(l/b)

lungo i bordi, essendo 2 le connessioni dell'elemento sulla trave ed m il numero delle connessioni distribuite lungo un bordo. Con queste forze si verificheranno le connessioni stesse, sia quelle sull'appoggio con la trave, sia quelle sui giunti con gli elementi contigui.
Da notare che le reazioni della trave portante sono in genere poste ad un livello inferiore rispetto al piano della lastra che trasmette lo sforzo Q (Fig. 2c) e questo produce locali flessioni trasversali nelle anime e nell'ala dell'elemento, con necessità di apposite verifiche o di specifici accorgimenti costruttivi.
L'ultimo elemento può avere un bordo libero; in tal caso l'equilibrio lungo la campata è assicurato dalle componenti H₁ e H₂ delle reazioni d'appoggio indicate in Figura 2d:

Si ricorda che lo schema qui presentato salva l'equilibrio e non la congruenza e che può essere giustificato per un calcolo allo stato limite ultimo della resistenza, qualora vi sia una sufficiente duttilità delle connessioni. Sulla base di esso si può assicurare un buon comportamento a diaframma alla copertura.
In molti casi le grandi coperture con elementi prefabbricati prevedono l'illuminazione dall'alto attraverso lucernari continui. Gli elementi cioè restano distanziati e non possono essere connessi l'uno all'altro (Fig. 3a). Un certo grado di funzionamento a diaframma può ancora sussistere a condizione che le connessioni con la trave realizzino un incastro nel piano orizzontale del diaframma stesso.
In Figura 3b è dunque rappresentato lo schema di un mezzo elemento con lo sforzo tangenziale Q = DF/n che gli compete.

Figura 3. Copertura con elementi binervati distanziati.

All'incastro con la trave si hanno le seguenti componenti delle reazioni:

R = F₀/2 + Q/2
ovvero
R = F₀/2 - Q/2
rispettivamente in corrispondenza del pilastri laterali e centrali, e

H = Ql/2b.

La coppia di connettori che realizza l'incastro va dunque verificata per queste forze, che hanno anche un notevole effetto sulle travi portanti a causa delle rilevanti azioni trasversali trasmesse.
Di un tale funzionamento a diaframma discontinuo non si ha ancora sufficiente conoscenza e più approfondite indagini restano necessarie con riferimento anche al comportamento deformativo dei vari tipi di elementi con i loro diversi profili (Figura 3c). Al Capo 4 vengono presentati i risultati di un'analisi modale che tiene conto della deformabilità del diaframma di copertura, con valutazione delle effettive forze scambiate dagli elementi attraverso le connessioni, il tutto raffrontato ai risultati di un calcolo semplificato che assume come rigido il diaframma di copertura.

3. COPERTURE SCONNESSE

Nel caso di elementi mononervati, come quello rappresentato in Figura 4c, la connessione semplice con la trave non consente alcun grado di incastro. Gli elementi funzionano come delle bielle incapaci di trasmettere alcuna azione di diaframma, come illustrato sullo schema di Figura 4b. La copertura di Figura 4a potrà avere dunque delle risposte sconnesse al sisma, con pilastrate che vibrano anche in opposizione di fase rispetto a quelle contigue. Per una tale risposta sorgono dunque problemi di compatibilità deformativa, che coinvolgono la stabilità degli elementi di completamento e soprattutto la resistenza delle connessioni con le travi portanti. Per siffatte coperture si dovrà dunque verificare la compatibilità delle deformazioni per i diversi modi di vibrare della struttura.
Per un calcolo semplificato, si potranno considerare le due situazioni limite: quella di una vibrazione in fase di tutte le pilastrate dell'edificio e quella di una vibrazione in opposizione di fase. Queste situazioni sono rappresentate rispettivamente nelle Figure 5a e 5b, che descrivono lo spostamento della copertura corrispondente all'ampiezza massima del moto, nell'ipotesi che le rigidezze traslatorie dei pilastri siano state dimensionate in modo proporzionale alle corrispondenti forze inerziali.
Indicando con q il peso della copertura per unità di lunghezza, per una vibrazione in fase come quella di Figura 5a, su ogni pilastrata si ripartisce una sua porzione efficace:

W₁ =ql/2

che porta a delle conseguenti forze inerziali:
          _
F₁ = a_gS(T₁)W₁

per le pilastrate laterali, ovvero
        _
F'= a_gS(T₁)2W₁

per la pilastrata centrale.

