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Estratto dagli atti del 14° Congresso C.T.E. Mantova, 7-8-9 Novembre 2002

IMPIEGO DI METODI SEMPLIFICATI PER LA VALUTAZIONE 
DELLA RISPOSTA NON LINEARE DI EDIFICI IN C.A.


Alberto Maria Avossa, Massimiliano Ferraioli, Pasquale Malangone
II Università di Napoli

SUMMARY

       Some different simplified procedures for the evaluation of the nonlinear response of r.c. buildings were investigated. At first, starting from the static nonlinear (push-over) analysis the capacity curve was evaluated and the equivalent SDOF system was defined. Then the approximate procedures were described in detail and applied to a r.c. building under different earthquakes. Finally the static displacement responses were compared with the “exact” response obtained from the nonlinear dynamic analysis of the multistorey building.

1. INTRODUZIONE

     Nella progettazione antisismica tradizionale il metodo di riferimento per la valutazione della risposta strutturale è in genere l’analisi dinamica lineare con spettro di risposta assegnato. Il ricorso all’analisi non lineare al passo è invece di solito evitato, sia perché richiede dati  aggiuntivi (modelli isteretici per gli elementi strutturali, segnali accelerometrici significativi), sia perché l’incertezza dei dati in input condiziona fortemente l’affidabilità dei risultati. Tuttavia l’esigenza di prevedere il comportamento dell’edificio in campo non lineare, sotto sismi di elevata intensità, ha prodotto negli ultimi anni la messa a punto di procedure semplificate per condurre analisi non lineare in ambito statico (Nonlinear Static Procedures - NSP). Tali procedure possono costituire un valido strumento sia per valutare rapidamente le  caratteristiche globali in campo plastico, sia per correlare gli stati di danno con l’intensità dell’azione sismica. In tale ambito i metodi approssimati possono svolgere un ruolo centrale, specie all’interno di codici sismici evoluti che consentono di collegare in modo esplicito i differenti livelli di rischio con gli obiettivi prestazionali richiesti (Performance-Based Design - PBD). Alcune NSP sono state recepite da documenti normativi recenti ed esaminati nella fase di revisione di normative sismiche avanzate. 
Ad esempio il Metodo del Coefficiente di Spostamento (Displacement Coefficient Method - DCM) – basato sul calcolo degli spettri di risposta inelastici in termini di spostamento (IDRS) - è stato inserito nelle FEMA 273-274[1]. Il Metodo dello Spettro di Capacità (Capacity Spectrum Method - CSM), originariamente proposto da Freeman et. al. [2] nel 1975, è stato invece introdotto nell’ATC-40[3]. Albanesi et.al.[4] hanno di recente proposto un metodo per rendere esplicite le procedure dell’ATC-40 attraverso opportune ipotesi semplificative. Permangono tuttavia i problemi di accuratezza della soluzione numerica insiti nel metodo. Soluzioni numeriche più accurate possono essere invece ottenute combinando insieme il CSM con il Metodo N2 proposto da Fajfar [5]  per l’analisi del danno di edifici in c.a. sotto sisma (Metodo dello Spettro di Capacità Modificato – MCSM). In alternativa ai metodi basati sull’analisi statica non lineare, studi recenti (Requena et al.[6] , Kuramoto et al.[7]) propongono di sostituire il confronto tra lo Spettro di Capacità (CS) e IDRS con l’analisi dinamica time-history di un sistema SDOF equivalente a comportamento isteretico. Si osserva infine che anche il recente draft No.4 dell’Eurocodice 8[8] propone una procedura statica approssimata basata sull’analisi di push-over.

2. CURVA DI CAPACITÀ E SISTEMA SDOF EQUIVALENTE

     Le NSP sono basate sulla caratterizzazione della risposta strutturale attraverso la curva forzaspostamento ottenuta da un’analisi di push-over. Tale analisi richiede la modellazione non lineare di tutti gli elementi strutturali, e si basa sull’applicazione di carichi verticali realistici e di forze laterali di piano di ampiezza crescente fino al raggiungimento di uno stato limite. La schematizzazione delle forze orizzontali può essere effettuata con diversi livelli di accuratezza. Il livello più basso presuppone l’applicazione di una sola forza orizzontale concentrata in testa alla struttura. In alternativa è possibile applicare forze laterali di piano con distribuzione affine a quella prevista dalla normativa vigente, ovvero proporzionale al prodotto delle masse di piano e delle componenti modali. In edifici con risposta governata prevalentemente dalla forma modale fondamentale, nella direzione considerata la distribuzione delle forze statiche equivalenti può essere quindi espressa attraverso la relazione:
                                                                                  (1)
in cui Fi, mi e fi1 rappresentano rispettivamente la forza laterale, la massa e la componente del modo fondamentale in corrispondenza del piano iesimo, V è il taglio alla base e N il numeri di piani. Il contributo dei modi di vibrare più elevati può essere considerato attraverso un approccio di tipo probabilistico. Valles et al.[9] introducono ad esempio un modo fondamentale equivalente  fi dato dalla combinazione SRSS dei singoli modi:
                                                                               (2)
Freeman[10] propone invece di valutare la forza laterale al piano i-esimo applicando direttamente la regola di sovrapposizione modale SRSS:
                                                                    (3)
essendo Gj e Sa(Tj) rispettivamente il coefficiente  di partecipazione e l’accelerazione spettrale corrispondenti al j-esimo modo di vibrare.
     Con un maggiore livello di accuratezza l’analisi di push-over può essere effettuata modificando la distribuzione delle forze laterali in corso d’opera, e correggendo il modello in modo da considerare le variazioni indotte dalle plasticizzazioni di alcuni elementi strutturali. Tale analisi viene condotta in odo da individuare lungo la curva tagliante alla base – spostamento laterale (curva di capacità – CC), che esprime la capacità del sistema SDOF equivalente, i punti corrispondenti rispettivamente alla prima plasticizzazione, alla prima fessurazione e al massimo spostamento raggiungibile senza che si verifichi il degrado della struttura o insorgano problemi d’instabilità. In particolare si controlla il raggiungimento di uno degli stati limiti considerati: formazione di un meccanismo di collasso; rottura localizzata; instabilità per effetti P-D; significativo degrado della resistenza iniziale (riduzione della capacità di trasmettere il taglio alla base maggiore del 20%); distorsioni incompatibili con il livello di funzionamento desiderato (valore massimo adottato pari al 2%).
Quando l’incremento dei carichi viene interrotto per il raggiungimento del valore limite della deformazione laterale, per l’incapacità di sostenere i carichi verticali o per il degrado delle caratteristiche di resistenza di uno degli elementi strutturali, il sistema presenta una brusca riduzione della resistenza. L’analisi di push-over può però riprendere a patto di introdurre le nuove caratteristiche di rigidezza e ridurre il livello delle azioni laterali. In tal caso la curva di capacità presenta una forma a dente di sega per effetto delle successive perdite di resistenza.
     A partire dalle (1),(3) è possibile scrivere dopo qualche passaggio il massimo spostamento di piano di ed il tagliante alla base V nella forma:
                               
