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Estratto dagli atti del 14° Congresso C.T.E. Mantova, 7-8-9 Novembre 2002

COMPORTAMENTO DIFFERITO DI ELEMENTI STRUTTURALI
IN C.A. RINFORZATI CON PLACCHE IN FRP


MARCO SAVOIA, Università di Bologna
BARBARA FERRACUTI, Università di Bologna
DANIELE FERRETTI Università di Parma
CLAUDIO MAZZOTTI, Università di Bologna

SUMMARY

     
Delayed deformations in R/C tensile members retrofitted by FRP-plates are studied. An incremental model is proposed, where the basic unknowns are axial displacements and stress resultants of three components of the element, i.e., concrete, steel bars and FRP-plates. Linear creep constitutive law for concrete is written making use of Bazant’ solidification theory and calibrated using CEB relaxation curves. The governing equations are then written in finite incremental form using exponential algorithm. For steel-concrete bond-slip law, classical non linear CEB relation for instantaneous loadings is extended to cover delayed deformations.
      The incremental differential equations are then solved by a Finite Difference scheme for the dependence on spatial coordinates.
      Several numerical examples are presented, concerning both short-term and long-term loadings.
In both cases, it is shown that FRPstrengthening is very effective in improving performances of R/C elements under service loadings, reducing deformability and, namely, strongly reducing concrete crack opening. This aspect is particularly important from the practical point of view, since it may have very important benefits in improving performances under service loading and durability of retrofitted R/C element.


1 INTRODUZIONE

      I primi studi teorici e sperimentali riguardanti travi in c.a. placcate con FRP erano rivolti alla valutazione dei valori ultimi delle sollecitazioni che provocano la crisi di tali elementi strutturali ed allo studio delle modalità di crisi, evidenziando sovente rotture di tipo fragile, dove il raggiungimento di un livello di sollecitazione critica a livello dell’incollaggio o del calcestruzzo compresso provoca la crisi dell'intero elemento strutturale (si veda ad esempio [1], [2]). Tali aspetti sono, infatti, fondamentali sia per stabilire i margini di sicurezza
e l'affidabilità degli interventi di recupero con FRP, sia per definire i materiali più idonei in grado di assicurare tali prestazioni.
      Solo molto recentemente, sono stati considerati anche altri importanti aspetti del problema, quali il comportamento in condizioni di esercizio [3], [4] o la durabilità degli interventi di rinforzo. In particolare, sono stati dedicati solo pochi lavori allo studio del ruolo del rinforzo nei riguardi della fessurazione del calcestruzzo o alla modellazione del comportamento differito di elementi strutturali in c.a. placcati con FRP [5], [6]. Alcuni di questi studi, condotti dai presenti autori [7] hanno mostrato come un rinforzo effettuato con FRP consenta di ridurre significativamente l’ampiezza delle fessure nel calcestruzzo e di preservare la rigidezza di elementi tesi anche in fase fessurata. Su questo aspetto, di grande importanza dal punto di vista applicativo, le proposte normative sono tuttora molto carenti [8].
      Nel presente lavoro si analizza il ruolo delle deformazioni differite sul comportamento in condizioni di servizio di elementi tesi in c.a rinforzati con placche in FRP. Viene presentato un modello dove il calcestruzzo, le armature e le placche sono considerati come elementi distinti collegati mediante legami di interfaccia. Per semplicità, lo studio è limitato al caso di elementi unicamente tesi.
Per il calcestruzzo, è stato utilizzato un modello costitutivo recentemente proposto dagli autori [9] è basato sulla teoria della solidificazione proposta da Bazant [10], [11]. Viene quindi sviluppato un legame di interfaccia viscoelastico-lineare tra calcestruzzo e placche in FRP e viscoelastico non lineare tra calcestruzzo ed armature. Quest’ultimo, nel caso particolare di carichi di breve termine, si riduce a quello riportato nel CEB Model Code 90 [12]. Si considera, inoltre, la presenza della coesione in corrispondenza di fessure trasversali nel calcestruzzo (teso), la quale può avere un ruolo significativo per elementi placcati con FRP a causa della apertura delle fessure significativamente più ridotta rispetto al caso di elementi non rinforzati.
      Per la risoluzione numerica si adotta una schema alle differenze finite nei riguardi della coordinata spaziale, mentre per l’integrazione nel tempo è stato sviluppato un algoritmo di tipo esponenziale con un solutore alla Newton-Raphson per affrontare le non linearità presenti nei legami costitutivi.
      Il modello è stato utilizzato per studiare l'efficacia del rinforzo con FRP di travi in c.a. sottoposte a carichi di esercizio perduranti nel tempo. Lo studio ha confermato molte delle conclusioni che sono state tratte nel caso di carichi di tipo istantaneo [7]: ad esempio, si è evidenziato come l'intervento di rinforzo con FRP riduca, soprattutto in fase fessurata, le deformazioni differite e, di conse
guenza, la deformazione a lungo termine rispetto a quella di elementi privi di rinforzo.
      Questo studio, che sarà esteso in futuro al caso di elementi inflessi, potrà dare indicazioni molto interessanti sull’efficacia dei rinforzi con FRP per migliorare il comportamento in esercizio di elementi strutturali in c.a.


