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Estratto dagli atti del 14° Congresso C.T.E. Mantova, 7-8-9 Novembre 2002

SULLO STATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIO
PER ELEMENTI IN C.A. INFLESSI E PRESSOINFLESSI
SUGGERIMENTI PER UNA VERIFICA SEMPLIFICATA


EMIDIO NIGRO, NICOLA SALERNO
Dipartimento di Ingegneria Civile
Università degli Studi di Salerno

SUMMARY

     
In the paper the topic concerning the stress check in service conditions is examined with reference to the Italian and European code provisions. First of all, the fields of the main parameters, in which the service stress control leads to a more severe check in respect to the ultimate safety check, are defined with reference to members subjected to bending or combined bending and axial force. Moreover, a useful simplified procedure is suggested, which allows to perform only the safety check at the ultimate limit state observing simultaneously also the stress limitation in the service conditions.


1. INTRODUZIONE

      Il metodo semiprobabilistico agli stati limite, secondo le indicazioni dell’Eurocodice2 [2] e delle norme tecniche per le strutture in calcestruzzo armato (D.M. 09/01/96) [1], richiede sia la verifica di resistenza delle membrature allo stato limite ultimo, sia la verifica di limitazione delle tensioni normali in presenza delle combinazioni di carico di servizio.
      L’Eurocodice2 prevede tale verifica solo in ambiente aggressivo, mentre la normativa nazionale la prescrive per le varie “classi di esposizione” della struttura, sia pure con limiti tensionali differenti.
      Allo stato attuale il quadro normativo italiano consente, inoltre, anche la verifica secondo il metodo delle tensioni ammissibili, nell’ambito del quale, come è noto, la verifica di elementi inflessi e presso-inflessi consiste in una verifica di limitazione di tensioni in presenza di carichi di esercizio.
      La conservazione delle verifiche in esercizio rappresenta un tema molto dibattuto nella comunità scientifica nazionale ed internazionale, come espresso sinteticamente nella nota “Le verifiche
tensionali in esercizio”[11], presentata alle Giornate AICAP 1997 dai componenti del Gruppo di studio nell’ambito della Commissione CNR per le norme sulle opere in cemento armato e nella nota [10] di Greco e Pecce.
      Nel presente lavoro, con riferimento all’attuale quadro normativo, si esamina la problematica delle verifiche tensionali in esercizio con un duplice obiettivo.
      In primo luogo, relativamente ad elementi inflessi e pressoinflessi, si individuano i campi dei parametri significativi nei quali le verifiche tensionali risultano più restrittive delle verifiche di resistenza allo stato limite ultimo.
      In secondo luogo, si forniscono utili indicazioni operative che consentono di effettuare la sola verifica di resistenza allo stato limite ultimo rispettando nel contempo anche le limitazioni tensionali in esercizio.


2. LA VERIFICA DI LIMITAZIONE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIO NEL QUADRO NORMATIVO ATTUALE

      La verifica di limitazione delle tensioni in esercizio consiste, come è noto, nel controllare che sc,max < sc,lim e ss,max < ss,lim, essendo sc,lim e ss,lim i limiti tensionali rispettivamente per il calcestruzzo e l’acciaio.
      La normativa italiana (D.M.09/01/96)[1], prevede le verifiche tensionali a seconda della classe di esposizione ambientale in cui si trova la struttura ed in relazione alla combinazione di carico.
      I limiti tensionali per il calcestruzzo e l’acciaio sono riportati nella Tabella 1.


Tabella 1. Limiti tensionali per lo s.l.s. nel calcestruzzo e acciaio secondo il DM.09/01/96.

      L’EC2, invece, prevede le verifiche solo per quelle strutture ricadenti in ambiente molto aggressivo, i cui limiti tensionali sono riportati nella Tabella 2.
      Mettendo a confronto i valori delle due normative si nota che la N.I. prescrive e considera importante la verifica in tutte le tipologie di ambienti definiti; inoltre, i limiti tensionali indicati per l’ambiente molto aggressivo sono più restrittivi rispetto a quelli dell’EC2.


Tabella 2. Limiti tensionali per lo s.l.s. nel calcestruzzo e acciaio secondo l’ EC2.

