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Estato dagli atti del 14° Congresso C.T.E. Mantova, 7-8-9 novembre 2002

 

UN MODELLO AGLI  ELEMENTI FINITI PER L'ANALISI

NON LINEARE DI ELEMENTI
STRUTTURALI IN C.A. IN SPESSORE SOTTILE


MARCO SAVOIA, Università di Bologna
ALESSANDRO VITALI, Università di Ancona


SUMMARY

     A finite element model for non linear analysis of reinforced concrete thinwalled beams is proposed.
     The beam kinematics is defined by assuming the cross section rigid in its own plane and by taking as unknowns the longitudinal displacements of a suitable set of nodes chosen along the middle line of the profile. The cross sectional warping is obtained by assuming that longitudinal displacements vary linearly between two adjacent nodes. The cross sectional warping produced by non uniform bending and torsion can also be studied. A constitutive model for reinforced concrete membrane elements is adopted to describe the mechanical behaviour in the cracked range.
     The equilibrium equations are written by the virtual work principle: the numerical solution is obtained by an ad-hoc finite element discretization: a series of longitudinal sections is defined along the beam and a refined one-dimensional finite element is used to model the panel portions delimited by the couples of adjacent nodes.
     Two applications are presented, concerning reinforced-concrete cantilevery beams; the structural behaviour after cracking is studied by an incremental numerical procedure based on a displacement control approach.



1. INTRODUZIONE

     Per limitare i pesi propri, molte tipologie strutturali in calcestruzzo armato presentano spessori molto più sottili delle dimensioni trasversali della sezione. In alcuni casi queste strutture presentano una geometria e una modalità di sostenere i carichi che consentono di ricondurre il loro comportamento strutturale a quello di travi con spessore sottile (e.g. ponti a cassone, tegoli di copertura). Congiuntamente all'uso della precompressione, questi elementi strutturali consentono il superamento di grandi luci con sezioni di peso limitato e di buona resa estetica. Data l'esiguità degli spessori, il comportamento dei pannelli che compongono la sezione è prevalentemente membranale (cioè con sollecitazioni normali e tangenziali nel piano del pannello).
     Sono riportati in letteratura molti modelli per l'analisi lineare di travi di parete sottile; i più sofisticati consentono lo studio di travi con sezione trasversale generica (aperta o costituita da circuiti chiusi), consentono di tenere in conto l'ingobbamento prodotto da flessione e torsione non uniformi [1] così come di analizzare sezioni i cui singoli pannelli hanno differenti proprietà meccaniche [2]. Sono stati anche sviluppati modelli agli elementi finiti per lo studio del fenomeno dello shear-lag [3] in regime lineare e per l'analisi elastoplastica di travi in acciaio [4].
     Nel presente lavoro si propone un modello agli elementi finiti per l'analisi non lineare di travi di parete sottile in calcestruzzo armato con sezione trasversale generica. Le sezioni sono considerate infinitamente rigide nel proprio piano mentre, per definire l'ingobbamento delle stesse, viene selezionata una serie di nodi distribuiti lungo la linea media del profilo e si assume che gli spostamenti longitudinali varino linearmente tra coppie di nodi adiacenti. La cinematica della trave è quindi definita da funzioni che, lungo l'asse longitudinale, descrivono il moto rigido della sezione nel proprio piano e gli spostamenti longitudinali dei nodi.
     Per quel che riguarda la scelta del legame costitutivo, per lo studio di elementi sottili in c.a. in regime membranale sono disponibili in letteratura diversi modelli che consentono di riprodurre efficacemente i risultati acquisiti dalle indagini sperimentali. Generalmente, in questi modelli, il materiale fessurato viene assimilato ad un composito ortotropo ed il legame costitutivo è formulato in termini di tensioni e deformazioni medie. Questi modelli si suddividono inoltre in due categorie principali: nella prima si assume un quadro fessurativo la cui orientazione può variare al crescere del carico (modelli a fessurazione rotante) [5,6] mentre nei secondi l'orientazione delle fessure rimane invariata (modelli a fessurazione fissa) [7].
     In alcuni casi, come nei pannelli soggetti a trazione unidirezionale e taglio [8], i modelli a fessurazione rotante vengono ritenuti più adatti in quanto le fessure che innescano la rottura del pannello hanno spesso un'orientazione significativamente differente rispetto alle fessure che si manifestano inizialmente. Tuttavia, i modelli a fessurazione fissa stanno assumendo sempre maggiore importanza in quanto si è sperimentalmente evidenziato che il quadro fessurativo formatosi inizialmente è, nella maggior parte dei casi, lo stesso che si evidenzia al raggiungimento della rottura del pannello. I modelli a fessurazione fissa consentono inoltre un'efficace e diretta valutazione degli effetti dei meccanismi resistenti tipici del conglomerato fessurato (confinamento e ingranamento degli inerti).
     Nel modello proposto è stato adottato un macromodello costitutivo recentemente proposto in letteratura [9] che consente l'analisi fino a rottura di elementi in calcestruzzo armato in regime membranale. In questo macromodello, superata la resistenza a trazione del calcestruzzo, si assume un quadro fessurativo fisso. A fessurazione avvenuta il legame costitutivo è definito in termini di tensioni e deformazioni medie. L'evoluzione del quadro fessurativo può essere seguita valutando l'ampiezza e lo scorrimento dei labbri delle fessure nonchè la deformazione assiale dei puntoni di conglomerato. Vengono inoltre tenuti in conto sia i meccanismi resistenti tipici del conglomerato fessurato (coesione, ingranamento degli inerti, confinamento) che quelli prodotti dall'interazione del calcestruzzo con le barre in acciaio (dowel action, tension-stiffening).
     La condizione che stabilisce l'equilibrio globale della struttura è stata ottenuta mediante il principio dei lavori virtuali ed il problema è stato risolto numericamente con il metodo degli elementi finiti. Dopo aver suddiviso longitudinalmente la trave in conci, è stata utilizzata una discretizzazione per elementi finiti monodimensionali per descrivere l'ingobbamento della sezione tra i nodi contigui.
     E' stata quindi adottata una procedura di risoluzione non lineare basata sul controllo degli spostamenti [10] per seguire efficacemente eventuali rami softening a volte presenti nel comportamento globale delle strutture in calcestruzzo armato [11].
     Il modello è stato infine utilizzato per analizzare una mensola con sezione a "T" soggetta a carico uniforme e una mensola a sezione tubolare soggetta ad azione torcente applicata nell'estremità libera.