2 IL MODELLO PROPOSTO: FORMULAZIONE INCREMENTALE

2.1 IL MODELLO E LE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO


      Si consideri un elemento teso (nel seguito detto anche tirante) in calcestruzzo armato, rinforzato con due placche in FRP sulle due facce esterne. Le convenzioni adottate per indicare le varie grandezze geometriche e meccaniche sono riportate in Figura 1. In particolare, i pedici c, s, p indicano grandezze relative rispettivamente al calcestruzzo, alla barra d’acciaio e alle placche in composito.
      Gli autori hanno recentemente proposto [7] un modello nel quale gli spostamenti in direzione assiale di calcestruzzo, acciaio e placche sono considerati come variabili del problema e sono definite opportune leggi costitutive alle interfacce tra i vari materiali. Tale modello è stato quindi riscritto in forma incrementale in [13] per affrontare lo studio degli effetti di deformazioni differite. Per le placche, è stato utilizzato un modello alla Eulero-Bernoulli, nel quale lo spostamento assiale (cioè nella direzione dell’asse del tirante), quello trasversale e la rotazione della sezione sono assunti come incognite del problema. Numerosi studi parametrici condotti in seguito hanno mostrato che gli spessori delle placche che generalmente si utilizzano nelle applicazioni (raramente superiori al
millimetro) fanno si che la rigidezza flessionale sia solitamente molto modesta. Pertanto, almeno per lo studio di tiranti armati e placcati (nei quali calcestruzzo ed acciaio sono soggetti a sola deformazione assiale), l’errore che si commette trascurando la deformabilità flessionale delle placche è del tutto insignificante, perlomeno per carichi lontani da quelli di rottura per delaminazione.


Figura 1: Tirante in c.a. placcato con FRP: convenzioni adottate per (a) spostamenti e (b) azioni interne. 
      
      Nel presente studio i tre elementi componenti il tirante sono quindi considerati soggetti a soli spostamenti in direzione assiale, indicati rispettivamente con uc, us, up (vedi Figura 1). Lo scorrimento tra calcestruzzo ed acciaio è indicato con ss e quello tra calcestruzzo e placche con sp. Le corrispondenti tensioni tangenziali sono ts e tp.
      Per quanto riguarda le leggi costitutive, il comportamento del calcestruzzo è considerato viscoelastico lineare, mentre quelli di acciaio e placche sono considerati lineari.
      Utilizzando le equazioni di equilibrio, di compatibilità (legami tra spostamenti e deformazioni) ed i legami costitutivi, si ottiene il seguente sistema di equazioni in forma incrementale:



dove il punto indica la derivata temporale, d/dx la derivata rispetto all’ascissa longitudinale, E, A sono il modulo elastico e l’area della sezione, cs = nb p F (con nb e F che indicano numero e diametro delle barre) e bp è la larghezza della placca.
      Le equazioni sono scritte in forma incrementale per poter studiare l’andamento delle deformazioni differite nel tempo. Il generico incremento di tempo può corrispondere ad un incremento
dell’azione esterna (carico assiale o spostamento impresso) o a valori costanti nel tempo di carico o di spostamento (problemi di creep o di rilassamento).
      Le variabili del problema sono quindi gli spostamenti assiali e gli sforzi normali dei tre materiali. Le (1) rappresentano un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, scritte in una forma particolarmente idonea ad essere risolta con un procedimento alle differenze finite, come mostrato nel paragrafo 3.