in cui Kj e Mj sono rispettivamente la massa e la rigidezza equivalente del modo j-esimo date da:
             Kj=G jØjT× K× G j Øj ;          Mj=G jØjT× M× G j Øj                             (6)

essendo M la matrice delle masse e K la matrice delle rigidezze. Considerando il contributo del solo primo modo il tagliante alla base ed il vettore degli spostamenti di piano si scrivono nella forma:
                                           V @ M1 ∙ Sa(T1)                          (7)
                              d = G 1 ØM1 × Sa(T1)/K1=G ØV/K
1       (8)

Il sistema spaziale può essere convertito in un sistema SDOF equivalente di massa M1 rigidezza K1. Lo spostamento d di tale sistema pari allo spostamento laterale del sistema MDOF all’altezza Heq in corrispondenza della quale vettore PF1=G1·f1 dei fattori di partecipazione del primo modo ai vari piani assume valore unitario. Utilizzando le (7),(8) si ottiene:
                                d = V/K1 = M1 × Sa(T1)/K1 = Sd(T1)             (9)
                                        Fi = mi × di × Sa(T1)/d                       (10)
                                                                 d = G1 × Ø1 × d = PF1 × d                      (11)

Il vettore PF1 esprime pertanto il rapporto ad ogni piano tra lo spostamento laterale del sistema MDOF e lo spostamento del sistema SDOF equivalente di rigidezza K1 e massa M1.
Dalle (6),(11) si perviene dopo qualche passaggio alle seguenti relazioni:
                        
che definiscono la massa, la rigidezza e il periodo del sistema SDOF equivalente per una generica distribuzione delle forze e degli spostamenti laterali. Facendo uso delle (7),(9) e (12) si ottengono le seguenti relazioni che consentono di rappresentare la curva di capacità nel formato ADRS (Acceleration-Displacement Response Spectra):

                               Figura 1. Sistema SDOF equivalente

                                     (15)
Le (14),(15) possono essere infine scritte nella seguente forma compatta:
                                     
               
avendo indicato con W il peso sismico complessivo e con a1=M1·g/W=M1/MTOT il rapporto di massa modale, detto anche fattore di partecipazione del taglio alla base. Attraverso coefficienti che rappresentano rispettivamente la massa modale efficace (a1=M1·W) e la componente in sommità del fattore di partecipazione modale (PF1(N)), le (16) e (17) consentono il passaggio dalla curva di capacità (CC) allo spettro di capacità (CS).

3. METODI SEMPLIFICATI PER L’ANALISI NON LINEARE

     Come già premesso, il comportamento dinamico può essere valutato con metodi di analisi semplificati, senza ricorrere ad onerose procedure di analisi al passo condotte su modelli spaziali. Molti di questi metodi si basano sul cosiddetto Metodo dello Spettro di Capacità (CSM), proposto originariamente per edifici regolari con risposta dominata dalla forma modale fondamentale[2] . Successive modifiche hanno consentito di applicare tale metodo anche in presenza di un contributo significativo dei modi alti e di irregolarità in pianta o in elevazione.

3.1. METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITÀ (CSM)

     Il CSM è basato su una procedura di tipo grafico, che mette a confronto la capacità della struttura di resistere alle azioni laterali con le caratteristiche inelastiche richieste da un assegnato input sismico. La capacità della struttura è rappresentata dallo spettro di capacità del sistema SDOF equivalente. Una volta definita l’approssimazione bilineare equivalente di tale spettro occorre individuare sul ramo post-elastico i punti corrispondenti a diversi valori della duttilità m=d/dy in termini di spostamento, essendo dy il valore dello spostamento al limite elastico (fig.2). La risposta inelastica richiesta è rappresentata dagli spettri di risposta del terremoto. In particolare, gli effetti della risposta isteretica non lineare non vengono considerati direttamente attraverso la costruzione degli spettri inelastici IDRS (Inelastic Demand Response Spectra), ma indirettamente attraverso la definizione degli spettri elastici lineari EDRS (Elastic Demand Response Spectra) relativi allo smorzamento viscoso ξ*eq del sistema SDOF bilineare equivalente. Tali spettri vengono costruiti scalando l’EDRS relativo a ξ=5% attraverso un fattore di riduzione funzione di  ξ*eq . Lo smorzamento viscoso equivalente  ξ*eq  può essere correlato al valore m della duttilità richiesta. Tale relazione dipende in generale dalla pendenza del ramo post-elastico e dalla stabilità dei cicli d’isteresi sotto carichi ripetuti. In particolare ξ*eq  può essere ottenuto come somma di due aliquote: ξ e ξeq.