2. IL MODELLO PROPOSTO

2.1 CINEMATICA DELLA TRAVE

    
     Si consideri la trave di parete sottile con sezione trasversale generica di Figura 1: il solido è generato dalla traslazione rigida di una sezione in spessore sottile lungo un asse rettilineo ad essa perpendicolare. La linea media del profilo costituisce dunque la direttrice di un cilindro mentre l'asse della trave ne rappresenta la generatrice.
     Il sistema di riferimento (O;X,Y,Z) è scelto con asse Z parallelo all'asse della trave indeformata e con il piano coordinato XY coincidente con il piano della sezione trasversale iniziale; l'origine O è un punto generico di XY mentre i, j e k sono i versori che individuano rispettivamente gli assi X, Y e Z (Fig.1).
 


Figura 1: Geometria della trave di parete sottile e sistema di riferimento

 

     L'ascissa curvilinea s definisce la linea media del profilo mediante le equazioni parametriche:


 x = x(s) , y = y(s)                        (1a,b)


dove l'origine di s e il verso di percorrenza sono arbitrari.
     Nel generico punto P(x(s),y(s),z) della linea media del profilo si consideri una terna locale (P;Xn,Xs,Z) in cui l'asse Xè normale alla linea media del profilo mentre l'asse Xs è tangente ad essa ed orientato come l'ascissa curvilinea s (Fig.2). I versori n e t individuano rispettivamente gli assi X e Xs.
     La cinematica della trave è stata descritta a partire da due ipotesi fondamentali:
1) la sezione trasversale si considera infinitamente rigida nel proprio piano XY;
2) selezionata una serie di nodi distribuiti lungo la linea media del profilo, si assume che gli spostamenti longitudinali (cioè lungo Z) varino linearmente tra coppie di nodi adiacenti.
     Si assume inoltre che il generico elemento infinitesimo di pannello sia in uno stato di tensione piano, cioè che sn@ tnt @ tns @ 0.
     L'atto di moto rigido della sezione nel proprio piano è definito da tre funzioni dell'ascissa longitudinale: x(z) e h(z) sono rispettivamente le componenti dello spostamento trasversale della sezione in direzione X e Y mentre q(z) è l'angolo di rotazione della sezione stessa intorno ad O (positivo se antiorario).
     Lo spostamento di P nel piano della sezione (Fig.2) può dunque essere sintetizzato nel vettore

 

u(x,y,z) = (x - yq)i + (xq)j                     (2)

 

     Siano dunque un e us le componenti di u rispettivamente in direzione Xn e Xs:

 

 u(x,y,z) = un(x,y,z)n + us(x,y,z)               (3)      

 

  dove

 

un = x(dy/ds) + h(dx/ds) - [(xdx+ydy)/ds]q         (4a) 


us = x(dx/ds) + h(dy/ds) + [(xdy+ydx)/ds]q        (4b)




Figura 2
: Sezione trasversale della trave: terne cartesiane globale i, j, k e locale n, t, k

     Definite le componenti trasversali dello spostamento del generico punto della linea media del profilo, è ora necessario definire la componente di spostamento longitudinale (cioè lungo l'asse della trave).
     Data l'esiguità dello spessore della sezione, si ipotizza che tutti i punti del generico segmento perpendicolare alla linea media del profilo presentino il medesimo ingobbamento. Assegnato un numero n di nodi lungo la linea media del profilo,  le funzioni dell'ascissa longitudinale Fi(z), con i=1,¡­,n, sono utilizzate per descrivere la componente longitudinale dello spostamento w(z) dei rispettivi nodi.
     I nodi sono scelti ad un certo intervallo lungo i singoli profili che costituiscono la sezione. Devono essere inoltre considerati dei nodi laddove si verificano discontinuità nella forma o nello spessore del profilo e nelle proprietà meccaniche del materiale nonchè nelle estremità libere dei rami aperti e nei punti in cui si congiungono più rami.
Per descrivere l'ingobbamento della sezione trasversale si introducono n funzioni di forma yi(s), con i=1,¡­,n, che assumono valore unitario nel nodo i-esimo, valore nullo negli altri nodi e presentano un andamento lineare nei segmenti del profilo compresi tra i nodi contigui (Fig.3).
     Lo componente di spostamento longitudinale w del punto P(x(s),y(s),z) può dunque essere espressa nel modo seguente


                          (5)  

 

     E' bene osservare che gli spostamenti longitudinali dei punti della linea media del profilo sono definiti da una funzione continua dell'ascissa curvilinea, non derivabile in corrispondenza dei nodi e la cui derivata è costante lungo i segmenti tra due nodi contigui.

 


Figura 3. Nodi scelti lungo la linea media del profilo; funzione di forma yi per il nodo i-esimo

 

     Il vettore e(s,z)=[es ez gsz]T raccoglie le componenti dello stato di deformazione che caratterizza il generico punto della linea media del profilo: es e ez sono le deformazioni assiali rispettivamente lungo gli assi Xs e Z mentre gzs è lo scorrimento angolare tra gli assi Xs e Z. Le due componenti raccolte nel vettore 
e*(s,z)=[ez gsz]T possono essere ricavate direttamente dal campo di spostamenti (4), (5) nella forma:


  

La rimanente componente es è invece determinabile, se necessario, mediante legame costitutivo considerando che ss @ 0.


2.2 EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

     Nello spirito del metodo degli spostamenti, le funzioni di spostamento x, h e q unitamente alle 
 Fi(dove i=1,¡­,n) sono assunte come incognite; tali funzioni devono essere scelte negli spazi delle funzioni regolari che soddisfano le condizioni al contorno.
     Il vettore s(s,z)=[ss sz tsz]T  raccoglie le componenti dello stato piano di tensione valutato nel generico punto della superficie media del profilo: ss e sz sono le tensioni normali parallele rispettivamente agli assi Xs e Z mentre tsz è la tensione tangenziale nel piano XsZ.
     Per condurre l'analisi non lineare di elementi sottili in calcestruzzo armato, è stato adottato il modello costitutivo proposto in [9] per lo studio di elementi fessurati in regime membranale. Fino a valori della tensione principale di trazione nel conglomerato inferiori alla resistenza a trazione fct, si assume per il calcestruzzo un comportamento elastico lineare. Quando questo valore viene superato, si ipotizza la formazione di un quadro fessurativo disposto ortogonalmente alla direzione principale di trazione: si assume inoltre che tale quadro fessurativo rimanga invariato al crescere del livello di carico. Il materiale fessurato viene quindi assimilato ad un continuo bidimensionale ortotropo, "spalmando", mediante considerazioni di equivalenza, sia la presenza delle armature che quella delle fessure. Attraverso un'analisi basata su di un approccio di tipo fisico, si esprimono le tre componenti di deformazione (es, ez, gsz) utilizzate al continuo in funzione delle tre variabili fondamentali che reggono il problema: l'apertura e lo scorrimento tra i labbri delle fessure e la deformazione assiale dei puntoni di calcestruzzo. Queste ultime, oltre a definire la reale evoluzione del quadro fessurativo, permettono di valutare sia la deformazione assiale delle barre di armatura e del calcestruzzo nei puntoni che i meccanismi resistenti del conglomerato armato fessurato: coesione, ingranamento degli inerti, confinamento, dowel action e
tension-stiffening.
     Secondo tale approccio, il legame costitutivo può dunque essere sintetizzato nel modo seguente [9]:
 