Figura 4. Copertura con elementi mononervati distanziati.

Siccome in generale le rigidezze delle due diverse pilastrate (quella laterale e quella centrale) non stanno nello stesso rapporto 1/2 dei pesi di competenza, per delle vibrazioni totalmente disaccoppiate si avrebbero dei diversi periodi propri.
Nell'ambito del calcolo semplificato qui descritto, si assume per T il valore conseguente ad una vibrazione solidale che rapporta il peso efficace globale della copertura, calcolato come nel seguito per i due modi di vibrazione, alla rigidezza globale di tutte le sue pilastrate (come se ci fosse un diaframma rigido). In realtà le vibrazioni delle strutture sconnesse vedono una più complessa combinazione di modi, che si influenzano reciprocamente attraverso il cinematismo di ripartizione delle masse vibranti. Solo un'analisi dinamica modale può rilevare una tale combinazione.
Per una vibrazione in opposizione di fase come quella di Figura 5b, su ogni pilastrata si ripartirà un peso efficace che, per l'equilibrio rotatorio della vibrazione

W₂l = Q(2/3)l

con



W₂ = ql/6

Il peso efficace della massa coinvolta nella vibrazione risulta quindi tre volte minore che nel caso precedente, e modifica sia il periodo proprio di vibrazione, sia l'entità della corrispondente forza inerziale, che si valuta con:

F₂ = a_gS(T₂)W₂

per le pilastrate laterali, ovvero con:

F₂ = a_gS(T₂)2W₂

per la pilastrata centrale. In particolare, nell'ambito delle stesse approssimazioni della vibrazione in fase, si può porre:

Assumendo che i due citati modi di vibrare, quello in fase e quello in controfase, siano i due significativi per la struttura in esame, per le verifiche di resistenza e di deformazione si potranno combinare gli effetti E₁ ed E₂ dei due sistemi di forze con:



dove 0.75 e 0.25 rappresentano in modo approssimato, i rapporti di massa partecipante dei due modi, secondo quanto sopra calcolato.
Si ricorda che, per la struttura sconnessa in esame, i modi di vibrare risultano in generale più irregolari di quelli qui sopra ipotizzati. I due modi rappresentati nelle Figure 5a-b rappresentano dunque due situazioni semplificate convenzionali che consentono un'analisi statica della struttura riducendola ad un solo grado di libertà. Una più precisa valutazione delle sollecitazioni può condursi attraverso un'analisi dinamica modale sul completo assetto tridimensionale della struttura con i suoi effettivi modi di vibrazione libera.

Figura 5. Modi di vibrazione di struttura con copertura di elementi mononervati: (a) in fase e (b) in opposizione di fase.

4. ESEMPIO DI CALCOLO

Il calcolo semplificato presentato ai capi precedenti consente delle analisi statiche lineari operate su sistemi ad un grado di libertà. Tali analisi possono essere facilmente condotte a mano, senza particolari mezzi di calcolo automatico e conducono anche alla quantificazione delle forze ai nodi con cui dimensionare i connettori.
In figura 6 sono rappresentate la pianta e la sezione del prototipo esaminato, che è organizzato su una maglia 10x15 m, con 5 campate di travi e 2 navate di tegoli. Il peso della copertura in combinazione sismica è assunto pari a 3.2 kN/m² (compresa la neve). Le travi pesano 5.0 kN/m in più sul perimetro e riportano in copertura la quota parte del peso dei tamponamenti assunta pari a 8.0 kN/m. I pilastri sono di sezione 50x50 cm con I= 52 dm⁴ ed E=30 kN/mm². Per l'analisi sismica si pone l'=0,5l, ottenendo una rigidezza flessionale El'=78000 kNm² della sezione fessurata. I calcoli sono ripetuti per due altezze di pilastri, corrispondenti rispettivamente ai periodi propri di vibrazione T₁ = 1.0 sec e T₁ = 2.0 sec. I vincoli delle travi sui pilastri sono rappresentati da cerniere nei due piani di flessione retta e da un incastro nel piano della torsione.

Figura 6. Pianta a sezione della struttura.