      A titolo di esempio si riportano per una sezione rettangolare a doppia armatura (vedi figura 1) i domini di resistenza adimensionali in pressotensoflessione allo s.l.u. e allo s.l.s., opportunamente scalati in funzione del rapporto medio gmed tra i carichi di progetto allo s.l.u. ed i carichi di servizio (vedi Figura 2a,b).


Figura 1 Sezione rettangolare a doppia armatura allo S.L.U.

     
Dal loro esame si evince che esistono campi di valori (n , m) in cui il dominio allo s.l.s. è interno a quello allo s.l.u.; in tali casi lo stato limite di tensioni in esercizio costituisce una verifica più restrittiva rispetto alla verifica di resistenza allo stato limite ultimo (vedi Figura 2a,b).
      Dalle figure si evince anche che tale evenienza è più accentuata all’aumentare della percentuale meccanica di armatura ws = As / bhf'cd a causa del migliore sfruttamento allo s.l.u. della parte
compressa di calcestruzzo e dell’armatura
compressa.
      La Figura 2c riporta, invece, i domini di resistenza allo s.l.u. e quelli dedotti applicando il metodo delle tensioni ammissibili: in tal caso, il fenomeno sopra descritto è ancora più evidente a causa dei limiti tensionali più contenuti.


Figura 2a,b,c Domini limite (n , m) S.L.U.- S.L.S. (combinazione rara e quasi permanente; S.L.U.-T.A.

      I domini sopra citati si riferiscono all’ipotesi che sforzi normali e momenti crescano
proporzionalmente dalle condizioni di servizio a quelle ultime.
      Nei paragrafi seguenti con riferimento ad elementi inflessi e pressoinflessi si confrontano iì momenti resistenti ottenuti dalla verifica delle tensioni in esercizio e dalla verifica allo stato limite ultimo, opportunamente “scalati” in funzione del rapporto tra i carichi di progetto allo stato limite ultimo ed i carichi di servizio e facendo variare i principali parametri influenti quali: la percentuale di armatura tesa e compressa, le caratteristiche dei materiali, il rapporto tra i carichi accidentali ed i carichi permanenti.


3. ELEMENTI SOGGETTI A FLESSIONE SEMPLICE

3.1 CONFRONTO TRA I MOMENTI RESISTENTI ALLO STATO LIMITE ULTIMO ED ALLO STATO LIMITE DI SERVIZIO

      Si consideri una sezione rettangolare a doppia armatura di base b, altezza h, altezza utile d e copriferro d’ ; si definiscono, inoltre, le quantità:
- asse neutro adimenzionalizzato rispetto l’altezza utile d della sezione, x = yc / d;
- rapporto tra armatura compressa e tesa,  = ws / ws ;
- copriferro adimensionalizzato rispetto all’altezza utile d, d' = d' / d ;
- resistenze caratteristiche del calcestruzzo (fck) e dell’acciaio (fyk);
- resistenze di progetto dei materiali (f'cd ; fsd).
      Si utilizzano come legame costitutivo del calcestruzzo il legame parabola-rettangolo per la definizione dei coefficienti y e g, ed il legame elastico-perfettamente plastico per l’acciaio; per i coefficienti di sicurezza del calcestruzzo e dell’acciaio si considerano sia quelli definiti dal D.M. 09/01/96 che quelli dell’EC2, rispettivamente pari a:

      g
c = 1.6 , gs = 1.15 (D.M. 09/01/96)
      gc = 1.5   gs  = 1.15 (EC2). 


      Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione, espresse in termini adimensionali, sono le seguenti:

      nu = Nu / (bd · f'cd) = · x + ws · s' - ws · s = 0              (1)

      mu = Mu / (bd2f'cd) = xY · (1-l · x) + ws · s' · (1 - d')        (2)


nelle quali s = ss / fsd e s' = s's rappresentano le tensioni adimensionali dell’acciaio.
      Assegnato l’asse neutro di progetto x allo s.l.u., si deducono i valori di progetto delle percentuali meccaniche di armatura tesa (ws) e compressa (w
s) mediante le seguenti relazioni:

      ws = Yx / (s - rs')                     (3)        

      ws = r · ws                                      (4)                                                        