2.2 LEGGE VISCOELASTICA LINEARE PER IL CALCESTRUZZO

2.2.1 Formulazione secondo la teoria della solidificazione

      Per descrivere il comportamento reologico del calcestruzzo teso è stata adottata una legge derivata dalla teoria della solidificazione, originalmente proposta da Bazant [11]. La teoria considera il materiale come un composito a frazione di volume variabile costituito da due componenti: quello solidificato che sopporta carico, avente frazione di volume v(t), e quello non solidificato con frazione di volume 1-v(t). Le proprietà meccaniche dei due componenti sono considerate costanti nel tempo: l’invecchiamento del calcestruzzo e le sue proprietà reologiche variano nel tempo in funzione della legge di solidificazione v(t).
      La solidificazione del calcestruzzo avviene quindi per strati successivi. Per derivare la legge costitutiva si assume che gli strati di calcestruzzo indurito siano soggetti allo stesso incremento di deformazione dec. Le proprietà reologiche del calcestruzzo sono quindi definite dalla funzione di rilassamento y (t-t’) che lega tra loro la deformazione totale ec e la (micro) tensione s[v(t)] (del generico strato la cui solidificazione è iniziata al tempo t’ = t)


Figura 2: Catena di N unità di Maxwell equivalente al modello proposto.



Esprimendo la funzione di rilassamento mediante uno sviluppo in serie di Dirichlet (vedi Figura 2):



dove Em, tm (m = 1,.., n) sono i moduli elastici ed i tempi di rilassamento delle varie unità, ed imponendo che l’integrale delle (micro) tensioni s[v(t)] sia uguale alla tensione applicata sc(t), si ottiene:



dove la tensione sm (t), relativa alla µ-esima unità, è la soluzione dell’equazione differenziale:



      Come discusso in [9], una scelta che risponde ai requisiti di semplicità ed accuratezza è quella di adottare due funzioni di solidificazione, dove v1(t) governa l’invecchiamento delle prime n-1 unità, mentre vn(t) governa l’ultima unità, degenere (cioè con tn ® ¥), allo scopo di assicurare un valore asintotico della deformazione viscosa per t ® ¥, come prescritto dal CEB MC90 [12]. In particolare, sono state adottate nel presente studio 9 unità, con tempi di rilassamento scelti equidistanziati in scala logaritmica secondo l’espressione tm = 0.003·10m  (µ = 1,.., n-1). Le espressioni scelte per definire le funzioni di solidificazione sono analoghe a quelle adottate dal CEB per definire l’evoluzione nel tempo del modulo elastico:



dove s1, sn sono due parametri, ottenuti, unitamente agli Em, mediante una procedura di best fitting a partire dalle curve di rilassamento del CEB MC 90 (si veda [9])2

NOTA
2 (Nel presente lavoro, le relazioni del CEB MC90 sono adottate per descrivere il comportamento reologico del calcestruzzo in trazione. Tale assunzione è usuale, anche a causa della scarsità di dati sperimentali riguardanti il comportamento viscoso del calcestruzzo teso, sebbene richieda a rigore una verifica sperimentale.)


2.2.2 Formulazione incrementale


      È stato utilizzato l’algoritmo cosiddetto esponenziale per integrare la (6) sul generico passo temporale ed ottenere così una formulazione in
crementale idonea ad essere implementata in un algoritmo numerico. La procedura adottata per problemi di viscoelasticità lineare è descritta in dettaglio in [9]. Come proposto inizialmente da Bazant [14], il metodo è basato sull’integrazione in forma chiusa della (6) sul generico passo temporale Dtr = tr - tr-1 (r = 1,…, N), dove t0, t1, …, tN sono gli istanti temporali prescelti. Tale procedura consente di ottenere la seguente relazione incrementale che fornisce l’incremento di deformazione nel calcestruzzo Dec,r, relativo al passo temporale Dtr:



dove [9]:



e lµ,r, nµ,r sono grandezze che dipendono dall’istante tr e dall’r-esimo incremento temporale Dtr.
      L’equazione (8) è particolarmente efficace dal punto di vista numerico in quanto il modulo pseudo-elastico Er" e la pseudo-deformazione Dec,r" che vi compaiono dipendono da quantità che sono state ottenute al passo temporale precedente (r-1) o sono funzioni esplicite del tempo.