In figura 7 è rappresentata la copertura della soluzione ad elementi nervati accostati e connessi in modo da formare diaframma rigido. Si riportano dunque per questa soluzione i calcoli dell'analisi statica lineare che si riferisce ai tre gradi di libertà dell'unico impalcato. Su di una terna di assi ortogonali con origine al centro, dove l'asse x è diretto lungo il lato maggiore, l'asse y è diretto lungo l'asse minore e z misura l'altezza, per un assetto doppiamente simmetrico di massa e di rigidezza, i tre gradi di libertà risultano disaccopiati e rappresentano le due traslazioni rette lungo x e lungo y e la rotazione torsionale attorno a z.

Figura 7. Copertura con tegoli binervati accostati

I pesi dell'impalcato valgono:
- copertura: 30.0x50.0x3.2 = 4800 kN
- travi: 3x50.0x5.0 = 750 kN
- pareti: 2x(30.0+50.0)x8.0 = 1280 kN
- W = 6830 kN
Massa impalcato:
M = W/g = 6830/9.81 = 696 kNsec²/m

I parametri del comportamento d'assieme sono:
- numero pilastri: n = 3x6 = 18
- rigidezza torsionale
  (a meno di k_i = 3El'/h³)
  l_y = 2x3x(5.0²+15.0²+25.0²) =5250 m²
  l_x = 2x6x15.0² = 2700 m²
  l_t =l_x + l_y = 5250+2700 = 7950 m²

- eccentricità convenzionali delle masse:
  e_x = 30.0x0.05 = 1.5 m per forze F_x
  e_y = 50.0x0.05 = 2.5 m per forze F_y

CON PILASTRI BASSI: h = 5.35 m

- rigidezza traslatoria:

  K = nk_i = 18x3x78000/5.35³ @ 27506 kN/m

- periodo proprio di vibrazione:

- spettro di risposta (suolo di categoria 1B)

  con h = 1, S = 1.2 e T_c = 0.5 sec:
  _
  S_e = 2.5h ST_c/T₁ @ 1.5

- forza sismica (con = a_g = 0.35 e q = 4.5):
           _
  F = a_gS_eW/q = 797 kN

- sollecitazioni su pilastro i d'angolo (con y_i = 15.0 m e x_i = 25.0 m):

Sisma lungo x (con e_x = 1.5 m)

- tagli lungo x e y: 

 
 
- momenti al piede attorno y e x:

  M_iy = V_ixh = 249.3 kNm
  M_ix = V_iyh = 20.3 kNm

Sisma lungo y (con e_y= 2.5 m)
- tagli lungo y e x:
  
  
- momenti al piede attorno a x e y:
  M_ix = V_iyh = 271 kNm
  M_iy = V_ixh = 20.3 kNm

Situazione di verifica con:
N = 7.5 x 5.0 x 3.2 + 5.0 x 5.0 = 145 kN

- prevalente sisma lungo x
  M_iy = 249.3 + 0.3x20.3 = 255.4 kNm
  M_ix = 20.3 + 0.3x249.3 = 95.1 kNm

- prevalente sisma lungo y
  M_ix = 271 + 0.3x20.3 = 277.1 kNm
  M_iy = 20.3 + 0.3x271 = 101.6 kNm

Spostamento massimo del pilastro i (sisma lungo x)

- stato limite ultimo di collasso:
  d_ix = qV_ixh³/(3El') = 13.7 cm (@2.6% h)

- stato limite di danno (con a_g/2.5):
           _
  F' = a_gS_eW/2.5 = 1434.3 kN
  F'/F = 1434/797 = 1.80
  V'_ix = 46.6x1.80 = 83.9 kN
  d_ix = V'_ixh³/(3El') = 5.5 cm (=1.0% h)

Spostamento massimo del pilastro i (sisma lungo y)

- stato limite ultimo di collasso:
  d_iy = qV_iyh³/(3El') = 15 cm (@2.8% h)

- stato limite di danno con :
           _
  F' = a_gS_eW/2.5 = 1434.3 kN
  F'/F = 1434/797 = 1.80
  V'_iy = 50.6x1.80 = 91.1 kN
  d_iy = V'_iyh³/(3El') = 5.9 cm (=1.1% h)

Forze trasmesse dalle connessioni (v. Capo 2)

- peso di metà campata

  W'=4800/4=1200kN

- forze inerziali sui 20 elementi
          _
  F = a_gS_eW'/q = 140 kN
  F₀ = 140/20 @ 7.00 kN
  Q = 0.33 F₀ @ 2.31 kN

- forze ai 2 appoggi sulla trave portante:
 
  R = 1.33x7.0/2 = 4.66kN (pilastri laterali)
  R = 0.67x7.0/2 = 2.35kN (pilastri centrali)