      Il momento ultimo adimensionale si ricava, infine, dalla relazione (2).
      Per il calcolo del momento resistente nelle condizioni di esercizio si assumono le seguente ipotesi di base :
- legame costitutivo elastico lineare dei materiali (cls-acciaio), con il calcestruzzo non resistente a trazione;
- coefficiente di omogeneizzazione n pari a 15 in conformità con le prescrizioni della normativa italiana ed europea.
      Con riferimento alla sezione avente percentuale geometrica di armatura r corrispondente alla percentuale meccanica ws progettata allo s.l.u. :

      r = f'cd / fsd · ws                          (5)

la valutazione del momento massimo in esercizio, corrispondente al raggiungimento delle tensioni limite nei due materiali (calcestruzzo ed acciaio), si ottiene utilizzando le note relazioni della teoria tecnica del c.a.:
- asse neutro :



- momento d’inerzia della sezione parzializzata :



- momenti resistenti del calcestruzzo e dell’acciaio:

Mesc = (sc,lim · les)/(d·xes)              (calcestruzzo)          (8)

Mess = (ss,lim · les)/(nd·(1-xes)        (acciaio)                  (9)


dove sc,lim e ss,lim sono rispettivamente le tensioni limite di verifica in esercizio nel calcestruzzo compresso e dell’acciaio; i limiti tensionali variano in
relazione sia alla combinazione di carico (quasi permanente o rara) che alla normativa tecnica impiegata (D.M.09/01/96; EC2).
      Per poter definire i campi dell’asse neutro di progetto x allo s.l.u. per cui si può ritenere soddisfatta la verifica tensionale in esercizio nel cls e nell’acciaio, si confronta il rapporto tra i momenti resistenti allo s.l.u. ed allo s.l.s con il rapporto tra i rispettivi momenti sollecitanti, definito dalla quantità:

           gmed = (MSd,u/MSd,es)med                      (10)

      Assumendo tale rapporto coincidente con il rapporto tra i carichi allo stato limite ultimo e di esercizio, si ha:

     gmed = (MSd/MSd,es) = (gg · Gk + gq · Qk)/(Gk + y2 · Qk)       (11)

che introducendo il coefficiente c = Qk/Gk pari al rapporto tra le azioni variabili e quelle permanenti, diventa :

       gmed = (gg + g· c)/(1+ y2· c)            (12)

      Come si può osservare dai valori riportati in Tabella 3 il gmed è funzione della combinazione di carico, del coefficiente c e della normativa tecnica (EC2; D.M.09/01/96).
      In particolare si nota che gmed cresce all’aumentare del rapporto c ; ciò equivale a condizioni meno limitative per la verifica tensionale in esercizio quando cresce l’entità dei carichi variabili rispetto a quelli permanenti.


Tabella 3.
Valori del parametro gmed. secondo la N.I. e E.C.2.

      Indicato con Mu / Mes il rapporto tra i momenti resistenti allo s.l.u. ed allo s.l.s., si ha che se (Mu/Mes) < gmed     si è certi dell’automatico soddisfacimento dei limiti tensionali nelle condizioni di esercizio della sezione progettata allo s.l.u.; viceversa per valori di (Mu/Mes) > gmed    è soddisfatta la sola verifica allo stato limite ultimo, ma non quella in esercizio.
      Con riferimento alle relazioni precedentemente riportate (2),(8),(9), il rapporto Mu/Mes si esprime nel modo seguente, considerando rispettivamente la limitazione sul calcestruzzo e sull'acciaio:




      I valori di Mu/Mes sono determinati facendo variare i parametri influenti nell’ambito dei seguenti campi:
- asse neutro a rottura: x = 0.05 ÷ 0.7;
- resistenza dei materiali:
      cls: fck = 20, 25, 30,35, 40 N/mm
      acciaio: fyk=380, 440 N/mm2;
- percentuale di armatura : r = 0 ÷ 0.75;
- copriferro adimensionale: d’= 0,05÷ 0.10.
      I valori assunti dal rapporto Mu/Mes  sono calcolati con riferimento alle limitazioni di tensioni sia della Normativa Italiana che dell’Eurocodice e vengono confrontati con i valori del coefficiente gmed ottenuti assumendo c = 0.5 (cfr. Tabella 3).
      Di seguito sono riportati alcuni grafici che rappresentano l’andamento del rapporto
(Mu/Mes , x).
      In queste figure si individua il punto in cui la curva Mu/Mes interseca la retta limite gmed; l’intersezione corrisponde ad un determinato valore dell’asse neutro, denominato x
lim , che rappresenta il valore limite superiore dell’asse neutro da assumere nel progetto della sezione affinché sia soddisfatta anche la verifica di limitazione delle tensioni in esercizio.