2.3 LEGGE DI ADERENZA ACCIAIO-CALCESTRUZZO

      Come è ben noto, le deformazioni viscose possono interessare significativamente anche l’aderenza tra acciaio e calcestruzzo [15]; le principali conseguenze possono essere un aumento dello scorrimento tra i due materiali ed un aumento della lunghezza di trasferimento in vicinanza di discontinuità quali estremità o fessure trasversali nel calcestruzzo.
      In questo studio viene proposta una legge reologica del legame di aderenza acciaiocalcestruzzo facendo uso della teoria della solidificazione, adottando cinque unità di Maxwell di cui una degenere.
      Supponiamo, in prima istanza, di adottare una legge viscoelastica lineare; operando come descritto nel paragrafo precedente, si può ottenere, la seguente legge pseudoelastica incrementale, relativa al passo temporale Dtr [13]:



dove ss = us - uc indica lo scorrimento tra acciaio e calcestruzzo, ts è la tensione tangenziale corrispondente e:



Nella (11), K0 è il parametro di rigidezza istantaneo a t0=28 giorni e k1,… k5 sono coefficienti adimensionali che individuano i contributi di rigidezza corrispondenti alle varie unità. Il termine residuo Dss,r'' nell’equazione incrementale (10) è definito, in analogia con la (9), come:



La legge (10) viene successivamente estesa al campo non lineare. In particolare, si impone che, per caricamenti di tipo istantaneo, la legge tensione tangenziale – scorrimento sia quella proposta dal CEB-MC90 [12]:



dove si assume ts,max = 1.5·fck1/2, ss,max = 0.6 mm e a = 0.4. La legge viscosa (10) è quindi modificata sostituendo la rigidezza tangente Ktg(ss) al posto del parametro di rigidezza elastica K0 che compare nella (11). Pertanto, l’equazione (13) è riscritta innanzitutto in forma incrementale come:

Dt
s = Ktg (ss)Dss,                                         (14)

dove



Infine, ponendo fNL(ss) = Ktg(ss) / K0, l’equazione viscosa (10) è estesa al campo non lineare nella forma:



      L’equazione (16) è stata derivata in analogia con quanto fatto sovente in letteratura per derivare leggi di viscosità non lineari per il calcestruzzo (si veda ad esempio [16]) cioè separando in due contributi la dipendenza dal tempo e la non linearità conseguente alla dipendenza della rigidezza
dal valore dello scorrimento (utilizzando per quest’ultima una legge indipendente dal tempo). L’espressione così ottenuta e riportata nella (16) si riduce alle espressioni note nei casi di: A) basso livello tensionale (legge viscoelastica lineare (10)); B) caricamento istantaneo (legge di aderenza non lineare (13)).
      Un modello di questo tipo può essere considerato attendibile per medi livelli tensionali, mentre per livelli tensionali molto elevati è noto che il meccanismo è molto più complesso (si veda ad esempio [17]).


2.4 LEGGE DI INTERFACCIA PLACCACALCESTRUZZO

      Il comportamento di tiranti placcati sotto carichi di esercizio è fortemente influenzato dal comportamento dell’interfaccia placca-calcestruzzo, la rigidezza della quale è tuttora di difficile valutazione.
Infatti, entrambe le deformabilità a taglio dell’adesivo e dello strato più esterno di calcestruzzo contribuiscono a definire il comportamento complessivo dell’interfaccia. Per carichi istantanei, è usuale considerare la deformabilità di uno strato di calcestruzzo dello spessore di 30÷50 mm [4], [18]; tale valutazione, sebbene certamente approssimata e poco supportata al momento da indagini sperimentali o numeriche accurate, consente tuttavia di predire lunghezze di ancoraggio dell’ordine di 80÷100 mm, confrontabili quindi con quelle in genere ottenute sperimentalmente. In secondo luogo, numerosi studi hanno confermato che, anche per carichi di esercizio (che sollecitano ad esempio l’ancoraggio al 50% del suo valore limite), l’interfaccia placca-calcestruzzo è soggetta a scorrimenti di entità tale da uscire fortemente dal campo di validità di una legge di tipo lineare.
La definizione di una corretta legge di interfaccia placca-calcestruzzo è quindi tuttora un problema aperto. Esso inoltre dipende dalle caratteristiche del modello per il quale viene definita. Ad esempio, una legge di interfaccia per un modello nel quale si assume la conservazione delle sezioni piane per i singoli componenti deve essere profondamente diversa da quella da utilizzare in una modellazione agli elementi finiti di tipo bidimensionale, in quanto la prima deve includere anche la deformabilità dello strato più esterno di calcestruzzo.
      Nel presente studio, è stata definita una legge di interfaccia di tipo viscoelastico lineare, utilizzando un procedimento basato sulla teoria della solidificazione analogo a quello descritto in precedenza.
Sono state considerate leggi di tipo reologico sia per l’adesivo che per il calcestruzzo, scritte nella forma incrementale, al passo r-esimo:



dove i pedici A e C indicano termini corrispondenti all’adesivo ed al calcestruzzo, tp è la tensione tangenziale di interfaccia. L’incremento totale di scorrimento tra placca e calcestruzzo, Dsp = DsA + DsC è quindi scritto nella forma:



dove Dsp,r'' = DsA,r'' + DsC,r''. In particolare, è stata utilizzata una legge con due unità di Maxwell senza invecchiamento per l’adesivo e una per il calcestruzzo analoga a quella descritta nel Paragrafo 2.2.



3 LA SOLUZIONE NUMERICA

      Sostituendo le relazioni costitutive (8), (16), (18) relative ai vari materiali nelle relazioni incrementali (1) riscritte con riferimento al passo temporale resimo Dtr si ottiene un sistema di equazioni che può essere rappresentato nella forma compatta:



per 0 < x < L, dove il vettore yr raccoglie le funzioni incognite del problema:

yT =
{Ns, Np, Nc, us, up, uc }                          (20)

e il vettore Dar"(x,t) raccoglie i termini derivanti dall’applicazione della teoria della solidificazione (si vedano le equazioni (8), (16), (18)).
      Il sistema (19) va integrato nel rispetto delle condizioni al contorno da imporre alle estremità del tirante (x = 0, L), che sono scritte nella forma compatta:

BaDyr (0) + BbDyr (L) = D
ar                        (21)

dove le matrici Ba, Bb contengono costanti che dipendono dal tipo di condizioni al contorno (si vedano [6], [7]) ed il vettore Dar  assume espressioni differenti nel caso in cui si intenda simulare numericamente una prova in controllo di forza (per cui è prescritto l’incremento DN), in controllo di spostamento (prescritto l’allungamento del tirante misurato ad esempio con riferimento alla barra di acciaio DL) o se necessario, in controllo di differenti parametri di forza o spostamento. Nelle prove di
viscosità è quindi possibile simulare sia prove di creep che di rilassamento. Inoltre, nelle simulazioni numeriche la prova sarà anche condotta, dopo la fessurazione del calcestruzzo, in controllo di apertura di fessura. La tecnica sviluppata consente infatti anche di utilizzare differenti criteri di controllo in successione, come sarà mostrato nel paragrafo degli esempi numerici.
      Il sistema incrementale (19), (21) viene risolto numericamente dividendo il dominio [0, L] utilizzando J nodi a distanza h e riscrivendo le derivate rispetto alla variabile spaziale x nell’equazione (19) mediante la loro forma approssimata alle differenza finite centrali (Dyj+1Dyj)/h, centrata rispetto a xj+1/2 (si veda [4] per dettagli). Tali equazioni, unitamente alle condizioni al contorno (21), forniscono un sistema di equazioni non lineari che può essere scritto nella forma compatta:



dove:



l è la matrice identità. Il primo vettore a termine noto nell’equazione (22) contiene, come ultimo termine, quello che prescrive le condizioni al contorno.
Il secondo vettore contiene invece le pseudo deformazioni e gli pseudoscorrimenti (al resimo passo di integrazione) conseguenti all’applicazione della teoria della solidificazione per descrivere le deformazioni viscose.
      Il sistema incrementale non lineare è risolto, per ogni incremento assegnato dell’azione esterna, con una procedura alla Newton-Raphson modificato.
Per dettagli si rimanda a [13] .
      Quando la tensione di trazione nel calcestruzzo raggiunge in una sezione la resistenza fct, si impone la formazione di una fessura trasversale nel calcestruzzo, cui corrisponde uno spostamento relativo w = uc,j+1 - uc,j tra due nodi contigui
mentre viene mantenuta la continuità degli spostamenti delle barre di acciaio e delle placche. Tali condizioni sono imposte sostituendo alla jesima riga del sistema (22) una condizione al contorno che può essere scritta nella forma [4]:

BcD
yr,j + BdDyr,j+1 = 0                               (24)        

dove Bc, Bd sono matrici che contengono costanti.