- forze ai bordi con elementi contigui (larghezza b=2.5 m; m=5 connessioni):

  S = 2.31x15.0/(5x2.5) = 2.78kN

- forze ai 2 appoggi degli ultimi elementi (d₁=0.5m, d₂=2.0m):
  H₁ = 2.31x7.5x(1-2.0/2.5)/1.5 = 2.31kN
  H₂ = 2.31x7.5x(1-0.5/2.5)/1.5 = 9.24

CON PILASTRI ALTI: h = 8.50 m

- rigidezza traslatoria:
K= nk_i = 18x3x78000/8.50³ = 6859 kN/m

- periodo proprio di vibrazione:

 

- spettro di risposta (suolo di categoria 1B) con h = 1, S = 1.2 e T_c = 0.5 sec:
  _
  S_e = 2.5h.5 T_c/ T₁ @ 0.75

Con rapporto 0.75/1.50 = 1/2 degli spettri di risposta si ottengono i seguenti valori

Sisma lungo x
V_ix = 46.6/2 =23.3 kN
V_iy = 3.8/2 =1.9 kN
M_iy = 23.3x8.5 =198 kNm
M_ix = 1.9x8.5 =16.2 kNm

Sisma lungo y
V_iy = 50.6/2 =25.3 kN
V_ix = 3.8/2 =1.9 kN
M_ix = 25.6x8.5 =217.6 kNm
M_iy = 1.9x8.5 =16.2 kNm

Situazione di verifica con N = 145 kN

- prevalente sisma lungo x:

  M_iy =198 + 0.3x16.2 = 200 kNm
  M_ix = 14 + 0.3x188 = 75.6 kNm

- prevalente sisma lungo y:

  M_ix= 217.6 + 0.3x16.2 = 222.5 kNm
  M_iy =16.2 + 0.3x217.6 = 81.5 kNm

Spostamento massimo pilastro i (sisma lungo x)

- stato limite ultimo di collasso:
  d_ix = qV_ixh³(3El') = 27.5 cm (@3.2% h)

- stato limite di danno (con a_g /2.5)
  V'_iy = 83.9/2 @ 42.0 kN
  d_ix = V'_iy h³/(3EI') = 11.0 cm (1.3% h)

Spostamento massimo pilastro i (sisma lungo y)

- stato limite ultimo di collasso:
  d_iy =qV_iyh³/(3El') = 29.9 cm (@3.5% di h)

- stato limite di danno (con a_g / 2.5)
  V'_iy = 91.1/2 = 45.6 kN
  d_iy = V'_iyh³/(3EI') = 12.0 cm (1.4% di h)

Forze trasmesse dalle connessioni

R = 4.66/2 =2.33 kN (pilastri laterali)
R = 2.35/2 @ 1.18 kN (pilastri centrali)
S = 2.78/2 = 1.39 kN
H₁ = 2.31/2 @ 1.16 kN
H₂ = 9.24/2 = 4.62 kN

Da notare che la soluzione più flessibile con pilastri alti, pur richiedendo una minore resistenza flessionale delle sezioni critiche allo stato limite di collasso (217.6 kNm anziché 277.1 kNm), porta ad eccessivi spostamenti allo stato limite di danno (1.4% h). Per rientrare nel limite dell'1% dello scorrimento di piano, tale soluzione dovrebbe limitarsi alla zona sismica 2 (con a_g = 0.25 anziché a_g = 0.35).

