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Estratto dagli atti del 14° Congresso C.T.E. Mantova, 7-8-9 Novembre 2002

ANALISI NON LINEARE AD ELEMENTI FINITI DI TEGOLI DI COPERTURA
IN CONGLOMERATO ARMATO PRECOMPRESSO


BEATRICE BELLETTI
Università degli Studi di Parma

SUMMARY

     
In this paper experimental and numerical analyses of a precast prestressed reinforced concrete roof element are carried out. The implementation of a constitutive relathionship for cracked reinforced concrete, called PARC, into multipurpose finite element program ABAQUS has made possible to consider the mechanical and geometrical non linearities. The good agreement between numerical and experimental results shows that the proposed model is able to carefully predict the behaviour of this kind of structures.
Therefore the proposed NLFE method could be an useful tool not only for research purposes but also for the ordinary design. So, at the end of the paper an example of serviceability and ultimate limit states verification of the analysed precast prestressed roof element has been provided.


1. INTRODUZIONE

      I cosiddetti tegoli o “elementi speciali per copertura” di grandi luci, soprattutto quelli di tipo scatolare, composti, cioè, dall’assemblaggio di singole parti geometriche, presentano un comportamento strutturale alquanto complesso.
      Essi, infatti, combinano sforzi flessionali e taglianti nella direzione dell’asse dell’elemento a sforzi trasversali di notevole intensità tali, questi ultimi, da condizionarne il progetto. Inoltre, gli spessori generalmente adottati ridotti e ad andamento non uniforme lungo la sezione e le grandi luci impiegate, nonché la presenza di elevate forze di precompressione nelle testate e di armatura ordinaria diffusa ma variabile da sezione a sezione, ne fanno elementi strutturali che spesso mostrano modalità di rottura locale non facilmente prevedibile.
      L’analisi strutturale di tali elementi, che deve essere condotta tenendo presente delle non linearità geometrica e meccanica, può solo in prima approssimazione essere affrontata con gli abituali strumenti di calcolo, cioè attraverso i metodi semplificati proposti dalle varie normative, ai quali può quindi essere affidata principalmente la funzione di dimensionamento della membratura in esame. Nella verifica definitiva di questi elementi è bene pertanto far ricorso ad efficaci analisi non lineari ad elementi finiti che hanno raggiunto un livello di sviluppo tale da rappresentare un appropriato e sicuro strumento
per l’indagine del comportamento evolutivo fino a rottura, non solo degli elementi qui richiamati, ma anche, in generale, delle strutture in conglomerato armato e precompresso aventi geometrie particolarmente complesse.
          

Figura 1.
Elemento finito SHELL composito: a) gli strati ed i punti di integrazione; b) i gradi di libertà nodali.

       

igura 2.
Il generico strato preso in esame: a) in fase non fessurata e b) fessurata.


In questo lavoro viene proposto un metodo per analisi non lineari basato su un legame costitutivo per il conglomerato armato (cosiddetto PARC [01]), che è stato qui implementato nel programma commerciale ad elementi finiti ABAQUS. I risultati numerici emersi dalla sua applicazione allo studio di differenti tipologie costruttive (quali travi parete [02], travi [03], tegoli precompressi di copertura [04]) mostrano un buon accordo con le risultanze sperimentali scelte in letteratura per tali confronti.
      Per mostrare ulteriormente l’efficacia del metodo proposto viene qui preso in esame lo studio di un particolare tegolo denominato Argo.
      Questo elemento precompresso di copertura è stato analizzato prima sperimentalmente e poi numericamente simulando la prova di carico con il modello non lineare ad elementi finiti prima ricordato. Infine, il metodo proposto è stato impiegato come strumento di verifica dell’elemento strutturale in esame, seguendo le prescrizioni normative vigenti, fornendo chiare indicazioni sulle condizioni in esercizio ed a rottura e dimostrando che il metodo presentato si configura come uno strumento alquanto utile per una corretta progettazione.


2. UN METODO DI ANALISI NON LINEARE AD ELEMENTI FINITI

      Il legame costitutivo denominato PARC [01] è stato implementato nel programma ad elementi finiti ABAQUS ([05]). In questo modo è stato possibile conciliare la necessità di una accurata modellazione del comportamento del conglomerato armato con l’esigenza di un potente strumento per l’implementazione dei dati e la restituzione dei risultati. Le analisi ad elementi finiti, svolte nel presente lavoro, mettono in conto le non linearità sia geometrica che meccanica.