                           Figura 2. Metodo dello spettro di capacità

La prima esprime il rapporto di smorzamento del sistema bilineare in campo elastico. La seconda è il rapporto di smorzamento viscoso equivalente allo smorzamento isteretico dato da:
                                                                   (19)
essendo ES la massima energia elastica immagazzinabile e ED l’energia dissipata in un ciclo d’isteresi. Per un sistema a comportamento bilineare la (19) assume la forma:
                                                                (20)
essendo a il rapporto tra la rigidezza post-elastica la rigidezza elastica. In modo analogo si determina il valore del periodo del sistema lineare equivalente con rigidezza pari a quella secante:
                                                                     (21)
     Una volta riportati sia lo spettro di capacità che gli spettri elastici-lineari ad elevato smorzamento nel piano (Sa,Sd) il CSM si traduce in una procedura grafica iterativa per la determinazione del Performance Point (PP). Se lo spettro elastico EDRS) corrispondente a ξ*eq   =5% interseca lo spettro di capacità (CS) al di sotto del suo limite elastico il terremoto considerato sollecita la struttura prevalentemente in campo elastico o, comunque, con plasticizzazioni localizzate di ridotta entità. In questo caso il PP si ottiene direttamente dall’intersezione tra il CS e l’EDRS. In caso contrario è necessario applicare una procedura iterativa. Infatti l’approssimazione bilineare (BCS) del CS dipende, in generale, dall’incognita del problema, che è il valore dello spostamento massimo cui è soggetto il sistema SDOF sotto l’input considerato. Inoltre ad ogni punto del ramo post-elastico del BCS corrisponde un diverso valore della duttilità globale in termini di spostamento mi=di/dy e quindi, dello
smorzamento viscoso equivalente ξ*eq  (mi). Il PP deve essere quindi determinato per via iterativa, ricercando l’unico punto (di,ai) del CS che appartiene proprio all’EDRS corrispondente allo smorzamento ξ*eq  (mi=di /dy).

3.2. PROCEDURE ATC-40

     L’ATC-40 prevede tre diverse procedure fondate sul Metodo dello Spettro di Capacità che standardizzano e semplificano il processo iterativo alla base del CSM. Tali procedure sono basate sugli stessi concetti e relazioni matematiche, ma variano o per lo sviluppo analitico o per le costruzioni grafiche utilizzate. Ciascuna procedura adotta un diverso criterio per la stima della posizione Pi=[api,dpi] di primo tentativo del PP. Tuttavia l’approssimazione bilineare dello spettro di capacità viene caratterizzata in tutti e tre i casi con lo stesso metodo. In particolare si assume: (a) rigidezza elastica pari alla rigidezza iniziale; (b) passaggio del ramo post-elastico per il punto Pi; (c) equivalenza di tipo energetico in corrispondenza dello spostamento massimo. La risposta inelastica richiesta (IDRS) viene approssimata attraverso gli spettri elastici lineari ad elevato smorzamento. In particolare il rapporto di smorzamento equivalente è determinato attraverso la relazione:
                                     ξ*eq = ξ0 + k × ξeq                            (22)
in cui ξ0=5% rappresenta lo smorzamento del sistema bilineare equivalente in campo elastico, ξeq è lo smorzamento viscoso equivalente allo smorzamento isteretico e k è un opportuno coefficiente correttivo. Sostituendo nella (19) le espressioni di ED e ES relative ad un sistema a comportamento bilineare si ottiene:
                              ξeq = 63,7 × (aydpi-dyapi)/(apidpi)                (23)
essendo dy e ay le coordinate della soglia di prima plasticizzazione del BCS, ed avendo espresso ξeq come percentuale dello smorzamento critico. La relazione (23) fornisce una stima sufficientemente accurata dello smorzamento viscoso equivalente
per sistemi con cicli d’isteresi stabili e per ξeq<30%. Applicato a strutture non particolarmente duttili come quelle in c.a. tende invece a sovrastimare l’effettivo smorzamento strutturale. Per considerare tale effetto nella (22) viene introdotto il fattore k di correzione, che dipende dalla tipologia del sistema resistente e dalla durata del sisma. L’ATC-40 prevede tre categorie di comportamento per ciascuna delle quali fornisce il diagramma di variazione di k con ξeq  (Tab.1). Il valore massimo di k passa da 1 per il comportamento di tipo A (cicli d’isteresi stabili), a 1/3 per il tipo C (cicli d’isteresi con degrado), a 2/3 per il tipo B (intermedio tra il tipo A e il tipo C). Per la definizione dell’EDRS corrispondente allo smorzamento ξ*eq si utilizza la schematizzazione proposta da Newmark – Hall.[11]  che prevede la divisione dello spettro in tre regioni: la zona ad accelerazione costante (acceleration sensitive region - ASR) per T<Tc, la zona a pseudo-velocità costante (velocity sensitive region - VSR) per Tc<T<Td, e la zona a spostamento costante (displacement sensitive region - DSR) per T>Td. I valori dei periodi di transizione ed i fattori di amplificazione da applicare nelle diverse zone (rispettivamente aA, aV e aD) variano in funzione del segnale accelerometrico. L’interpolazione dei dati relativi a segnali registrati su terreno compatto forniscono le seguenti espressioni:
                                                            aA(x)=3.21-0.68 × Inx
                                                            aV(
x)=2.31-0.41 × Inx                         (24)
                                    aD(x)=1.82-0.27 × Inx
essendo x il rapporto di smorzamento espresso in percentuale. L’EDRS corrispondente allo smorzamento ξ*eq viene costruito moltiplicando le ordinate dello spettro elastico corrispondente allo smorzamento del 5% per un opportuno fattore di riduzione SR. In particolare dalle (24) si ottiene:
                                 SRA = aA(x*eq)/ aA (x = 5%)                    (25) 
                                 SR
V =
aV(x*eq)/ aV (x = 5%)                    (26)
                                 SR
D =
aD(x*eq)/aD (x = 5%)                    (27)