4 ESEMPI NUMERICI

      Con il modello proposto è stato studiato il comportamento a lungo termine di un tirante in c.a. placcato esternamente con due placche in CFRP (cioè un composito in fibra di carbonio). Le caratteristiche geometriche e le proprietà meccaniche considerate sono riportate in Figura 3. Sono state considerate per il rinforzo due diversi spessori di placche, pari a hp=0.33 mm e 1.016 mm. I risultati sono stati quindi confrontati con quelli ottenuti considerando un elemento non placcato.
      Per temperatura ed umidità sono considerati valori di norma (H = 50%, T=21°C).
Preliminarmente, per motivi di completezza, sono riportati alcuni risultati riguardanti il comportamento a breve termine.


Figura 3: Geometria e caratteristiche meccaniche dell'elemento teso in c.a. placcato con FRP considerato negli esempi numerici.


4.1 CARICAMENTO A BREVE TERMINE

      È stata simulata una prova di trazione nella quale il tirante di Figura 3 è soggetto ad un allungamento crescente (assegnato a livello delle barre di acciaio). In Figura 4a è riportato il diagramma carico assiale – allungamento. All’atto della formazione delle fessure nel calcestruzzo (quando cioè la tensione raggiunge il valore della resistenza a trazione) sia lo sforzo assiale che l’allungamento tendono a diminuire. Per seguire il
comportamento, all’atto della formazione della fessura la simulazione viene condotta in controllo di ampiezza dell’ultima fessura formatasi. Poiché tale parametro risulta essere sempre una grandezza crescente, la simulazione può essere quindi sempre condotta con un algoritmo alla Newton-Raphson.
      In Figura 4a si può notare il comportamento completamente diverso tra elemento placcato e non placcato. Per l’elemento non placcato, ad un livello di carico assiale pari a 89 KN si assiste alla formazione della fessurazione primaria corrispondente, per le caratteristiche geometriche
dell’elemento considerato, a tre fessure nel calcestruzzo teso. Per valori crescenti di allungamento, il tirante riacquista rigidezza (pari a circa la metà di quella dell’elemento non fessurato), fino alla formazione della fessurazione secondaria, che avviene a 157 KN.


Figura 4: Caricamento istantaneo di un tirante in c.a., simulazione condotta in controllo di ampiezza di fessura: (a) curve carico-allungamento; (b) ampiezza della prima fessura.

      Nel tirante placcato, al contrario, non si notano le due fasi caratteristiche della fessurazione (primaria e secondaria), ma una fessurazione continua con andamento sempre crescente dello sforzo assiale. Il numero di fessure (a parità di allungamento) è decisamente superiore (si può notare ad esempio la formazione di 11 fessure per un allungamento pari a 1.5 mm nell’elemento placcato, contro le 3 fessure solamente di quello non placcato) con benefici evidenti nei riguardi di una netta riduzione dell’apertura delle fessure (come evidenziato in Figura 4b). Tale circostanza comporta una significativa diminuzione della deformabilità.
Infatti, se in fase non fessurata le curve carico-allungamento sono pressoché coincidenti, per uno sforzo assiale pari a 120 KN l’allungamento dell’elemento non placcato è pari a 1.43 mm, mentre la presenza del rinforzo lo riduce a soli 0.87 mm (con una riduzione della deformabilità pari a circa il 40 %). Si noti infine che, all’atto della formazione delle fessure, la riduzione conseguente dello sforzo normale è decisamente inferiore, pari a circa il 10%, rispetto al 30% circa di quanto rilevabile all’atto della fessurazione primaria nell’elemento non placcato (valutando lo scarico a parità di allungamento). La fessurazione avviene quindi in modo più graduale, con evidenti benefici sul comportamento dell’elemento strutturale.
      In Figura 4b è riportata, per lo stesso caso, l’evoluzione dell’apertura della prima fessura formatasi (al centro del provino). Si noti come l’apertura della fessura sia decisamente inferiore egli elementi placcati, e soprattutto come essa enda a stabilizzarsi ad un valore pressoché costante il crescere della sollecitazione, a differenza di quanto accade nell’elemento non placcato. Ad esempio, per un carico assiale pari a 150 KN, l’apertura della fessura e pari a 0.43 mm nell’elemento non placcato, mentre si riduce a 0.11 mm per un rinforzo di spessore 0.33 mm (pari a due fogli di CFRP) e 0.07 mm per il rinforzo con due placche di CFRP.
      Altri risultati riguardanti deformabilità e fessurazione per caricamento a breve termine di tiranti in c.a. placcati sono riportati in [4].