 s = D(e)e                          (7)


dove D(e) è la matrice di rigidezza secante del materiale le cui componenti verranno in seguito indicate con Dij (i,j =1, 2, 3).
     Definito il legame costitutivo nel generico elemento infinitesimo di trave si deve scrivere una condizione che consente di annullare la componente ss dello stato di tensione. E' Infatti ipotesi fondamentale per un modello di trave di parete sottile la trascurabilità di tale componente di sforzo, non derivabile a partire dal campo di spostamento avendo assunto l'indeformabilità della sezione trasversale. Valutate le due componenti di deformazione ez e gsz dal campo degli spostamenti, è necessario quindi ricavare quel valore di es che assicura l'annullamento di ss.
     Poichè non è possibile invertire la (7), la deformazione es che assicura la condizione


s= D11es + D12ez + D13gzs = 0    (8)


viene ottenuta attraverso una procedura iterativa fissando una tolleranza per il modulo di ss.
     Raccogliendo le due componenti di tensione non nulle nel vettore s*(s,z) = [sz tsz]T, è possibile riformulare il legame costitutivo (7) come segue
 

s* = D(e)e                             (9)

dove


     Assumendo che la trave sia soggetta a carichi trasversali px, py e momento torcente distribuito mt, la condizione di equilibrio può essere scritta in forma variazionale mediante il principio dei lavori virtuali uguagliando il lavoro compiuto dalle tensioni a quello delle azioni esterne, per ciascuna variazione ammissibile delle funzioni di spostamento (dx,dh,dq; dFi con i=1,...,n): 



 

    Nella (11) px(z), py(z) sono rispettivamente le componenti in direzione X e Y del carico distribuito e mt(z) è la coppia torcente distribuita, mentre Pxa, Pya sono rispettivamente le componenti in direzione X e Y dell'azione tagliante applicata alle estremità della trave e Mta è la coppia torcente applicata alle estremità della stessa (con a = 0, L). Infine, nella (11), V indica il volume della trave ed L la sua lunghezza.
     E' bene sottilineare che nel presente modello di trave non viene riprodotto il contributo alla rigidezza torsionale dato dal comportamento alla Saint Venant. Questo contributo è infatti associato ad una distribuzione di tensioni tangenziali con andamento lineare nello spessore dei singoli elementi che costituiscono la sezione e che quindi non può essere analizzato ipotizzando per i pannelli un comportamento di tipo membranale. Nelle travi di parete sottile con sezione chiusa il comportamento alla Saint Venant rappresenta un contributo trascurabile alla rigidezza torsionale mentre costituisce l'unica risorsa della trave nei confronti dell'azione torcente nel caso di sezioni aperte in regime di torsione uniforme. Il modello è dunque in grado di cogliere efficacemente il comportamento di travi soggette ad azioni torcenti con sezione chiusa o, nel caso di sezione aperta, se la geometria della trave e la disposizione dei vincoli rendono dominante il regime di torsione non uniforme.



2.3 IL MODELLO AGLI ELEMENTI FINITI

     Come generalmente accade in problemi non lineari, il sistema di equazioni ricavabile dalla (11) e che esprime la condizione di equilibrio della struttura non può essere integrato analiticamente e quindi richiede una procedura risolutiva di tipo numerico. In questo lavoro la procedura numerica utilizzata si basa sull'applicazione del metodo degli elementi finiti.
     Il metodo richiede una discretizzazione del dominio gemetrico del problema: la trave viene dunque suddivisa longitudinalmente in conci e si  adotta una discretizzazione tipica degli elementi finiti per descrivere gli spostamenti longitudinali delle porzioni dei pannelli delimitate dalle coppie di nodi contigui. Il singolo elemento finito ha dunque lunghezza Le pari a quella del concio ed altezza He pari alla distanza tra i due nodi (Fig.4). Nel caso di sezioni con profilo curvilineo è necessario discretizzare il profilo con elementi di piccola altezza He al fine di non commettere un errore significativo assumendo tra le coppie di nodi un andamento rettilineo. Le funzioni che nel generico concio di trave definiscono il moto rigido della sezione nel proprio piano, sono x, h e q. L'ingobbamento della sezione, in corrispondenza del segmento che congiunge i due nodi contigui i e i+1, è invece descritto dalle funzioni Fi e Fi+1 che definiscono gli spostamenti longitudinali dei due nodi.
     Le funzioni x, h e q, unitamente alle funzioni f1 e f2 che definiscono gli spostamenti longitudinali delle due fibre di estremità, descrivono dunque il campo degli spostamenti nel generico elemento finito (Fig.4). Dato che sia x, h e q che f1 e f2 sono funzioni della sola ascissa longitudinale z, l'elemento adottato è un elemento finito monodimensionale.