5. ANALISI DINAMICA MODALE

5.1. Diaframma rigido

Lo stesso assetto di struttura con diaframma rigido, appena esaminato con semplici calcoli manuali, viene ora sottoposto ad un'analisi dinamica modale su di un modello tridimensionale che riproduce con fedeltà le stesse caratteristiche geometriche statiche. Per tali analisi si è impiegato il codice di calcolo Cast3m [14]. Si è considerata solamente la struttura con pilastri bassi.
Una prima analisi è condotta salvando nel modello la doppia simmetria di massa e rigidezza. La Figura A1 dell'Appendice A riproduce i tre modi sensibili di vibrazione libera, due traslatori nelle direzioni x e y e uno torsionale attorno a z, modi che evidenziano chiaramente l'effetto diaframma rigido. I valori del periodo T si riferiscono all'edificio basso con h = 5.35 m.
Questi modi risultano disaccopiati. Nella loro lettura per la valutazione delle corrispondenti forze inerziali e dei relativi effetti strutturali, sotto l'azione sismica lungo x "lavora" solo il modo x, sotto l'azione sismica lungo y "lavora" solo il modo y. Il modo torsionale non è mai richiamato. Dal momento che i comuni programmi di calcolo prevedono solo azioni sismiche uniformi, su di un tale modello doppiamente simmetrico non è possibile riprodurre gli effetti torsionali prescritti dalle norme.
Nella Tabella B1 dell'Appendice B sono riportati i risultati delle analisi. Come nel calcolo manuale, vengono dati i momenti al piede del pilastro di angolo ed i relativi spostamenti di sommità. I valori sono espressi in rapporto a quelli del calcolo manuale stesso. Nella Tabella B1 sono anche riportate le forze trasmesse dalle connessioni tra gli elementi dell'impalcato, sempre in rapporto a quelle calcolate manualmente.

Figura 8. Assetto convenzionale asimmetrico delle masse: (a) in direzione x; (b) in direzione y.

Per simulare nel modello dell'analisi dinamica modale gli effetti torsionali, si modificano artificialmente i pesi dell'impalcato in modo da ottenere, per ciascuna delle due direzioni, un'eccentricità delle masse pari al 5% della dimensione dell'edificio in direzione ortogonale all'azione sismica considerata. In Figura 8 sono rappresentati tali assetti dissimmetrici, dove i quattro quadranti della pianta dell'impalcato sono contrassegnati con il corrispondente fattore modificativo del valore corrente dei pesi, a seconda della direzione considerata per l'azione del sisma. Si nota la grande differenza, ± 20%, da attribuire ai quadranti contrapposti, differenza che supera le possibili difformità sistematiche ed aleatorie dei carichi variabili e permanenti. Ma in tale differenza sono convenzionalmente inserite anche le possibili difformità in pianta delle rigidezze strutturali e dell'azione a suolo.
La Figura A2 dell'Appendice A riproduce i modi sensibili di vibrazione libera della struttura. Si nota come questi modi non siano più disaccopiati, così che l'azione sismica lungo x li coinvolge, con diversi coefficienti ponderali, tutti e tre. Questo vale anche per l'azione sismica lungo y, come appare dai risultati numerici dell'analisi riportati nella stessa Tabella B1 dell'Appendice B.

5.2. Diaframma deformabile

In Figura 9 è rappresentata la copertura della soluzione con tegoli binervati distanziati e vincolati alla trave con doppia cerniera. Da un calcolo manuale, fatto con l'ipotesi di diaframma rigido ed ipotizzando la medesima massa vibrante in copertura, sortirebbero ovviamente gli stessi valori calcolati al capo 4 per le sollecitazioni nei pilastri di angolo. Le forze trasmesse dalle connessioni con la trave si possono calcolare sullo schema di Figura 3 ottenendo, su ognuno dei 15 tegoli della navata:

F₀ = 140/15 = 9.33 kN
Q = 0.33 F₀ = 3.11 kN
R = 1.33 x 9.33/2= 6.20 kN (pilastri laterali)
R = 0.67 x 9.33/2= 3.10 kN (pilastri centrali)
H = 3.11x7.5/1.5 = 15.55 kN

avendo assunto la stessa distanza 1.5 m tra le nervature, come nel caso precedente.
Per questo assetto della struttura si elabora ora un'analisi dinamica modale su di un modello tridimensionale. Come nel caso precedente si ripete l'analisi per i due assetti dei carichi gravitazionali, quello effettivo doppiamente simmetrico e quello dissimetrico di Figura 8.

Figura 9. Copertura con tegoli binervati distanziati.

Nelle Figure A3 e A4 dell'Appendice A sono rappresentati i modi di vibrare rispettivamente per l'assetto simmetrico e per quello dissimetrico della massa. Dall'analisi escono, per ogni direzione principale (traslatoria lungo x, traslatoria lungo y, rotatoria attorno a z), più modi di vibrare. Ma solo il primo vede una percentuale p significativa di massa partecipante, vicina a quella coinvolta con il diaframma rigido, mentre gli altri portano ad effetti trascurabili. Ciò vuol dire che l'analisi statica lineare, basata sui tre gradi di libertà del diaframma rigido, porta a risultati di buona precisione.
Ciò può essere rilevato nella Tabella B2 dell'Appendice B, che riporta i momenti al piede del pilastro d'angolo ed i relativi spostamenti di sommità, tutti espressi in rapporto a quelli del calcolo manuale. Nella tabella sono anche riportate le forze trasmesse dalle connessioni tra trave e tegolo, sempre in rapporto a quelle calcolate manualmente.