2.1 LA NON LINEARITA’ MECCANICA

      La geometria dei tegoli precompressi analizzati è stata descritta con una mesh di elementi finiti SHELL compositi (Fig.1).
      La scelta di questi elementi è motivata, da un lato dalla necessità di descrivere il comportamento sia membranale che flessionale di tali strutture, dall’altro lato dalla possibilità, fornita dal modello PARC, di calcolare la matrice di rigidezza del materiale solo in caso di stato piano di sforzo. Gli elementi SHELL compositi soddisfano entrambe queste esigenze, grazie ai gradi di libertà nodali (rotazionali e traslazionali) (Fig.1b) ed alla caratteristica suddivisione dello spessore in una successione di strati soggetti a stato piano di sforzo (Fig.1a e Fig2).
      La matrice di rigidezza del singolo elemento finito, valutata come:



prevede un’integrazione numerica di Gauss del secondo ordine nel piano dell’elemento ed un’integrazione di Simpson lungo lo spessore dell’elemento stesso (Fig.1a). Un numero minimo di tre punti di integrazione di Simpson lungo lo spessore, garantisce, infatti, la valutazione dei risultati numerici in corrispondenza dell’intradosso e dell’estradosso dell’elemento finito.
      L’implementazione del modello PARC in un’apposita subroutine consente l’esecuzione delle istruzioni indispensabili per il calcolo, in ogni punto di integrazione, della matrice di rigidezza [D1,2] del conglomerato armato sia in fase non fessurata (Fig.2a) che in fase fessurata (Fig.2b), matrice espressa nel sistema di riferimento individuato dagli assi di ortotropia del materiale, e successivamente “trasferita” nel sistema di riferimento x,y:



essendo y l’angolo formato fra gli assi 1 e x.
      Nel caso di conglomerato armato non fessurato gli assi di ortotropia, assunti quale sistema di riferimento locale, sono individuati dagli assi principali di deformazione. La matrice di rigidezza viene allora calcolata come segue:







in cui [Dc1,2 ] è la matrice di rigidezza del conglomerato non fessurato valutata sostituendo allo stato biassiale di tensione realmente presente due curve uniassiali equivalenti che forniscono i moduli secanti E1, E2, relativi alle curve sforzodeformazione lungo gli assi principali ([06], [07]):




mentre  è la matrice di rigidezza dell’i-esimo strato d’armatura inclinato dell’angolo ji rispetto alla direzione 1 e quindi da esprimersi nel sistema di riferimento 1,2 tramite la matrice di trasferimento [T(ji)].
      Nel caso di conglomerato armato fessurato gli assi di ortotropia sono individuati dalla direzione assunta dalle fessure all’insorgere della fessurazione e mantenuta, per ulteriori incrementi di carico, fissa (Fig.2b). La formulazione della matrice di rigidezza del conglomerato armato fessurato è espressa dall’Eq. (4).
       Per un esauriente approfondimento del modello proposto e della formulazione della relativa matrice di rigidezza si rimanda al lavoro
[01].

2.2 LA NON LINEARITA’ GEOMETRICA

      Per strutture snelle come i tegoli precompressi di notevole luce analizzati nel presente lavoro, la non linearità geometrica è un fattore importante da considerare per una stima reale del comportamento della struttura, sia in termini di deformazione che di carico ultimo. La rottura, infatti, è accompagnata quasi sempre dalla perdita di forma della sezione trasversale dovuta agli spostamenti subiti dalle ali. Nelle analisi numeriche svolte la non linearità geometrica è valutata, nell’ambito del “metodo lagrangiano”, imponendo la risoluzione delle equazioni di equilibrio rispetto alla configurazione deformata della struttura.
      Gli effetti della precompressione sono stati imposti tramite forze nodali di compressione agenti lungo l’asse longitudinale del manufatto e, per descrivere realisticamente l’effetto del trefolo che si deforma congiuntamente a tutta la struttura, si è imposto che la direzione delle forze nodali di precompressione varii in funzione delle rotazioni dei nodi.


3. RISULTANZE SPERIMENTALI E NUMERICHE DEL TEGOLO ARGO

3.1. PRINCIPALI CARATTERISTICHE GEOMETRICHE


      Il tegolo Argo viene prevalentemente utilizzato nelle realizzazioni di ambienti produttivi a carattere industriale. Gli elementi sono posti in opera parallelamente gli uni agli altri con un interasse non superiore a 5.5m (Fig.3a). Questo permette il posizionamento, a seconda delle esigenze funzionali, di voltine, lucernari o shed, (Fig.3b).