Figura 4: Elemento finito  monodimensionale a 15 gradi di libert¨¤


     L'andamento longitudinale delle funzioni di spostamento è stato approssimato con polinomi del secondo ordine; è stato quindi elaborato un elemento finito dotato di un nodo centrale aggiuntivo rispetto ai due nodi di estremità (Fig.4). La generica funzione di spostamento d(z) = x(z), h(z), ¡­, F2(z) viene dunque espressa come

d(z)=NT(z)d                       (12)

dove il vettore

d=[d1 d2 d3]T                     (13)


raccoglie i valori assunti dalla funzione d(z) in corrispondenza dei nodi e il vettore

N(z)=[1-3z+2z2, -z+2z2, 4z-4z2]T            (14)   

raccoglie le funzioni di forma, essendo z=z/Le l¡¯ascissa locale adimensionalizzata.
L'elemento finito adottato è dunque caratterizzato da 15 gradi di libertà: 5 per ciascuno dei 3 nodi (Fig.4); gli spostamenti nodali vengono raccolti nel vettore

ue = [z  h q F]T                                     (15)

dove il vettore

  F = [F1 F2]                              (16)

raccoglie gli spostamenti longitudinali delle due fibre in corrispondenza dei nodi di estremità.
Considerando il generico punto P(x(s),y(s),z) della linea media del profilo, la relazione cinematica

e*(s,z) = B(s,z)ue                          (17)

lega le componenti di deformazione ez e gzs agli spostamenti nodali ue mediante la matrice

dove

e

 ax=dx/ds,        ay=dy/ds,         r=(xdy-ydx)/ds         (20)

     Nella (18) sono state indicate rispettivamente con un apice e con il pedice s le derivate rispetto alle variabili z ed s. I tre coefficienti nelle (20) sono costanti per ogni elemento finito. Per comodità l'origine dell'ascissa curvilinea s è stata fissata in corrispondenza di una fibra di estremità.
     Per la scelta delle funzioni di forma effettuata, le deformazioni longitudinali ez sono lineari sia nella lunghezza che sull'altezza dell'elemento finito, mentre gli scorrimenti gzs hanno andamento parabolico in direzione longitudinale ma sono costanti sull'altezza He dell'elemento finito.
Calcolato il vettore  e*, le componenti di tensione possono essere ricavate mediante le (9). Dallo stato tensionale è possibile quindi ricavare sia il vettore delle forze nodali interne che, di conseguenza, la matrice di rigidezza dell'elemento finito.
     Il vettore delle forze nodali interne dell'elemento finito può essere scritto nella forma

dove Y1 e Y2 sono i vettori

 
      


e Ve è il volume dell'elemento.
     La matrice di rigidezza dell'elemento finito può essere scritta nella forma

dove  K1K2K3, K4 sono le quattro sottomatrici

E' bene sottolineare che in campo lineare la matrice di rigidezza dell'elemento finito Ke è simmetrica per la simmetria della matrice che definisce il legame costitutivo (9). Risulta infatti: 

       D23 = (es/ez)D31+D32                   (25)

in quanto D23=D31=D32=0; in campo non lineare, invece, la matrice Ke non è simmetrica in quanto la condizione espressa dalla (25) non è più verificata.
     Per quanto riguarda il calcolo numerico degli integrali di volume che compaiono sia nel vettore Ye che nella matrice Ke, l'integrazione in direzine longitudinale è stata effettuata mediante il metodo della quadratura di Gauss mentre l'integrazione sulla sezione trasversale è stata effettuata discretizzando la sezione in strisce. E' importante infatti cogliere la variazione delle proprietà meccaniche sulla sezione.