Figura 10. Copertura con tegoli mononervati distanziati.

5.3. Struttura senza diaframma

In Figura 10 è rappresentata la copertura della soluzione con tegoli distanziati e vincolati alla trave con semplice cerniera. Per un tale assetto si attendono nella direzione x delle vibrazioni sconnesse delle pilastrate, che si influenzano reciprocamente solo attraverso il cinematismo di ripartizione della massa. Nella direzione y la rigidezza flessionale delle travi offre un certo controllo delle deformazioni vibratorie. Per quanto riguarda le forze trasmesse dalle connessioni con le travi, queste derivano semplicemente dalla quota parte di massa
portata dal singolo tegolo, senza alcuna ripartizione attraverso l'impalcato.
Per il primo modo di vibrare (Figura 5a) si ha

W₁ = 1708 kN

che porta alle forze sismiche

F₁ = 0.35x1.5x1708/4.5 @ 200 kN
sulle pilastrate laterali e

F₁ = 2x200 = 400 kN
sulla pilastrata centrale.

I tagli alla base dei pilastri sono

V_1ix = 200 / 6 = 33.3 kN per la pilastrata laterale
V_1ix = 400 / 6 = 66.7 kN per la pilastrata centrale

Per il calcolo delle forze trasmesse dalle connessioni, la forza inerziale è

F₁ = 0.35x1.5x1200/4.5 = 140 kN

Su ciascuno dei 25 tegoli (5 per ciascuna campata come in Fig. 10) agisce la forza

F₀₁ = F₁ / 25 = 140 / 25 = 5.60 kN

e su ogni connessione

R₁ = F₀₁ = 5.60 kN.

Per il secondo modo di vibrare si ha


_
S_e = 2.5hST_c/T₂ @ 2.6 e W₂=W₁/3 @ 569 kN che portano alle forze sismiche

F₂ = 0.35x2.6x569/4.5 @ 115 kN

alle pilastrate laterali e

F₂ = 2x120 = 230 kN

a quella centrale.
I tagli alla base dei pilastri sono

V_2ix = 115/6 = 19.2 kN e
V_2ix = 230/6 = 38.4 kN

per le due pilatrate.

Per il calcolo delle forze trasmesse dalle connessioni, la forza inerziale è

F₂ = 0.35x2.6x400/4.5 = 81 kN

Su ciascuno dei 25 tegoli agisce quindi la forza

F₀₂ = F₂/25 = 81/25 = 3.24 kN

e su ogni connessione

R₂ = F₀₂ = 3.24 kN.

Sommando ora i contributi dei due modi con la regola della combinazione quadratica si ottiene



e per la pilastrata laterale e



per quella centrale e i corrispondenti momenti alla base dei pilastri valgono rispettivamente

M_iy = V_ixh = 136.4 kNm per i pilastri laterali
Mi_iy = V_ixh = 272.8 kNm per i pilastri centrali.

Da ultimo si valuta lo spostamento massimo del pilastro i, sempre con riferimento all'azione del sisma lungo la direzione x:

- stato limite ultimo di collasso:
  d_ix = qV_ixh³/(3EI') =7.5 cm (1.4% di h)
  per la pilastrata laterale
  d_ix = qV_ixh³/(3EI') =15 cm (2.8% di h)
  per la pilastrata centrale

- stato limite di danno (con a_g/2.5)
  Vix = 25.5 / 1.8 @ 14.2 kN
  d_iy = V_ixh³/(3EI') = 4.2 cm (@ 0.8% di h)
  per la pilastrata laterale
  V_ix = 51 / 1.8 @ 28.3 kN
  d_iy = V_ixh³/(3EI') = 8.3 cm (@ 1.55% di h)
  per la pilastrata centrale

Le forze trasmesse dalle connessioni valgono


Nel caso in cui si voglia considerare anche l'effetto della eccentricità non intenzionale delle masse, attraverso una metodologia di calcolo semplificata quale qui sopra elaborata, l'unica realistica soluzione è quella di assegnare masse diverse alle singole campate secondo lo schema di Figura 8. Con riferimento a quanto sopra esposto ne risulterebbero modificate, in ragione del coefficiente ponderale 1.2 (o 0.8) di Figura 8, unicamente le azioni e gli spostamenti della pilastrata laterale e le forze scambiate a livello delle corrispondenti connessioni, come qui di seguito sinteticamente riportato (solo per la situazione peggiore con coefficiente 1.2):