Figura 3. Esempio di impiego del tegolo Argo: a) disposizione senza shed e b) con shed.

Lo schema statico del tegolo è quello di trave semplicemente appoggiata agli estremi.
L’elemento è caratterizzato da una sezione trasversale sottile aperta, composta da una soletta inferiore che contiene i trefoli per la precompressione, e da due ali simmetriche che terminano superiormente con due bulbi su cui gravano le strutture secondarie (Fig.4). La sezione trasversale del tegolo ha un ingombro orizzontale di 2.50 m e verticale di 1.00 m, e prevede un impiego su luci che variano dai 15 ai 25 metri. I tegoli sono precompressi per mezzo di trefoli da ½ pollice, di numero variabile, corrispondentemente alla luce, da 10 a 24m.





Figura 4.
Principali caratteristiche geometriche del tegolo Argo.


3.2. MODALITA’ DI CARICO


      Nel Novembre 2001, presso lo stabilimento di Monticelli Terme (PR) della ditta Area Prefabbricati S.p.A., è stata condotta una prova di carico su un tegolo, denominato Argo, fino alla sua rottura per flessione. La prova fa parte di un programma sperimentale condotto dal Laboratorio Prove Strutture del DISTART dell’Università degli Studi di Bologna, programma che prevedeva lo studio sperimentale del comportamento evolutivo fino a rottura di due tegoli Argo, caricati in modo tale da provocare stati tensionali di flessione nel primo e di flesso-torsione nel secondo. Facendo riferimento, in questo lavoro, solo alla prima delle due prove, in Fig.5 si mostra il tegolo oggetto di studio, lungo 24.04m e semplicemente appoggiato su supporti di cemento armato. Per l’esecuzione della prova particolare attenzione si è posta nella definizione delle condizioni di carico che, da un lato dovevano fornire indicazioni utili per la progettazione e prevedere cicli di carico e scarico e, dall’altro dovevano essere facilmente realizzabili in stabilimento. Per simulare il carico distribuito linearmente sulla sommità delle ali, causato dalla
presenza dei lucernari e dal carico accidentale su di essi previsto, si è ritenuto opportuno caricare le sommità stesse delle ali con una pluralità di carichi concentrati. Questa disposizione è stata realizzata per mezzo di 5 martinetti idraulici e di 5 travi di distribuzione. Inoltre, per simulare il carico permanente e variabile gravante direttamente sul tegolo, è stato applicato un carico idrostatico immettendo prefissate quantità d’acqua all’interno del tegolo stesso (Fig.5). Per fare ciò sono state realizzate 5 vasche in modo tale da evitare che, durante la prova, la deformazione del tegolo impedisse di ottenere un livello di acqua omogeneo lungo tutto lo sviluppo longitudinale dell’elemento. Il carico è stato applicato in tre fasi distinte: inizialmente è stato eseguito un primo ciclo di carico e scarico applicando solo l’azione dei martinetti; in seguito un secondo ciclo di carico e scarico è stato effettuato tramite l’azione congiunta della pressione dei martinetti e dell’acqua; infine la terza fase di carico prevedeva la contemporanea azione dei martinetti e dell’acqua fino al raggiungimento del collasso della struttura. Lo schema di carico e la posizione di lettura degli spostamenti sono mostrati in Fig.6.


Figura 5. La prova di carico eseguita sul tegolo Argo.


Figura 6. Schema della prova di carico: a) posizione dei martinetti e posizione delle vasche per l'acqua; b) posizione degli strumenti di misura degli spostamenti.

      Per la lettura degli spostamenti verticali (L1-L12) sono stati utilizzati 2 livelli tipo Wildt, mentre, per la lettura delle aperture delle ali (F1-F5), sono stati impiegati cinque flessimetri meccanici (Fig.6b).

3.3. CONFRONTI TRA LE RISULTANZE SPERIMENTALI E QUELLE NUMERICHE

      Una simulazione numerica della prova di carico precedentemente illustrata è stata condotta tramite un’analisi non lineare ad elementi finiti. La geometria del manufatto analizzato è stata rappresentata, come detto, tramite elementi SHELL multistrato secondo le indicazioni progettuali relative alla geometria, agli spessori, alla posa delle armature ed alla disposizione dei trefoli di precompressione.


Figura 7. Rappresentazione della mesh utilizzata per la discretizzazione di metà parte simmetrica del tegolo Argo.