4.2 COMPORTAMENTO A LUNGO TERMINE


      Considerando lo stesso tirante studiato nel sottoparagrafo precedente, è stata simulata una prova di viscosità nella quale, ad una prima fase con velocità di incremento del carico pari a 3.47
kN/min fino al raggiungimento del carico massimo, segue un lungo periodo a carico costante (circa 30 anni). In particolare, sono stati considerati due casi distinti: 1) un caricamento fino a 60 kN e pertanto ad un livello che non provoca la fessurazione del calcestruzzo; 2) un caricamento fino a provocare la prima fessurazione del calcestruzzo (93 kN).


Figura 5: Curve carico-allungamento in simulazioni di prove di creep a diversi livelli di carico, a confronto con i risultati di caricamento a breve termine: (a) tirante non placcato, (b) hp = 0.33 mm, (c) hp = 1.016 mm.

      In Figura 5 sono riportati gli andamenti caricoallungamento per il tirante non placcato (Fig. 5a), placcato con hp=0.33 mm (Fig. 5b), placcato con hp=1.016 mm (Fig. 5c), messi a confronto con le curve ottenute per un caricamento di tipo istantaneo (in controllo di forza).
In Figura 6a sono ancora messe a confronto le curve carico assiale – allungamento, avendo però condotto le simulazioni prima in controllo di carico (fino alla fessurazione del calcestruzzo), successivamente in controllo di ampiezza di fessura ed infine, a carico costante fino al tempo finale di 30 anni. Si può notare come il comportamento sia significativamente differente soprattutto durante la fessurazione: la presenza del placcaggio consente di ridurre significativamente la deformabilità durante l’apertura della fessura.

     
Figura 6: Simulazione di prove di viscosità. Confronto tra elemento placcato e non placcato: (a) curve carico-allungamento, (b) variazione nel tempo dell'ampiezza di fessura.

       Inoltre, in Figura 6b è riportato l’andamento nel tempo dell’apertura di fessura durante il periodo di permanenza del carico assiale. A conferma
di quanto descritto nel sottoparagrafo precedente, si può notare come l’apertura di fessura sia significativamente inferiore nel caso dell’elemento placcato anche durante il periodo di permanenza del carico: al termine della simulazione (30 anni), l’apertura della fessura si riduce da 0.30 mm nel caso del tirante non placcato a 0.09 mm con hp=0.33 mm, fino a 0.05 mm con hp =1.016 mm.


Figura 7: Tirante armato e rinforzato con placche in FRP (hp=1.016 mm): (a) tensione nel calcestruzzo; (b) tensione nell'acciaio; (c) tensione nelle placche in FRP; (d) spostamenti di calcestruzzo e barre di armatura; (e) scorrimento acciaio-calcestruzzo; (f) tensione tangenziale di aderenza acciaio-calcestruzzo (la linea tratteggiata indica prima della fessurazione; la linea continua sottile indica dopo la fessurazione e la linea continua grossa indica dopo 30 anni).

      Infine, per il caso hp=1.016 mm, sono riportate in Figura 7 gli andamenti lungo l’asse del elemento placcato delle principali variabili del problema: la tensione nel calcestruzzo (Fig. 7a), nelle barre d’acciaio (Fig. 7b), nelle placche in FRP (Fig. 7c), gli spostamenti di acciaio e calcestruzzo
(Fig. 7d), lo scorrimento acciaio-calcestruzzo (Fig. 7e) e la corrispondente tensione tangenziale (Fig. 7f). I valori di tali grandezze sono riportati prima della fessurazione, dopo la fessurazione ed infine dopo 30 anni di applicazione del carico.
      È interessante notare che, nella sezione in cui si forma la fessura, lo sforzo nella placca cresce di oltre sette volte rispetto al valore assunto in condizione di stadio I, mentre per l’acciaio l’incremento è pari a circa 2.5 volte. Pertanto, se si tiene conto che i moduli elastici dei due materiali sono paragonabili, si può concludere che la presenza della placca fornisce un contributo molto significativo a preservare la rigidezza assiale del
tirante in condizioni fessurate.
Inoltre, durante la fase di persistenza nel tempo del carico, la deformazione crescente del calcestruzzo nel tempo a causa del contributo viscoso fa sì che, come è lecito aspettarsi, la tensione nel calcestruzzo decresca, mentre cresce significativamente quella nelle barre d’acciaio e nelle placche di FRP. Infine, crescono nel tempo sia lo scorrimento acciaio-calcestruzzo ss che la lunghezza di trasferimento delle tensioni tangenziali per assicurare il completo ancoraggio delle barre, con conseguente abbattimento dei valori massimi.