                            Tabella 1. Valori del fattore di correzione k

3.2.1 Procedura A

     La procedura A può essere sintetizzata nelle seguenti fasi operative:
1. Costruzione dello spettro di risposta elastico con smorzamento del 5%.
2. Trasformazione della curva di capacità (CC) in spettro di capacità (CS) nel formato ADRS.
3. Individuazione della posizione Pi = [dpi,api] di primo tentativo del PP attraverso il criterio dell’uguaglianza degli spostamenti. Tale punto viene individuato sul CS in corrispondenza dello spostamento dpi definito dal punto d’intersezione tra la retta corrispondente al periodo elastico e l’EDRS relativo a x=5%.
4. Caratterizzazione dell’approssimazione bilineare dello spettro di capacità (BCS) valutata adottando uno spostamento massimo pari allo spostamento di tentativo dpi.
5. Calcolo del periodo Teq e dello smorzamento viscoso equivalente x*eq attraverso le (21),(22).
6. Calcolo dei fattori di riduzione delle ordinate spettrali definiti dalle (25),(27) e costruzione dell’EDRS corrispondente a x*eq.
7. Confronto nel piano (Sa,Sd) tra lo spettro di domanda (EDRS) e lo spettro di capacità (BCS).

Se l’intersezione Pj = [dpj,apj] delle due curve coincide con il punto Pi di primo tentativo con la prescritta tolleranza (ossia|dpj-dpi|/dpj £ x) allora Pi rappresenta proprio il PP e di è lo spostamento richiesto sotto sisma. In caso contrario si itera il procedimento a partire dallo step 4 adottando Pj come posizione di nuovo tentativo.
    Numerose sono le approssimazioni insite nell’applicazione del CSM secondo l’ATC-40. In primo luogo si assume che la distribuzione delle forze laterali sia fissata durante l’analisi, ed assunta affine alle azioni di progetto, ovvero alla prima forma modale elastica. S’ipotizza inoltre che la risposta sismica del sistema MDOF sia ben approssimata da quella del sistema SDOF equivalente, e che l’analisi non lineare di tale sistema sia sostituibile da una sequenza di analisi lineari condotte su sistemi equivalenti ad elevato smorzamento. Si approssima infine lo spettro di capacità (CS) prima con un legame bilineare, e poi con uno viscoelastico equivalente, anche se in realtà non esiste alcun principio fisico che giustifichi l’esistenza di una relazione stabile tra l’energia di dissipazione isteretica e lo smorzamento viscoso equivalente, specie per sistemi altamente inelastici. Di conseguenza la procedura di tipo A può presentare due ordini di problemi: il primo relativo alla convergenza, il secondo all’accuratezza della soluzione. Infatti tale procedura può non convergere in alcuni casi reali. Inoltre la soluzione trovata nei casi in cui converge può risultare non molto accurata sia rispetto ai risultati dell’analisi non lineare timehistory del sistema SDOF equivalente, sia rispetto all’analisi dinamica non lineare del sistema spaziale (NDA).

3.2.2 Procedura B

     La procedura B adotta opportune ipotesi semplificative sulla forma del legame bilineare. In particolare si assume che la rigidezza elastica, la rigidezza post-elastica e la soglia di plasticizzazione siano indipendenti dal valore dello spostamento massimo. Tali ipotesi consentono di correlare direttamente lo smorzamento viscoso equivalente a x*eq allo spostamento massimo dpi e semplificano notevolmente l’individuazione del PP.
La procedura B si articola nelle seguenti fasi:

1. Costruzione dell’EDRS per x=5%.
2. Trasformazione della CC in CS.
3. Valutazione degli EDRS corrispondenti a valori dello smorzamento x*eq  compresi tra il 5% ed il massimo consentito per la tipologia strutturale considerata (40% per il tipo A, 29% per il tipo B, 20% per il tipo C).
4. Caratterizzazione dell’approssimazione bilineare dello spettro di capacità. I parametri di tale legame vengono valutati con riferimento al punto P* = (d*,a*) del CS avente lo stesso spostamento del punto d’intersezione tra la retta corrispondente al periodo elastico e l’EDRS per x=5% (criterio di uguaglianza degli spostamenti). Nell’ipotesi che tali parametri siano costanti nel corso dell’analisi l’eq.(22) definisce una relazione biunivoca tra lo spostamento dpi e lo smorzamento  x*eq.
5. Determinazione dei valori di x*eq relativi a spostamenti crescenti compresi in un intorno del punto P*. In particolare per un generico punto Pj = [dpj,apj] del ramo post-elastico del BCS si ha:
                                                                  (28)
Esplicitando apj nell’eq.(28) e sostituendo nella (22) si ottiene la relazione seguente:
                                                        (29)
che consente di correlare biunivocamente il valore dello spostamento dpj di tentativo (e quindi della duttilità mj=dpj/dy) e lo smorzamento x*eq.
6. Per ciascun valore di dpj si determinano Teqx*eq  rispettivamente attraverso le eqq.(21),(29) e si disegna il punto [d(Teq,x*eq);a(Teq, x*eq)].
7. I punti ottenuti per valori crescenti dello spostamento dpj vengono uniti da segmenti rettilinei. L’intersezione tra la linea così ottenuta e lo spettro di capacità rappresenta il PP.