      Per ridurre l’impegno computazionale, il tempo di elaborazione e la quantità di memoria richiesti per l’elaborazione numerica, si è sfruttata la simmetria geometrica, vincolare e di carico della struttura lungo il piano verticale comprendente l’asse dell’elemento (Fig.7). L’elaborazione numerica attraverso il modello PARC analizza principalmente strutture caricate con carico monotono. Per questa ragione l’analisi non lineare ad elementi finiti condotta per simulare la prova di carico ha considerato solo la terza fase di carico in cui i carichi imposti sono stati incrementati fino al raggiungimento del collasso della struttura.
      Pertanto, nei grafici di confronto mostrati nel seguito, i primi due cicli di carico e scarico subiti dalla struttura durante la prova a flessione sono stati opportunamente traslati facendo coincidere così l’origine dei suddetti grafici con le condizioni iniziali della terza fase di carico. Comunque, nella simulazione numerica per seguire il più fedelmente possibile la sequenza delle sollecitazioni della struttura, i carichi sono stati applicati in due fasi: nella prima agiscono il peso proprio e la precompressione, nella seconda i carichi forniti dai martinetti e dall’acqua. Nella prima fase la precompressione è stata inserita sostituendo alle tensioni presenti nei trefoli delle forze nodali equivalenti. Nella seconda fase i carichi dei martinetti sono stati applicati come forze nodali verticali, mentre i carichi dovuti alla pressione dell’acqua come forze nodali equivalenti, sia orizzontali che verticali dipendenti, sia dalla profondità del nodo rispetto al livello dell’acqua, sia dall’inclinazione della superficie bagnata. La Fig.8 mostra le curve sperimentali e numeriche in termini di freccia massima in mezzeria in funzione del carico (verticale) totale applicato.


Figura 8. Andamenti numerico-sperimentali tra il carico totale applicato e la freccia f di mezzeria

      Avendo ipotizzato nel modello numerico vincoli infinitamente rigidi agli appoggi, le letture sperimentali degli spostamenti verticali in corrispondenza della mezzeria del tegolo (strumenti L6 e L7) sono state depurate dai cedimenti vincolari (strumenti L2, L3, L10 e L11).
      Questa operazione è stata possibile solo per carichi inferiori a 380kN, oltre tale carico non risultano più disponibili le letture relative ai cedimenti vincolari. Il valore totale dello spostamento in mezzeria, non depurato dai relativi cedimenti vincolari, produce così una curva meno rigida di quella desunta numericamente a partire dal predetto valore di carico in poi. Questo spiega lo scostamento, seppur limitato, tra la curva sperimentale e quella numerica che si evidenzia nella fase avanzata di carico. Durante la prova di carico effettuata si è osservato che, dopo una prima fase caratterizzata all’aumentare del carico dalla formazione di sempre più frequenti fessure verticali (Fig.9), si è verificata la rottura (Fig.10) in una sezione prossima alla mezzeria del tegolo. Le cause del collasso della struttura sono state imputate alla concomitanza dell’azione del momento flettente e di quella delle spinte orizzontali (nella direzione trasversale esercitate dall’acqua), e parzialmente ai fenomeni del secondo ordine connessi alla cosiddetta “perdita di forma della sezione”. Nelle Figg. 11-12 appaiono i grafici di confronto fra le curve sperimentali e quelle numeriche in termini di apertura delle ali e del valore del carico (verticale) totale applicato. In prossimità della rottura dell’elemento gli strumenti per la registrazione dell’apertura in questione sono stati rimossi, e pertanto i relativi valori sperimentali
a disposizione sono quelli riferiti a carichi inferiori a 380kN.


Figura 9. Quadro fessurativo riscontrato all'introdosso del tegolo.


Figura 10. Registrazione del collasso del tegolo.


Figura 11. Aperture delle ali misurate sperimentalmente dallo strumento F2 e rispettivi valori calcolati numericamente.


Figura 12. Aperture delle ali misurate sperimentalmente dallo strumento F3 e rispettivi valori calcolati numericamente.