RINGRAZIAMENTI

      Il lavoro è stato condotto con il contributo finanziario del MIUR, PRIN 2001, Progetto ”L’impiego dei compositi nel rinforzo sismico di strutture in cemento armato", SubTask “Analisi teorica e sperimentale degli incollaggi compositocalcestruzzo in elementi monodimensionali in c.a. placcati” e dei fondi ex 60%.


BIBLIOGRAFIA

[1] H. SAADATMANESH, M.R. EHSANI, “RC beams strengthened with GFRP plates. I: Experimental study; II: Analysis and parametrical study”, J. Struct. Eng. ASCE, 117: 3417- 3433, 3434-3455 (1991).

[2] M. ARDUINI, A. DI TOMMASO, A. NANNI, “Brittle failure in FRP plate and sheet bonded beams”, ACI Struct. J., 94: 363-370 (1997).

[3] J.M. TRIPI, C.E. BAKIS, T.E. BOOTHBY, A NANNI, “Deformation in concrete with external CFRP sheet reinforcement”, J. Compos. for Construction ASCE, 4(2): 85-94 (2000).

[4] D. FERRETTI, M. SAVOIA, “Cracking of R/C tensile members reinforced by FRP-plates”, FRAMCOS-4 Conf. (de Borst R., Mazars J., Pijaudier-Cabot G., van Mier J.G.M. Eds.), Cachan, Parigi, 919-926 (2001).

[5] N. PLEVRIS, T.C. TRIANTAFILLOU, ”Timedependent behavior of RC members
strengthened with FRP laminates”, J. Struct. Eng. ASCE, 120, 1016-1042 (1994).

[6] D. FERRETTI, M. SAVOIA, “Serviceability behavior of r/c tensile members strengthened by FRP plates”, Studi e Ricerche, 95-124 (2001).

[7] D. FERRETTI, M. SAVOIA, “Cracking evolution in R/C tensile members strengthened by
FRP-plates”, Eng. Fract. Mech. (in corso di stampa) (2002).

[8] CEB-FIP, Externally bonded FRP reinforcement for RC structures, Technical Report, Bulletin 14, Stoccarda, 2001.

[9] C. CECCOLI, C. MAZZOTTI, M. SAVOIA, “Una formulazione incrementale per la valutazione delle deformazioni differite nel calcestruzzo”, Giornate AICAP, Torino, 41-50 (1999).

[10] Z.P. BAZANT, “Viscoelasticity of solidifying porous material – concrete”, J. Eng. Mech. Div. ASCE, 103: 1049-1067 (1977).

[11] Z.P. BAZANT, S. PRASANNAN, “Solidification theory for concrete creep. I: Formulation; II: Verification and application”, J. Eng. Mech. ASCE, 115: 1691-1703, 1704- 1725 (1993) .

[12] CEB-FIP. Model Code 1990, Bulletin d’Information n. 230, London: T. Telford (1992).

[13] M. SAVOIA, D. FERRETTI, C. MAZZOTTI, “Creep behavior of RC tensile elements retrofitted by FRP plates”, ICCI-02 Conference (H. Saadatmanesh, M.R. Ehsani Eds.), S. Francisco (2002).

[14] Z.P. BAZANT, “Numerically stable algorithm with increasing time steps for integral-type ageing creep”, Proc. 1st Int. Conf. Struct. Mech. in Reactor Tech.; 3, Paper H2/3 (1971).

[15] R. SATO, I. UJIKE, K. AKITA, N. KASAI, “Properties of bond under sustained loading at an early age”, Trans. of Japan Concrete Institute, 9: 257-264 (1987).

[16] I. CAROL, Z.P. BAZANT, “Viscoelasticity with ageing caused by solidification of nonageing constituents”, J. Eng. Mech. ASCE, 119: 2252-2269 (1993).

[17] C. MAZZOTTI, M. SAVOIA, “Experimental study of non linear creep of concrete at high stress level”, CONCREEP-6 (Ulm FJ Ed.), Elsevier, Amsterdam, 259-264 (2001).

[18] K. BROSENS, D. VAN GEMERT, “Plate end shear design for external CFRP laminates”, FRAMCOS-3 Conference (Mihashi H, Keitetsu R Eds.), Gifu, Japan, 1793-1804 (1998).
 

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