2.4 LA PROCEDURA NUMERICA DI SOLUZIONE

     L’analisi del comportamento non lineare della struttura è stata eseguita mediante una procedura numerica risolutiva in controllo di spostamento. Per l’analisi di strutture in calcestruzzo armato le procedure in controllo di spostamento sono infatti preferibili in quanto la fessurazione del conglomerato può causare la presenza di rami softening nel comportamento globale della struttura che non potrebbero essere colti mediante procedure in controllo di carico [11].
     Sulla base del metodo proposto da Batoz e Dhatt [10], è stata messa a punto una procedura incrementale che individua le configurazioni di equilibrio della struttura corrispondenti ai valori prestabiliti assunti da un prefissato parametro di spostamento; all’interno di ogni passo dell’analisi, un processo iterativo alla Newton-Raphson consente di ridurre l’errore di previsione iniziale al di sotto di una tolleranza prestabilita.
     Vengono successivamente descritti i principali passaggi che caratterizzano la procedura risolutiva nel generico passo dell’analisi incrementale. Le equazioni che governano il problema derivanti dall’assemblaggio dei gradi di libertà u dei vari elementi finiti in cui è stata suddivisa la struttura sono scritte nella forma

K(u)u=lp                         (26)

dove p rappresenta un vettore normalizzato delle forze nodali esterne e l il suo moltiplicatore. I valori assunti dallo spostamento imposto ub nei vari step (ub1, ub2, ub3, …) vengono stabiliti all’inizio della procedura.
   Ottenuta la configurazione di equilibrio per il generico livello di carico l
ip, risultano noti il vettore ui degli spostamenti nodali e, quindi, sia il vettore Y(ui)  delle forze nodali interne che la matrice di rigidezza secante K(ui) della struttura.
     Per individuare la configurazione di equilibrio successiva si ricorre alla seguente equazione incrementale

dove Dui è il vettore degli incrementi degli spostamenti nodali mentre Dli è l’incremento del moltiplicatore dei carichi. Le incognite sono dunque rappresentate da Dli e da tutte le componenti di Dui ad eccezione di Dubi che è appunto fissato.
     Si introducono quindi i due vettori ausiliari DuPi e DuRi  che soddisfano le due equazioni

Facendo uso delle (27) e (28) è possibile esprimere Dui  nel modo seguente

Dui = Dli DuPi  + DuRi            (29)

La (29) è ovviamente valida anche in corrispondenza dell’incremento imposto Dubi  della componente di spostamento che rappresenta il parametro di controllo:

 Dubi = Dli DubPi  + DubRi      (30)

dove

              Dubi  = ubi+1 - ubi         (31a)

nella prima iteazione

                  Dub= 0                   (31b)

nelle successive iterazioni. La (30) permette dunque di ricavare l’incremento del moltiplicatore dei carichi

che, sostituito nella (29), consente infine di calcolare gli incrementi di tutti gli spostamenti nodali. Il processo iterativo viene bloccato quando, in corrispondenza degli spostamenti nodali ui+1 e del moltiplicatore li+1, la norma del vettore delle forze sbilanciate risulta inferiore ad una prefissata tolleranza.
     La procedura numerica risolutiva non richiede oneri computazionali eccessivi in quanto:
1) per ogni step dell’analisi, la matrice di rigidezza della struttura K(u)i è costruita alla prima iterazione (assemblaggio e fattorizzazione) e mantenuta anche per le successive iterazioni (metodo di Newton-Raphson modificato);
2) la stessa matrice K(u)i, sebbene non simmetrica, è comunque una matrice a banda: questa proprietà permette di velocizzare notevolmente i tempi richiesti dal processo di fattorizzazione;
3) sia il vettore delle forze nodali interne   che la matrice di rigidezza Ke dell’elemento finito possono essere calcolati a partire dai vettori (Y1, Y2 ) e dalle matrici (K1, …, K4) ausiliarie di dimensioni minori.


3. APPLICAZIONI DEL MODELLO PROPOSTO

     Il modello proposto è stato utilizzato per analizzare il comportamento in campo non lineare di due travi di parete sottile in regime di momento flettente e torcente non uniformi. Per entrambe le travi lo schema statico è quello di mensola. Deve essere fin d’ora precisato che nelle due applicazioni la struttura non viene analizzata fino alla rottura: l’intento è infatti quello di evidenziare, nelle prime fasi del comportamento non lineare, sia il quadro fessurativo che la variazione dello stato tensionale causato dalla presenza di tali fenomeni fessurativi. Sia le barre di armatura che il calcestruzzo compresso tra le fessure sono dunque lontani dai valori ultimi di deformazione.