V_1ix = 1.2x200/6 @ 40 kN
V_2ix= 1.2x115/6  @ 23 kN



M_iy = V_ixh = 163.2 kNm per i pilastri laterali

d_ix = qV_ixh³/(3EI') @ 9 cm (@ 1.7% di h)

R₁ = 1.2 x 5.60 kN = 6.72 kN
R₂ = 1.2 x 3.24 kN = 3.89 kN



Anche per questa tipologia di copertura si elabora la solita analisi dinamica modale sul suo modello tridimensionale, ripetuta per una distribuzione dei carichi gravitazionali doppiamente simmetrica e per la distribuzione dissimmetrica di Figura 8.
Nelle Figure A5 e A6 dell'Appendice A sono rappresentati i modi di vibrare rispettivamente per l'assetto simmetrico e per quello dissimmetrico delle masse. Si notano diversi modi catalogabili ancora in traslatori lungo x e y, a seconda della simmetria della relativa deformata. Nella direzione x di maggiore sconnessione, si nota una più sensibile influenza del secondo modo, rispetto alle situazioni esaminate in precedenza. Nella direzione y di minore sconnessione, si continua ad avere la grande prevalenza del primo modo. In quest'ultima direzione si avrà comunque un comportamento più vicino a quello con diaframma rigido calcolato al capo 4. Nella direzione x si può fare riferimento al metodo semplificato illustrato al capo 3.
La Tabella B3 dell'Appendice B riporta i momenti al piede del pilastro di angolo e i relativi spostamenti di sommità, tutti espressi in rapporto a quelli del calcolo manuale. In particolare ci si riferisce ai calcoli del punto 4.1 per i modi con prevalenti spostamenti lungo y ed ai calcoli qui sopra riportati per i modi con prevalenti spostamenti lungo x.

6. CONCLUSIONI

Dai risultati delle analisi modali, condotte per le differenti tipologie di copertura di un edificio prefabbricato, si è evidenziata una ragionevole attendibilità delle previsioni ottenibili con le metodologie di calcolo manuale proposte. Il grado di attendibilità di tali metodologie risulta ovviamente tanto più elevato quanto più realistico ed affidabile risulta il comportamento a diaframma della copertura cui il calcolo manuale fa riferimento. Ragionevole affidabilità, nel complesso, mostra anche il metodo di calcolo semplificato proposto per le coperture sconnesse, pur risultando necessaria una analisi modale per la corretta valutazione delle percentuali di massa associate ai diversi modi di vibrazione libera. Quanto sopra detto si riferisce alle azioni calcolate alla base dei pilastri ed agli spostamenti valutati in sommità degli stessi.
Per quanto attiene alle forze scambiate a livello delle connessioni, il calcolo manuale sembra fornire risultati affidabili per quanto attiene alla valutazione della forza di scorrimento complessiva competente alla mezza campata. Ciò pare confermato dai risultati relativi alle forze nella direzione del sisma a livello della connessione tegolo-trave (forza R). Meno affidabili risultano essere le valutazioni relative alle forze scambiate a livello della connessione tegolo-trave in direzione ortogonale al sisma (forze H₁ ed H₂) ed alle forze scambiate nelle connessioni fra i tegoli (forze S). Tali forze sono infatti significativamente legate alla reale distribuzione nel piano del diaframma della forza di trasmissione e dunque anche alla effettiva deformabilità del diaframma nel proprio piano, che solo il calcolo automatico è in grado di riprodurre fedelmente.
Le metodologie di calcolo semplificato proposte necessitano comunque, per poter pervenire ad una conclusione di validità più generale, di essere confermate e supportate mediante ulteriori indagini che prendano in considerazione differenti tipologie ed assetti strutturali oltre quelli qui considerati. Il problema della rigidezza, resistenza e duttilità delle connessioni, che in questa sede non è stato affrontato, pure costituisce tematica per successivi necessari approfondimenti teorici e sperimentali.