3.2.3 Procedura C

     La procedura C si basa su un metodo grafico non iterativo che stima in modo approssimato la posizione del PP.
1. Costruzione dell’EDRS per x=5%.
2. Trasformazione della CC in CS.
3. Valutazione degli EDRS per valori di x*eq compresi nell’intervallo prima definito.
4. Individuazione del punto Pj = [dpj,apj] del CS corrispondente ad uno spostamento dpi assunto pari a 1.5·dpe, essendo dpe il valore fornito dal metodo dell’uguaglianza degli spostamenti.
5. Caratterizzazione del BCS.
6. Valutazione della duttilità mi=dpi/dy e del rapporto tra la rigidezza post-elastica e quella elastica a = [(api/ay)-1]/[(dpi/dy)-1].
7. Calcolo dello smorzamento viscoso equivalente x*eq  tabellato in accordo con la (29) in funzione di m e di a e al variare della tipologia strutturale (ATC-40 tabb.8.5-8.7)
8. Si disegnano: la retta corrispondente alla rigidezza elastica (linea 1) e quella corrispondente alla rigidezza secante nel punto Pi (linea 2).
9. Si disegna la retta (linea 3) passante per il punto d’intersezione della linea 1 con l’EDRS per  x=5% e per il punto d’intersezione tra la linea 2 e l’EDRS relativo al valore di x*eq   fornito allo step 7.
10. L’intersezione Pj tra la linea 3 ed il CS fornisce un’approssimazione della posizione del PP.

                                  Figura 3. Procedura A (ATC-40)

                                       Figura 4. Procedura B (ATC-40)

                                      Figura 5. Procedura C (ATC-40)

3.3. METODO DEL COEFFICIENTE DI SPOSTAMENTO (FEMA 273)

     Il metodo del coefficiente di spostamento (Displacement Coefficient Method – DCM) si basa su una procedura numerica per il calcolo dello spostamento richiesto che non prevede la conversione della curva di capacità in coordinate spettrali. Tale metodo è applicabile nel caso di edifici regolari, e nell’ipotesi che siano trascurabili sia gli effetti torsionali che il contributo dei modi di vibrare più elevati. La procedura si basa sulle seguenti fasi operative:
1. Costruzione dell’approssimazione bilineare della curva di capacità. Il procedimento impiegato differisce da quello proposto nell’ATC-40. Il limite elastico viene infatti definito dall’intersezione delle rette corrispondenti rispettivamente alla rigidezza elastica Kel e alla rigidezza post-elastica Kpe. La rigidezza post-elastica si ottiene direttamente interpolando i punti della curva di capacità. La rigidezza elastica è pari alla rigidezza secante corrispondente al valore 0.6·Vy del tagliante alla base, essendo Vy l’ordinata della soglia di prima plasticizzazione della CC. La caratterizzazione del legame bilineare equivalente richiede quindi un procedimento di tipo iterativo.
2. Calcolo del periodo equivalente:
                                                                     (30)
essendo, con ovvio significato degli altri simboli, Ki la rigidezza tangente e Ti il periodo fondamentale corrispondente.
3. Calcolo dello spostamento dTOP in sommità attraverso la relazione:
    
                       dTOP = C0C1C2C3 × Sa(Teq,x=5%) × T2eq/4p 2                          (31)

Con riferimento ai parametri che figurano nella (31), C0 è un fattore correttivo necessario per correlare lo spostamento spettrale e lo spostamento in sommità (piano N). Il valore di tale coefficiente può essere desunto (FEMA-273, tab.3-2) in funzione del numero di piani. In alternativa esso può essere assunto pari alla componente all’ultimo piano del fattore di partecipazione modale relativo al primo modo di vibrare PF1(N), o al vettore di forma rappresentativo della deformata strutturale in corrispondenza del PP. Il parametro C1 è un secondo fattore correttivo che correla il valore del massimo spostamento inelastico atteso con lo spostamento derivante dall’analisi elastica lineare. Si assume:

                         C1=1.0                        per Teq ³ Tc                       (32)
                         C1=[ 1.0+(R-1)Tc/Teq] /R per Teq<Tc

essendo Tc il periodo caratteristico dello spettro di risposta definito dal passaggio dal tratto ad accelerazione costante al tratto a pseudo-velocità costante dello spettro di Newmark & Hall. Il coefficiente R esprime invece il rapporto di resistenza inelastica richiesta definito da:
                                                                        (33)
Il parametro C2 è un fattore che tiene conto della forma dei cicli d’isteresi ed è tabellato in funzione del livello di performance, del periodo e della tipologia strutturale (FEMA-273, tab. 3-1). Infine il parametro C3 tiene conto dell’incremento dello spostamento prodotto dagli effetti del secondo ordine. In presenza di un ramo post-elastico con pendenza positiva C3 vale 1, altrimenti è dato da:
                                                                              (34)
            