      Figura 3a Campo di verifica tensionale secondo D.M.09/01/96.




Figura 4a'
Campo di verifica tensionale secondo Eurocodice2.



Figura 3b
Campo di verifica tensionale secondo D.M.09/01/96.
     


Figura 4b'
Campo di verifica tensionale secondo Eurocodice2.



Figura 3c
Campo di verifica tensionale secondo D.M.09/01/96.



Figura 4c'
Campo di verifica tensionale secondo Eurocodice2.



Figura 3d
Campo di verifica tensionale secondo D.M.09/01/96.



Figura 4d'
Campo di verifica tensionale secondo Eurocodice2.



      Analizzando i risultati riportati nelle figure 3(a-d) e figure 4(a-d), rispettivamente riferite ad un’analisi secondo i limiti tensionali della N.I. (per ambiente poco o moderatamente aggressivo), e quelli
dell’Eurocodice2 (per ambiente aggressivo), si osserva, come il campo limite di verifica tensionale in esercizio sia influenzato dai seguenti parametri:
- Combinazione di carico (Rara; Quasi permanente);
- Percentuale di armatura compressa/tesa, r = w's / ws
- Classe di resistenza del calcestruzzo, fck ;
- Classe di resistenza dell’acciaio, fyk ;
- Copriferro adimensionale, d' ;
- Normativa tecnica (D.M.09/01/96; E.C.2.).
      Per quanto già accennato in precedenza si può affermare che vi sono alcuni parametri che influenzano in maniera più significativa la determinazione di xlim.
      Partendo dalla combinazione di carico si può dire che, indipendentemente dalla normativa considerata, i campi di verifica più ampi si riscontrano per la combinazione di carico rara ossia xlim.c.r > xlim.c.q.p.; tale risultato è dovuto essenzialmente ai diversi coefficienti di sicurezza parziali delle due combinazioni di carico in esercizio (vedi figure 3(a-d) e 4(a-d)).
      Un parametro geometrico molto influente è la percentuale di armatura e si nota che indipendentemente dalla combinazione di carico e dalla normativa tecnica, al crescere del rapporto di armatura r = w' / w i valori di xlim si riducono; questo effetto è dovuto al fatto che allo s.l.u. è possibile sfruttare anche completamente la
resistenza dell’armatura compressa, che risulta snervata in vari campi dell’asse neutro x, mentre in condizioni di servizio la massima tensione nell’armatura compressa è inferiore al valore h · sc,lim.
      Per quanto riguarda la classe di resistenza del calcestruzzo (fck), si nota che, indipendentemente dalla normativa tecnica, al crescere della resistenza del calcestruzzo (fck) si estende il campo dei valori ammissibili dell’asse neutro di progetto; casi limiti si riscontrano per entrambe le normative per fck=40N/mm2 e fyk=440 N/mm2 (si veda figura 3d e 4d), in cui la curva Mu/Mes non interseca mai la retta limite gmed sia per la combinazione di carico rara che quasi permanente.
      Questo comportamento è dovuto al fatto che al crescere della resistenza del calcestruzzo si ha un migliore sfruttamento delle caratteristiche di resistenza della sezione nelle condizioni di servizio, potendo arrivare in taluni casi alla massima tensione nelle armature compresse.
      Un effetto contrario al precedente è dovuto alla classe di resistenza dell’acciaio: passando da un acciaio fyk=380N/mm2 ad un fyk=440N/mm2 decresce il campo di verifica tensionale ossia (xlim.fyk=3800 > xlim.fyk=4400), in quanto non si sfruttano a pieno le caratteristiche di resistenza dell’acciaio.
      Infine si osservi come le limitazioni sull’asse neutro di progetto dipendono esclusivamente dal calcestruzzo e mai dalla verifica tensionale nell’acciaio, che presenta tra l’altro una curva sempre decrescente al crescere dell’asse neutro da 0.05 a 0.7. Inoltre, per percentuali di armatura r = w's / w
s uguale o maggiore a 0.50 si individua in maniera chiara il punto di snervamento dell’armatura compressa evidenziato nelle figure 3b,3d,4b,4d da un brusco cambio di pendenza della curva Mu/Mes.