3.1 MENSOLA SOGGETTA A CARICO TRASVERSALE UNIFORME

     Si consideri la mensola con sezione a “T” soggetta a carico trasversale uniforme mostrata in Figura 5. La trave è realizzata con un calcestruzzo Rck=35MPa con resistenza a trazione fctm=3MPa; in direzione longitudinale e trasversale sono presenti armature (fyk=440MPa) a spaziatura costante (10cm) per una percentuale geometrica r=1% (in entrambe le direzioni). Il passo delle barre di armatura consente di ipotizzare una distanza media tra le fessure am=7cm [12].
     La simmetria del problema rispetto all’asse Y ha consentito una riduzione degli oneri associati alla risoluzione numerica: la trave è stata dunque discretizzata longitudinalmente in 10 conci, in ciascuno dei quali 6 elementi finiti modellano l’anima della sezione e 9 elementi una delle ali.


Figura 5: Mensola soggetta a carico trasversale


     L’analisi non lineare è stata eseguita imponendo, attraverso opportuni incrementi, valori crescenti dello spostamento trasversale ut dell’estremità libera in direzione Y. Il valore finale imposto è pari a 13.25mm, ovvero 1.80 volte quello limite in regime elastico lineare.
     Le Figure 6 e 7 mostrano l’evoluzione al crescere di ut delle tensioni medie rispettivamente nell’ala e nell’anima in una sezione scelta in prossimità del vincolo (z=0.5m). Con la dicitura “tensioni medie” si intende segnalare che rappresentano le componenti di tensione corrispondenti al materiale equivalente. A partire da tali tensioni è possibile ottenere lo stato di sollecitazione di calcestruzzo ed armatura.
     I risultati mostrano un comportamento non lineare, causato dalla fessurazione del calcestruzzo teso nella porzione di ala prossima al nodo di innesto con l’anima. Nell’ala, in particolare, la fessurazione produce una sensibile redistribuzione sull’intera larghezza dei valori più elevati delle tensioni normali sz indotte dallo shear-lag in corripondenza di tale nodo (Fig.6a). Una parziale redistribuzione si registra anche per le tensioni tangenziali tzx (Fig.6b). L’anima subisce invece dei fenomeni fessurativi solo in una modesta porzione contigua al nodo di innesto con l’ala (Figure 7a e b).
     Nell’ala della medesima sezione z=0.5m, le Figure 8 e 9 mostrano rispettivamente l’ampiezza delle fessure e le tensioni sz presenti nel calcestruzzo e nelle barre longitudinali in corrispondenza del valore finale dello spostamento trasversale uy=13.25mm. In Figura 8 si può notare che, sebbene il fenomeno di redistribuzione delle sz prima evidenziato sia piuttosto marcato, l’ampiezza delle fessure si mantiene comunque ancora modesta (
wcrack@0.01mm). La Figura 9 conferma come, a causa della fessurazione del calcestruzzo, parte della tensione longitudinale si trasferisce dal calcestruzzo teso all’armatura.

Figura 6: Evoluzione delle tensioni medie nell’ala in prossimità del vincolo (z=0.5m): (a) tensioni normali sz, (b) tensioni tangenziali tz corrispondenti al carico p1=34.6, p2=43.7, p3=52.6 e p4=61.2 [KN/m]

Figura 7: Evoluzione delle tensioni medie nell’anima in prossimità del vincolo (z=0.5m): (a) tensioni normali sz, (b) tensioni tangenziali tzy corrispondenti al carico p1=34.6, p2=43.7, p3=52.6 e p4=61.2 [KN/m]

Figura 8: Ampiezza finale delle fessure wcrack nell’ala in prossimità del vincolo (z=0.5m)

Figura 9: Tensioni scls nel calcestruzzo e tensioni ssteel nelle barre di armatura longitudinali presenti nell’ala (sezione z=0.5m)

     Si consideri ora la mensola di sezione tubolare soggetta ad azione torcente applicata nell’estremità libera mostrata in Figura 10. Le caratteristiche dei materiali e la disposizione delle armature sono analoghe a quelle descritte nel caso precedente.
Sfruttando la simmetria polare del problema rispetto all’assa passante per O è stato possibile limitare l’analisi ad una porzione pari a metà sezione, costituita da due pannelli consecutivi, riducendo gli oneri associati alla risoluzione numerica: la trave è stata dunque discretizzata in 15 conci sulla lunghezza, per ciascuno dei quali 8 elementi finiti modellano il pannello minore della sezione e 16 elementi il pannello maggiore.
     L’analisi non lineare è stata eseguita imponendo, attraverso opportuni incrementi, valori crescenti dell’angolo di rotazione qt dell’estremità libera intorno all’asse Z. Il valore finale imposto è pari a 0.00138 radianti, ovvero 1.38 volte quello corrispondente al limite del regime elastico lineare.
     La Figura 11 mostra l’evoluzione, al crescere del momento torcente Mt, delle tensioni medie nel pannello di lunghezza inferiore in una sezione scelta in prossimità del vincolo (z=0.6m). Nei pannelli più corti la torsione non uniforme genera in corrispondenza del vincolo le tensioni tangenziali maggiori nonché tensioni normali di trazione.