3.4. METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITÀ MODIFICATO (MCSM)

     Il MCSM[5] combina insieme il CSM[2]  ed il metodo N2 proposto da Faifar et al.[12] per la valutazione del danno sotto sisma di edifici in c.a. La capacità della struttura è rappresentata dal CS nel formato ADRS. Tale spettro viene modellato attraverso un legame elasto-plastico equivalente, nell’ipotesi che la rigidezza elastica sia pari alla rigidezza secante relativa al 60% della soglia di scorrimento plastico Vy e valutando tale soglia attraverso la condizione di minimo scarto.
     La richiesta sismica è rappresentata dagli spettri inelastici IDRS. Tali spettri non vengono valutati direttamente attraverso l’analisi dinamica del sistema SDOF, ma indirettamente a partire  dagli spettri di risposta EDRS. In particolare le coordinate [Sa;Sd] dello spettro IDRS e [Sae;Sde] dell’ EDRS sono legate dalle relazioni:

                                       Sa = Sae/Rm; Sd = m × Sde/Rm                        (35)

                                Sde = Sae × T2/4p2; Sd = p × Sa × T2/4p2               (36)

essendo m la duttilità, T il periodo del sistema SDOF equivalente e Rm il fattore di riduzione per effetto della capacità di dissipazione isteretica in strutture duttili. Esistono in letteratura diverse espressioni del fattore di riduzione Rm. In questo lavoro è stata utilizzata la formulazione proposta da Vidic et al.[13]  che è di facile utilizzo nell’ambito del CSM ed applica la regola dell’uguaglianza degli spostamenti nel campo dei periodi medioalti. In particolare valgono le seguenti relazioni tarate su base statistica in presenza di un moderato incrudimento (rapporto di strain-hardening pari al 10%) e di uno smorzamento proporzionale alla massa del 5%:

                                   Rm = (m-1)T/T0 + 1   per  T £ T0                    (37)
                                   Rm = m                    per   T ³ T0                   (38)

Il periodo di transizione T0 dipende dalla duttilità richiesta m e dal periodo caratteristico del terremoto Tc attraverso la seguente relazione:

                                       T0 = 0.65m0.3 × Tc £ Tc                                     (39)

Un’espressione più semplice del fattore Rm può essere ottenuta fissando T0=Tc, la qual cosa è conservativa nel campo dei bassi periodi e per valori ridotti della duttilità. Lo spostamento richiesto calcolato in tale ipotesi corrisponde al valore fornito dal DCM. Il fattore Rm dipende dal periodo caratteristico del terremoto che è funzione del valore incognito della duttilità richiesta alla struttura. Occorre pertanto applicare un’opportuna procedura iterativa. In primo luogo si individua il punto d’intersezione Pi = [dpi;api] tra la retta corrispondente al periodo elastico Tel e l’EDRS per x=5%, che rappresenta la risposta sismica del sistema SDOF elastico equivalente.
- Se tale intersezione si verifica per valori dell’ordinata api inferiori rispetto alla soglia di scorrimento plastico ay allora l’input sismico considerato sollecita la struttura in
campo elastico o con plasticizzazioni localizzate e di ridotta estensione.
- In caso contrario, la risposta inelastica può essere caratterizzata scalando la risposta elastica attraverso il fattore di riduzione Rm definito dalle (37) e (38). In particolare:
- se Tel>T0 vale la regola dell’uguaglianza degli spostamenti. Di conseguenza la duttilità richiesta è pari al fattore di riduzione (ossia m = Rm) determinato come rapporto tra l’ordinata api e la soglia di scorrimento plastico ay del sistema bilineare equivalente. 
- se Tel<T0 ed il valore della duttilità richiesta è basso (e quindi T0<Tc) il fattore Rm dipende dal periodo T0 ed occorre applicare una procedura iterativa per il calcolo della risposta. Il valore di primo tentativo è Rm=api /ay e la corrispondente duttilità richiesta vale:
                                                                         (40)
Utilizzando l’eq.(39) si può calcolare nuovamente il periodo T0 e controllare che risulti ancora Tel<T0. Se ciò accade si valuta lo spostamento richiesto d=Sd =m ·ay e si calcola il valore di Rm di nuovo tentativo. La procedura iterativa termina quando il fattore di riduzione così calcolato uguaglia (con la prescritta tolleranza) il valore trovato al passo precedente.

                    Figura 6. Metodo dello Spettro di Capacità modificato


3.5. PROCEDURA EC8

     Il recente Final PT Draft (Stage 34) dell’Eurocodice 8[8] introduce una procedura per la determinazione dello spostamento basata sull’analisi statica non lineare e sullo spettro di risposta elastico. Il sistema SDOF equivalente viene caratterizzato attraverso le relazioni:

                                  F= V/G1;              d= dTOP /G1                                 (41)

essendo G1 il coefficiente di partecipazione del primo modo di vibrare scalato in modo che la componente all’ultimo piano sia pari a 1. La curva di capacità viene approssimata attraverso un legame elasto-plastico. Tale legame viene caratterizzato individuando la soglia di snervamento Fy in corrispondenza alla condizione di meccanismo ed imponendo un’equivalenza di tipo energetico. Tale approccio conduce alla seguente espressione dello spostamento al limite elastico:
                                                                                (42)
essendo dm e Em rispettivamente lo spostamento e l’energia corrispondenti alla formazione del meccanismo. Il periodo del sistema SDOF equivalente è definito dalla relazione:
                                                                               (43)
essendo m* = S Ni=1 mi × Øi  a massa equivalente. È facile verificare con qualche passaggio che la (43) coincide formalmente con la (18). Per effetto dei criteri impiegati per la definizione del legame elasto-plastico equivalente la (43) fornisce in genere valori più elevati del periodo rispetto alle altre NSP. Lo spostamento dpp del PP viene determinato facendo uso delle relazioni:
              
essendo de lo spostamento richiesto al sistema SDOF di periodo T e smorzamento viscoso x=5%, qu è il rapporto tra le accelerazioni relative rispettivamente al sistema indefinitivamente elastico e al sistema elasto-plastico, dato da:

                                        qu = Sam* / Fy                                         (46)

4. APPLICAZIONI NUMERICHE

     I metodi semplificati per la valutazione della risposta non lineare (NSP) sono stati applicati ad alcuni casi concreti. L’analisi è stata condotta considerando un edificio regolare in c.a. a 6 impalcati[14]. In particolare, sono fissate l’altezza di interpiano (h=3.0 m), le luci (L=5.0 m) le sezioni trasversali delle travi ed il rapporto di rastremazione dei pilastri r=D hP/hP=0.10. Si è ipotizzato inoltre che siano costanti ad ogni piano sia la sezione trasversale dei pilastri che il rapporto tra l’inerzia dei pilastri e quella delle travi, e che il lato minore dei pilastri sia uguale alla base delle travi (bp=bT=b). Nelle ipotesi poste le caratteristiche geometriche della struttura sono correlabili a due soli parametri indipendenti: il periodo T1=0.60 sec del primo modo di vibrare ed il parametro r=max(rx;ry)=1.5 essendo rx=Ipx/IT e ry=Ipy/IT i rapporti tra le inerzie dei pilastri rispettivamente attorno agli assi X e Y e l’inerzia delle travi. Con riferimento ai materiali strutturali è stato impiegato acciaio S500 e calcestruzzo di classe C25/30.
     L’edificio è stato progettato in accordo con gli Eurocodici 2 e 8, considerando la classe di duttilità più elevata ed un terreno di tipo A. In particolare il dimensionamento delle armature è stato effettuato mettendo a punto uno specifico codice di calcolo che applica i criteri di progetto dell’EC8 ai risultati dell’analisi dinamica elastica multimodale. La risposta inelastica è stata valutata attraverso analisi di tipo sia statico che dinamico condotte su un modello spaziale con il codice di calcolo DRAIN-3DX[15]. In entrambi i casi è stato considerato un modello non lineare a fibre, che consente di evitare gli errori connessi alla definizione della lunghezza delle cerniera nei modelli a plasticità concentrata, e di considerare separatamente il comportamento post-elastico dell’acciaio e del calcestruzzo confinato[14]. L’analisi è stata effettuata nell'ipotesi di comportamento elastico a taglio e a torsione, trascurando i fenomeni di degrado di rigidezza e di resistenza dovuti al pull-out, ed adottando un fattore di scarico pari a 0.5. Lo smorzamento
strutturale complessivo dell’edificio è stato infine modellato alla Rayleigh caratterizzando i coefficienti a e b a partire dai rapporti di smorzamento modale dei primi due modi di vibrare assunti pari al 5%. L’analisi numerica è stata condotta considerando 6 diversi segnali accelerometrici, di cui 1 simulato e 5 storici opportunamente scalati in modo da avere accelerazione di picco al suolo pari a 0.50g (fig.7). Tali segnali presentano differenze apprezzabili sia in termini di lunghezza tR che di durata della parte stazionaria, che di contenuto energetico (espresso dal total power (TP) valutato a partire dal corrispondente spettro di Fourier). La media delle ordinate spettrali dei 6 accelerogrammi scelti ha un andamento affine allo spettro elastico tipo 1 proposto nella versione prEN dell’EC8 per terreno di tipo A, ma con ordinate più elevate nel campo dei periodi medioalti.
In fig.8, è riportato l’andamento lungo l’altezza degli spostamenti laterali massimi valutati attraverso le diverse procedure per l’analisi statica non lineare (NSP). Nei casi esaminati la procedura ATC-A è sempre convergente.

Figura 7. Spettri di risposta e parametri caratteristici dei segnali accelerometrici