3.2 CRITERIO DI PROGETTO COMBINATO STATO LIMITE ULTIMO-STATO LIMITE DI SERVIZIO

      Alla luce dei risultati dell’ampia analisi parametrica effettuata, riportata in forma completa nella nota [12], è possibile determinare relazioni analitiche per i valori limite dell’asse neutro di progetto allo s.l.u. che assicurano anche il
soddisfacimento delle verifiche tensionali in esercizio:

       x <  xlim ® sc < sc,lim , ss < ss,lim              (15)

      Vista la prevalente dipendenza dell’asse neutro limite di progetto xlim dal rapporto di armatura compressa/tesa r e dalla classe di resistenza del calcestruzzo fck, riscontrata nell’analisi condotta, si può pensare di esprimere l’asse neutro limite mediante la seguente relazione lineare:

      xlim = a1 + a2 · (fck - 20) + a3 · r                                              (16)

      La determinazione dei coefficienti a1 ,a2 ed a3 è svolta mediante una regressione lineare secondo il metodi dei minimi quadrati
      Si osservi che per la determinazione dei coefficienti ai i valori di xlim. presi in considerazione sono quelli valutati con le prescrizioni dell’Eurocodice2 per ambiente molto aggressivo, che risultano più restrittivi rispetto a quelli ottenuti con l’utilizzo della N.I. per ambiente poco o moderatamente aggressivo.
      Esplicitando numericamente tali coefficienti, la relazione (16) si riscrive nel seguente modo d’=0.05:

      xlim = 0.3635 + 0.008379 · (fck - 20) - 0.2368 · r                 (17)

      Nella Figura 5 sono rappresentate le rette dell’asse neutro di progetto xlim al variare di r al variare di fck.



Figura 5.
Flessione: rette (xlim. ; r) al variare di fck e per d = 0.05 (Eurocodice2).


      Tale abaco ha una duplice valenza ai fini applicativi: infatti si possono utilizzare le rette di minimo xlim sia nella fase di progetto che in quella di verifica. L’utilità consiste proprio nel poter individuare l’asse neutro limite xlim in funzione della classe di resistenza del calcestruzzo considerato; nei due casi, progettazione o verifica, occorre rispettivamente imporre o controllare che la coppia di valori x - sia situata sempre al disotto o sulla retta limite dell’asse neutro xlim, in funzione del calcestruzzo considerato.
      In sostanza la semplice applicazione dell’abaco di Figura 5 consente di progettare allo stato limite ultimo una sezione inflessa, associando al contempo anche il soddisfacimento delle limitazioni tensionali in esercizio nel calcestruzzo e nell’acciaio.
      Nella figura 6 sono evidenziati i valori di xlim relativi a =0.5 per le varie classi di calcestruzzo considerato.
      Si può trarre una semplice, ma utile, indicazione progettuale: nei casi r = w's / ws < 0,5 ed fck = 20N/mm2 (Rck=25 N/mm2),frequenti nella pratica progettuale, il massimo valore dell’asse neutro di progetto che soddisfa entrambe le verifiche agli stati limite (ultimo e di servizio) è xu @ 0.25; tale valore,
come è noto, assicura anche buone caratteristiche di duttilità alla sezione, ottenendosi in tal modo una ottimale convergenza dei criteri di progetto.


Figura 6. Flessione: valori per = 0.5

      La relazione (17) è valida sia per la verifica secondo la Normativa Italiana in ambiente poco o moderatamente aggressivo, sia per la verifica secondo l’Eurocodice2 (prescritta solo nel caso di ambiente aggressivo).
      Per completare il quadro della N.I. vengono determinati i valori di xlim impiegando i limiti tensionali forniti dal D.M. 09/01/96, riferiti ad ambiente aggressivo.
      I valori di xlim così ottenuti sono interpolati con una formulazione analoga a quella vista in precedenza.

   xlim = 0.3303 + 0.00563 · (fck - 20) - 0.2116 · r           (18)