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[11] M. MENEGOTTO, "Seismic diaphragm behaviour of untopped hollow-core floors", Proc. FIP'94 - XII Congress . Washington, DC, May 1994
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Contatti con gli autori
liberato.ferrara@polimi.it
toniolo@stru.polimi.it
tsionis@stru.polimi.it

APPENDICE A: MODI DI VIBRAZIONE LIBERA

Si riportano qui di seguito i grafici relativi alle deformate modali delle strutture oggetto degli esempi di calcolo riportati nel testo, quali sortiti dall’analisi modale condotta con il codice di calcolo CAST3M. Sono indicati anche il relativo periodo di oscillazione e la percentuale di massa partecipante. Per ciascuna tipologia esaminata sono stati riportati i primi significativi modi di vibrare nelle due direzioni traslatorie x ed y e torsionale attorno a z, in funzione della tipologia di copertura considerata. Nel caso di assetto asimmetrico delle masse sono stati riportati entrambi i casi relativi alla eccentricità delle masse nelle due direzioni x e y.

Modo x: T = 1.02 sec, p = 99.98 %	Modo y: T = 1.01 sec, p = 99.97 %	Modo z: T = 0.72 sec
Figura A1. Vibrazione con elementi connessi e massa simmetrica.

Modo x: T = 1.03 sec, p = 97.52 % eccentricità y	Modo y: T = 1.01 sec, p = 99.30 % eccentricità x
Modo z: T = 0.70 sec – eccentricità x	Modo z: T = 0.71 sec – eccentricità y
Figura A2. Vibrazione con elementi connessi e massa dissimetrica.

Modo x1: T = 1.02 sec p = 99.93 %	Modo x2: T = 0.25 sec p = 0.01 %
Modo y1: T = 1.03 sec p = 99.84 %	Modo y2: T = 0.41 sec p = 0.14 %
Modo z1: T = 0.74 sec	Modo z2: T = 0.44 sec
Figura A3. Vibrazione con tegoli binervati distanziati e massa simmetrica.

Modo x1: T = 1.03 sec eccentricità y - p = 98.73 %	Modo x2: T = 0.22 sec eccentricità y - p = 0.03 %
Modo y1: T = 1.04 sec eccentricità x - p = 99.71 %	Modo y2: T = 0.41 sec eccentricità x -p = 0.18 %
Modo z: T = 0.74 sec eccentricità x	Modo z: T = 0.74 sec eccentricità y
Figura A4. Vibrazione con tegoli binervati distanziati e massa dissimmetrica.

Modo x1: T = 1.12 sec p = 94.01 %	Modo y1: T = 1.15 sec p = 98.11 %
Modo x2: T = 0.57 sec p = 5.85 %	Modo y2: T = 0.77 sec p = 0.86 %
Modo x3: T = 0.74 sec p = 0.01 %	Modo y3: T = 0.59 sec p = 0.09 %
Figura A5. Vibrazione con tegoli mononervati distanziati e massa simmetrica.

Modo x1: T = 1.12 sec eccentricità y - p = 93.86 %	Modo y1: T = 1.16 sec eccentricità x - p = 97.11 %
Modo x2: T = 0.57 sec eccentricità y -p = 5.94 %	Modo y2: T = 0.93 sec eccentricità x - p = 1.06 %
Modo x3: T = 0.33 sec eccentricità y - p = 0.01 %	Modo y3: T = 0.78 sec eccentricità x - p = 1.05 %
Figura A6. Vibrazione con tegoli mononervati distanziati e massa dissimmetrica.

APPENDICE B: RISULTATI DELL’ANALISI MODALE

Nelle seguenti tabelle sono riportati i risultati dell’analisi modale, espressi in rapporto a quelli del calcolo manuale. Mx ed My rappresentano i momenti flettenti al piede del pilastro d’angolo, dx e dy gli spostamenti in sommità del medesimo pilastro, R, S, H1 ed H2 le forze trasmesse dalle connessioni (vedi Figg. 2,3,4). Con riferimento a queste ultime, nel caso di assetto dissimmetrico delle masse, il confronto è stato riferito ai valori ottenuti mediante il calcolo manuale (§4,5.2,5.3) moltiplicati per il coefficiente 1.2 introdotto nell’analisi modale per tener conto della eccentricità non intenzionale delle masse.

Tabella B1. Risultati delle analisi per copertura con tegoli binervati accostati – diaframma rigido.


Tabella B2. Risultati delle analisi per copertura con tegoli binervati distanziati –
diaframma deformabile.


Tabella B3. Risultati delle analisi per copertura con tegoli mononervati distanziati –
copertura sconnessa.