     I valori ottenuti applicando la ATC-C e limitando a 2 il numero delle iterazioni sono leggermente più elevati di quelli forniti dalla ATCA. Se invece si porta a termine il procedimento iterativo e questo converge, le due procedure forniscono valori coincidenti. In particolare, la convergenza viene raggiunta per tutti gli spettri ad eccezione di quello di Bevagna. Tale situazione deriva dalla posizione del PP che si trova nella zona di passaggio tra la regione dell’EDRS ad accelerazione costante e quella a pseudo-velocità costante. In tal caso piccole variazioni dello spostamento di tentativo comportano sensibili variazioni sia dello smorzamento viscoso equivalente, sia dell’accelerazione spettrale corrispondente.
     I risultati ottenuti applicando la procedura ATC-B non soddisfano i criteri interni di accuratezza prescritti nell’ATC. Tale effetto deriva da due cause fondamentali: 1) l’approssimazione introdotta assumendo che la pendenza postelastica sia indipendente dallo spostamento massimo; 2) il criterio di uguaglianza degli spostamenti impiegato per la scelta dello spostamento iniziale.
     Gli spostamenti ottenuti sono stati confrontati con i valori di picco desunti dall’analisi dinamica time-history (NDA) dell’intero edificio. Tale analisi evidenzia che il segnale accelerometrico di Northridge sollecita la struttura in campo elastico, mentre il terremoto di Tolmezzo determina plasticizzazioni localizzate e di ridotta entità. I segnali di Colfiorito, Bevagna, Gubbio e l’accelerogramma simulato (che presentano valori più elevati del TP) determinano invece profonde ed estese plasticizzazioni negli elementi strutturali. Tale differente comportamento è confermato dal confronto tra il BCS e il Demand Response Spectrum (DRS) nel piano Sa-Sd. Infatti sia applicando la procedura ATC-A che il MCSM il PP si trova in prossimità della soglia di plasticizzazione sia per lo spettro di Northridge, che per quello di Tolmezzo. Negli altri casi l’intersezione tra il BCS e il DRS si verifica in campo plastico. Rispetto ai valori forniti dalla NDA, gli errori più elevati si ottengono per le procedure ATC-40 (errore massimo del 60%) sotto l’input di Bevagna, per il MCSM (errore del 58.4%) e per l’EC8 (errore del 90.3%) sotto l’input di Colfiorito, e per le FEMA (errore del 61.8%) sotto l’input di Northridge. Per l’ATC sotto l’input di Bevagna e per il MCSM sotto l’input di Colfiorito tale risultato deriva dalla posizione del PP che si trova su un ramo del DRS quasi parallelo al tratto plastico del BCS. Per l’EC8 sotto l’input di Colfiorito e per le FEMA sotto l’input di Northridge tale sovrastima dipende invece dal valore particolarmente elevato dell’ordinata spettrale in corrispondenza del periodo fondamentale equivalente. Negli altri casi il MCSM tende a sovrastimare il valore dello spostamento di picco, con valori compresi tra il 9.1% (Tolmezzo) e il 24.7% (Northridge). L’ATC-A sovrastima lo spostamento di picco (valori compresi tra il 6.6% e l’11.1%) tranne che nel caso dell’input di Tolmezzo.

Figura 8. Spostamenti massimi di piano al variare del metodo di analisi e del segnale accelerometrico

Figura 9. Procedura ATC-A ; Metodo dello spettro di capacità modificato (MCSM)

                         Tabella 2. Spostamento massimo in sommità

Tale risultato dipende dai criteri adottati per la definizione dell’approssimazione bilineare equivalente che tendono a sottostimare lo spostamento al limite elastico. Di conseguenza vengono sovrastimati sia la duttilità richiesta che lo smorzamento viscoso equivalente e, quindi, i fattori di riduzione dell’EDRS (x=5%) risultano più elevati. La procedura EC8 tende a sovrastimare sensibilmente la risposta. Tale effetto è legato al valore del periodo T del sistema SDOF equivalente che risulta notevolmente più elevato sia del periodo di transizione Tc, sia del periodo elastico valutato nelle altre procedure. Le relazioni proposte si traducono pertanto nell’applicazione del Metodo dell’uguaglianza degli spostamenti, ed il PP si trova in una zona dello spettro elastico (Sd-T) in cui i segnali considerati presentano ordinate più elevate. I risultati ottenuti con il Metodo del Coefficiente di Spostamento (FEMA 273) evidenziano infine una forte dipendenza dalle caratteristiche dello spettro di risposta elastico, con valori che possono discostarsi notevolmente da quelli della NDA. Del resto l’eq.(31) applicata nel caso Teq<Tc esprime l’uguaglianza tra lo spostamento del sistema bilineare e lo spostamento del sistema elastico amplificato mediante opportuni fattori correttivi.

5. CONCLUSIONI

     Sono state descritte in dettaglio ed utilmente applicate diverse procedure per l’analisi statica non lineare (NSP) di edifici in c.a. basate sull’analisi di push-over, sulla definizione del sistema SDOF equivalente e sull’approssimazione bilineare dello spettro di capacità. In particolare sono state considerate sia procedure iterative basate sul confronto tra la capacità della struttura e le caratteristiche inelastiche richieste sotto sisma (ATC-40, CSM), sia NSP già inserite in documenti prenormativi
che forniscono un’espressione forfettaria dello spostamento di picco (FEMA-273, EC8). L’analisi è stata condotta considerando un modello non lineare a fibre per la struttura spaziale, e prendendo in esame un edificio regolare progettato con gli Eurocodici soggetto a 6 diversi input sismici. I risultati forniti dalle procedure statiche equivalenti sono stati infine confrontati con quelli ottenuti dall’analisi dinamica non lineare NDA al passo.Nei casi esaminati procedura ATC-A converge in ogni caso, mentre la ATC-C sotto l’input di Bevagna non converge se iterata. I problemi di convergenza sono legati alla collocazione del punto di performance tra zona ad accelerazione costante e quella pseudo-velocità costante dello spettro di risposta.
In nessuno dei casi esaminati vengono soddisfatti i criteri interni di accuratezza prescritti per validità dei risultati della procedura approssimata ATC-B. Le NSP basate sul confronto tra capacità e richiesta inelastica (ATC-40, MCSM) forniscono
una stima della risposta dinamica più accurata meno sensibile alle variazioni sia della forma dello spettro, sia dei parametri dell’approssimazione bilineare equivalente.
Apprezzabili variazioni (sovrastima massima del 60%) rispetto alla NDA si riscontrano: 1) per valori particolarmente elevati dell’ordinata spettrale corrispondenza del periodo fondamentale equivalente; 2) in presenza di rami quasi paralleli dello spettro di capacità e di quello di richiesta corrispondenza del punto di performance. Il confronto con i risultati forniti dalla NDA evidenziano infine la possibilità di impiegare utilmente tali procedure (ed in particolare MCSM) non solo per la stima degli spostamenti picco, ma anche per una valutazione qualitativa (risposta elastica, plasticizzazioni localizzate e ridotta entità, plasticizzazioni diffuse ed estese) del comportamento strutturale complessivo.

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