      Nella figura 7 sono rappresentate le rette di xlim per fck=20 e 40N/mm2 così determinate in confronto alle analoghe per ambiente molto aggressivo relativo all’EC2.
      Si evince un’ulteriore restrizione dei campi dei valori di xlim, per cui si può affermare che le verifiche tensionali in campo flessionale sono più restrittive se si considera la N.I., riferita ad ambienti aggressivi, rispetto all’EC2.
      Altra considerazione importante da fare è quella inerente il tipo di analisi strutturale impiegato nella progettazione.
      Tutte le iterazioni condotte, sino a questo punto, sono state svolte assumendo un’analisi elastico lineare senza ridistribuzione dei momenti.
      Nel caso di un’analisi strutturale non lineare o lineare con ridistribuzione dei momenti possono
aversi sostanziali modifiche, a partire proprio dal coefficiente  gmed. che risulta ulteriormente ridotto.


Figura 7 Flessione: Rette di ( xlim, r )al variare di fck secondo la N.I. e l’EC2 per ambiente molto aggressivo (d' = 0.05)

      Al fine di ottenere dei valori numerici da comparare con i risultati ottenuti, si è considerata una ridistribuzione del momento del 25%, che porta ad una riduzione del gmed, che per l’EC2. vale 1.05 per la combinazione rara ed 1.3695 per quella quasi permanente, mentre per la N.I. è pari a 1.075 ed 1.402, rispettivamente per la combinazione rara e quella quasi permanente (c=0.5).
      Come si può notare i valori così determinati, esaltano ulteriormente le problematiche delle verifiche tensionali in esercizio, determinando valori dell’asse neutro limite xlim più bassi di quelli ottenuti precedentemente con un’analisi elasticolineare senza ridistribuzione dei momenti.
      Volendo quantificare l’incidenza che questo tipo di analisi strutturale ha sulle verifiche tensionali e quindi su xlim, si nota che, per un fck=25 N/mm2, fyk=440 N/mm2, r=0 e d’=0.05, nel caso della N.I. i valori di xlim si riducono da 0.5041 a 0.2854 per la combinazione rara e da 0.4805 a 0.2743 per quella quasi permanente, mentre per l’EC2 si va da 0.4353 a 0.2547 per la combinazione rara e da 0.44164 a 0.2469 per quella quasi permanente.
      Ciò si traduce in un maggiore peso che le verifiche tensionali in esercizio rivestono nella progettazione di sezioni rettangolari allo stato limite ultimo nel caso di un metodo di analisi strutturale diverso da quello elastico lineare senza ridistribuzione dei momenti.


4. ELEMENTI PRESSOINFLESSI

4.1 CONFRONTO TRA I MOMENTI RESISTENTI ALLO STATO LIMITE ULTIMO E STATO LIMITE DI SERVIZIO

      Anche per la presso-flessione si può procedere in maniera analoga a quanto visto per la flessione.
Partendo dalla progettazione allo s.l.u. l’equazione di equilibrio alla traslazione adimenzionalizzata rispetto a bd·f’cd ha la seguente espressione:

nu = Nu / (bd · f’cd) = Y · x + w's · s' - ws · s          (19)

      In questo caso in virtù del fatto che lo sforzo normale non è nullo ed inoltre per risolvere il problema in forma chiusa ( in quanto il numero di incognite supera il numero di equazioni) si procede assegnando sia il valore del rapporto di armatura compressa/tesa r, e sia la percentuale meccanica di armatura tesa (w
s = 0.05; 0.10; 0.30; 0.50).
      In questo modo si determina il valore dello sforzo normale in forma adimensionale nu al variare dell’asse neutro di progetto x tra 0,05 e 0,7.
      La determinazione del momento ultimo adimensionale rispetto al baricentro geometrico della sezione, si ottiene dalla seguente relazione:

      mu,G = Mu,G / (bd2f’cd) = xY · ((1+d’)/2 - l · x) + ws · (s' · + s) · ((1-d')/2)   (20)

      Restano valide le impostazioni assunte per la flessione su: limiti tensionali di verifica, analisi elastico lineare, coefficiente di omogeneizzazione, parametro limite di verifica bmed = NSd /NSd,es, che assume la stessa funzione e gli stessi valori del gmed introdotto nella flessione (si fa l’ipotesi che sforzi normali e momenti crescano
proporzionalmente dalle condizioni di servizio a quelle ultime).
      La determinazione del momento resistente in esercizio Mes richiede il calcolo dell’asse neutro, che deve essere valutato considerando le due diverse espressioni relative ai limiti tensionali di calcestruzzo ed acciaio.
      A tal fine occorre definire lo sforzo normale in esercizio in forma adimensionale che tenga conto di tali limitazioni sui materiali:
per la limitazione sul cls nella c.r. e c.q.p.