Figura 10: Mensola tubolare soggetta ad azione torcente applicata all’estremità libera


Figura 11
: Evoluzione delle tensioni medie nel pannello più corto in prossimità del vincolo (z=0.6m): (a) tensioni normali sz, (b) tensioni tangenziali tzs corrispondenti al carico Mt1=11.3, Mt2=12.7, Mt3=14.0 e Mt4=15.3 [103 KN×m].


Figura 12: Quadro fessurativo finale nel pannello più corto in prossimità del vincolo (z=0.6m): (a) ampiezza delle fessure wcrack, (b) inclinazione delle fessure acrack rispetto all’asse Z (gradi sessagesimali)

     I risultati mostrano che nella porzione di AB soggetta a tensioni di trazione, la fessurazione produce un sensibile abbattimento delle tensioni normali sz (Fig.11a) mentre il flusso delle tensioni tangenziali tzy non subisce particolari variazioni, a causa del fenomeno dell’ingranamento che preserva la rigidezza a taglio in presenza di aperture di fessura modeste (Fig.10b). La Figura 12 mostra il quadro fessurativo per il pannello AB nella medesima sezione (z=0.6m): l’apertura di fessura è riportata in Figura 12a e l’inclinazione rispetto all’asse Z è riportata in Figura 12b. L’abbattimento delle sz prima evidenziato, seppur molto evidente, si manifesta in corrispondenza di fessure caratterizzate da un’ampiezza wcrack@0.01mm molto modesta (Fig.11a). Il quadro fessurativo presenta un’inclinazione acrack dell’ordine di 50 gradi sessagesimali rispetto all’asse Z. Le tensioni sz dovute alla torsione non uniforme fanno dunque sì che le fessure abbiano un’inclinazione diversa dai 45 gradi associata alla presenza di uno stato tangenziale puro.

4. CONCLUSIONI

     E’ stato presentato un modello agli elementi finiti per l’analisi non lineare di travi di parete sottile in calcestruzzo armato con sezione generica. La sezione si assume infinitamente rigida nel proprio piano mentre il suo ingobbamento viene definito dagli spostamenti longitudinali di opportuni nodi scelti lungo la linea media del profilo. Un macromodello costitutivo per elementi sottili in calcestruzzo armato è stato utilizzato per descrivere il comportamento membranale non lineare del materiale. In regime fessurato il calcestruzzo armato viene assimilato ad un materiale ortotropo  assumendo un’orientazione prefissata del quadro fessurativo pari a quella di inizio fessurazione. La condizione di equilibrio della struttura, impostata sulla base del principio dei lavori virtuali, è stata risolta utilizzando il metodo degli elementi finiti in una procedura risolutiva in controllo di spostamento.
     Il modello è stato utilizzato per analizzare il comportamento non lineare di una mensola con sezione a “T” soggetta a carico trasversale distribuito ed una mensola con sezione tubolare soggetta ad azione torcente. L’analisi è stata condotta fino al raggiungimento di un quadro fessurativo sufficientemente esteso in prossimità del vincolo; in entrambe le travi l’attenzione è stata focalizzata nella porzione prossima all’incastro.
     I risultati mostrano che il modello consente di cogliere efficacemente l’evoluzione del quadro fessurativo e di valutare l’influenza della fessurazione sulla redistribuzione delle tensioni.
     E’ stato evidenziato che, nella trave con sezione a “T”, l’effetto dello shear-lag all’innesto tra anima ed ala produce i valori più elevati delle tensioni normali longitudinali, che si abbattono all’insorgere della fessurazione redistribuendosi nell’intera larghezza della sezione. Analogamente, nella mensola tubolare, le tensioni normali longitudinali indotte dalla torsione non uniforme si riducono notevolmente in corrispondenza di fenomeni fessurativi molto contenuti. Il flusso delle tensioni tangenziali non subisce invece sostanziali cambiamenti a seguito della fessurazione per il fenomeno dell’ingranamento.


5. RINGRAZIAMENTI

     La ricerca è stata condotta con il contributo dei fondi M.I.U.R. 60%.


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