      nes,c = (nu · f’cd) / (bmed · sc.lim)              (21) 

per la limitazione sull’acciaio

      nes = (nu · f’cd · n)/(bmed · sc.lim)              (22)  

      Risolvendo l’equazione di equilibrio alla traslazione, si ricava l’asse neutro adimensionale che ha la seguente formulazione valida per la limitazione sul calcestruzzo (sc = sc.lim):



mentre per la limitazione sull’acciaio (ss = ss,lim) si ha:



      Sostituendo l’asse neutro, così valutato, nell’equazione di equilibrio alla rotazione si ricava il momento in esercizio che per la limitazione sul calcestruzzo è pari a :
 


mentre per l’acciaio:



      Pertanto il rapporto Mu / Mes vale:
- per la limitazione sul calcestruzzo è pari a:

      Mu/Mes,c = (mu · f'cd) / (mes,c · sc.lim)                (27)

- mentre per la limitazione lato acciaio si ha:

      Mu/Mes,s = (mu · f'cd) / (mes,s · ss.lim)                (28) 
 
      Ripetendo le iterazioni per le stesse combinazioni di materiali impiegati precedentemente, si hanno dei grafici Mu/Mes-x del tutto analoghi a quelli della flessione, (vedi figura 8a,b).
      Si osserva che la verifica tensionale in esercizio risulta più limitativa rispetto al caso della flessione: infatti, i valori ottenuti oer xlim sono inferiori.
      Inoltre l’asse neutro limite xlim risulta funzione degli stessi parametri visti per la flessione; unica eccezione è rappresentata dall’introduzione della percentuale meccanica di armatura tesa ws al posto del rapporto di armatura compressa-tesa r, assunto pari a 1.0, come solitamente accade nei pilastri.




Figura 8(a-b).
Presso flessione: Campi di verifica tensionale secondo il (D.M.09/01/96)


4.2 CRITERIO DI PROGETTO COMBINATO STATO LIMITE ULTIMO-STATO LIMITE DI SERVIZIO

      Vista la dipendenza quasi lineare dell’asse neutro limite b dalla percentuale di armatura tesa ws, si esprime quest’ultimo mediante una relazione lineare, analogamente a quanto visto precedentemente per la flessione:

x
lim = a1 + a2 · (fck - 20) + a3 · ws                              (29)

dove i coefficienti a1, a2 e a3 sono valutati in maniera analoga, ossia con la regressione lineare ai minimi quadrati, ma per r =1, utilizzando come dati d’ingresso i valori di minimo dell’asse neutro limite di progetto valutati al variare delle caratteristiche dei materiali e delle normative tecniche.
      I coefficienti numerici che definiscono le rette xlim relative alle verifiche secondo l’Eurocodice2 in ambiente molto aggressivo valide anche per la N.I. con ambiente poco o moderatamente aggressivo, conducono alla seguente relazione analitica:

xlim = 0.225 + 0.0078 · (fck - 20) - 0.165 · ws             (30)      

      L’influenza dei vari parametri considerati (fck, fyk, ws, r ) è analoga a quanto indicato per la flessione.




Figura 9
Pressoflessione: rette di (xlim, ws) al variare di fck (d’=0.05) (EC2 con ambiente molto aggressivo; N.I. con ambiente poco o moderatamente aggressivo)

      Per avere una visione completa del campo di verifica tensionale si sono costruiti i domini limite (n, m) in forma adimensionale nelle condizioni ultime e di esercizio (per la combinazione rara e quasi permanente) e per raffronto anche alle tensioni ammissibili con riferimento alla normativa tecnica italiana (D.M.09/01/96).
      Nelle figure i domini allo s.l.u., analogamente a quanto riportato nel par.2, sono scalati in funzione del rapporto gmed.
      Nelle figure 10a-d vengono riportati alcuni di questi domini limite valutati per r  pari a 0.25 ed 1.0, la cui interpretazione è così sintetizzabile: per tutte le coppie di punti (mes > mu ; n
es > n
u) si è certi di progettare nelle condizioni ultime e al contempo rispettare i limiti tensionali nel calcestruzzo e nell’acciaio.
      Nelle figure 11a,b sono confrontati i diagrammi adimensionali allo s.l.u. e secondo il metodo delle tensioni ammissibili.
      Si nota che i domini alle tensioni ammissibili sono significativamente inferiori rispetto a quelli allo s.l.u. nel caso della pressoflessione ed in presenza di percentuali di armatura elevate, conducendo pertanto a verifiche di resistenza più restrittive; il divario si riduce nei casi di flessione e tensoflessione.
      Confrontando i domini di resistenza stato limite ultimo-stato limite di esercizio di Figura 2a,b con quest’ultimi di Figura 10a,d si osserva che passando da calcestruzzi a bassa resistenza a calcestruzzi a resistenza maggiore, le verifiche tensionali assumono un’importanza quasi o del tutto trascurabile, confermando i risultati dell’analisi condotta; il rispetto delle verifiche tensionali è espresso graficamente nei domini limite di Figura 10a-d dove si nota come le curve del dominio resistente, nelle condizioni di esercizio, sono sempre o quasi al disopra a quelle dello s.l.u.
      L’effetto della resistenza del calcestruzzo è meno rilevante nel caso del confronto s.l.u.-t.a. (cfr. fig.2c e fig. 11a,b) a causa dei valori della tensione ammissibile del calcestruzzo, in genere significativamente più bassi dei limiti tensionali relativi allo stato limite di esercizio.



Figura 10 (a-d)
Pressoflessione: Domini limite M/N S.L.U.-S.L.S. (combinazione rara e quasi permanente)


Figura 11(a-b) Pressoflessione: Domini limite M/N S.L.U. - T.A.


5. CONCLUSIONI

      Le analisi effettuate consentono di determinare i valori “limite” xlim dell’asse neutro adimensionale di progetto allo stato limite ultimo, tali che le situazioni con x < xlim rispettino anche le verifiche tensionali in esercizio.
      Dall’esame dei diagrammi Mu/Mes riportati nel lavoro si nota un decremento del xlim al crescere di (per la flessione) e ws (per la presso flessione) ed in quest’ultimo caso le analisi vengono svolte con costante e pari ad uno.
      Inoltre il confronto, condotto sulla base dei domini di resistenza, evidenzia che le situazioni in cui le verifiche di limitazioni di tensioni in esercizio sono più restrittive di quelle allo stato limite ultimo si estendono al crescere del rapporto tra armatura compressa ed armatura tesa, al diminuire della resistenza del calcestruzzo e per valori intermedi dello sforzo normale di compressione.
      Infatti, risulta evidente che il criterio di verifica tensionale in esercizio sottostima il contributo dell’armatura compressa rispetto al criterio di
verifica allo stato limite ultimo, in quanto non si sfrutta per intero la tensione massima di lavoro dell’acciaio in compressione.
      Considerando, infine, l’incidenza che le due normative tecniche citate (Eurocodice2 e D.M. 09/01/1996) rivestono sulla verifica tensionale in esercizio si può affermare che le limitazioni della N.I. per ambiente aggressivo sono più restrittive di quelle dell’EC2; inoltre l’EC2 risulta più restrittivo se confrontato con le prescrizioni della N.I. per ambienti poco o moderatamente aggressivo.
      I valori dell’asse neutro limite sono esprimibili, nel caso di sezioni rettangolari soggette a flessione retta, mediante semplici relazioni analitiche in funzione del rapporto tra armatura compressa ed armatura tesa e della resistenza caratteristica del calcestruzzo; nel caso della pressoflessione, l’asse neutro limite è funzione della percentuale meccanica di armatura tesa ws oltre che della resistenza del calcestruzzo.
      La disponibilità delle relazioni analitiche proposte può costituire uno strumento operativo utile sia per il progetto delle membrature allo stato limite ultimo rispettando contemporaneamente anche le verifiche tensionali in esercizio, sia per decidere, nel caso di membrature già progettate allo stato limite ultimo, se occorre effettuare anche la verifica di limitazione di tensioni per i carichi di servizio.


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