      Appare evidente, comunque, che i maggiori effetti della perdita di forma della sezione si verificano per carichi notevolmente superiori a quelli relativi alla vita in esercizio del tegolo, ovvero in corrispondenza a valori prossimi al collasso della struttura. I valori delle deformazioni nelle barre d’armatura longitudinale (Fig.13) e delle barre d’armatura trasversale (Fig.14) ottenuti numericamente e determinati al sopraggiungere della rottura (P = 530kN), dimostrano la notevole influenza esercitata dalla deformazione trasversale sulla modalità di collasso dell’elemento.
      L’armatura trasversale, infatti, appare già snervata, mentre quella longitudinale è prossima allo snervamento.
      L’accordo fra i quadri fessurativi numerico e sperimentale, in corrispondenza della rottura del tegolo, è confermato dal confronto fra le stesse fessure osservate sperimentalmente (Fig.15) e quelle indicate dalla elaborazione numerica (Fig.16). Questo fatto evidenzia ulteriormente la capacità dell’analisi non lineare ad elementi finiti eseguita, nel cogliere con buona accuratezza anche l’importante comportamento trasversale di questi manufatti, spesso non sufficientemente indagato nella pratica progettuale corrente. La corrispondenza fra i risultati numerici e quelli sperimentali dimostra quindi, da un lato l’efficacia del modello utilizzato, dall’altro il conseguente comportamento strutturale del tegolo Argo.


Figura 13. Deformazioni nelle armature longitudinali alla soglia della crisi ultima (P = 530kN)


Figura 14. Deformazioni nelle armature trasversali alla soglia della crisi ultima (P = 530kN)


Figura 15. La fessurazione longitudinale riscontrata all'estradosso delle ali alla soglia della crisi ultima (P = 530kN)


4. OSSERVAZIONI CONCLUSIVE


      Per la progettazione di complessi elementi strutturali il metodo di analisi non lineare proposto rappresenta un efficace strumento, in quanto esprime le potenzialità necessarie per condurre
sia le verifiche agli stati limite di esercizio, sia agli stati limite ultimi. Per quanto riguarda la verifica allo stato limite di esercizio è possibile, ad esempio, stimare numericamente i valori delle aperture delle fessure, degli spostamenti della struttura e delle tensioni e deformazioni nel conglomerato e nelle barre d’armatura.


Figura 16. Risultanze numeriche relative alla fessurazione longitudinale presenti all'estradosso delle ali alla soglia della crisi ultima (P = 530kN)


Figura 17. Le verifiche agli stati limiti di esercizio ed ultime proposte per il tegolo Argo.

Tali valori numerici possono essere facilmente confrontati con i limiti massimi imposti dalla normativa. Per quanto riguarda la verifica allo stato limite ultimo, le analisi non lineari effettuate forniscono il carico ultimo del manufatto e le modalità del collasso stesso, da confrontare con il valore delle azioni agenti. A titolo d’esempio si è analizzato il comportamento evolutivo fino a rottura del tegolo Argo soggetto alle azioni di progetto previste dalla normativa vigente. Tali carichi comprendono il peso proprio, la precompressione, il peso permanente dello strato impermeabilizzante e l’azione variabile della neve.
Le resistenze caratteristiche del conglomerato e dell’acciaio (reti, barre e trefoli) sono state assunte concordemente a quanto indicato nei dati di progetto e negli esecutivi del manufatto e sono
state trasformate in resistenze di progetto tramite i
coefficienti di sicurezza prescritti dalla normativa.
      In Fig.17 si riassume il comportamento strutturale del tegolo Argo facendo riferimento, come aspetto particolarmente significativo, al legame, ricavato attraverso l’elaborazione numerica effettuata, tra il carico totale applicato e la relativa freccia di mezzeria. Il primo tratto lineare caratterizzato da una freccia negativa corrisponde alla prima fase della vita della struttura in cui sono presenti solo il peso proprio e la precompressione. L’applicazione successiva dei carichi permanenti e variabili produce un comportamento quasi lineare per valori dei carichi anche maggiori a quelli di esercizio. L’assenza di fessure ed il modesto stato tensionale presente nei materiali, comprovati dal comportamento elastico lineare, contribuiscono, in modo
significativo, alla durabilità dell’elemento. In esercizio, infatti, le fessure non si sono ancora prodotte; solo per carichi maggiori dei carichi d’esercizio le non linearità geometriche e meccaniche diventano evidenti e producono, in prossimità della rottura, una estesa fessurazione del tutto simile a quella riscontrata sperimentalmente.
      La verifica allo stato limite ultimo del tegolo è soddisfatta, in quanto la resistenza interna, rappresentata dalla curva non lineare interseca la retta indicante il valore dei massimi carichi di progetto. In altre parole, il massimo carico a cui il tegolo può resistere è superiore al carico di progetto previsto dalla normativa vigente, a conferma del corretto dimensionamento del manufatto.


5. RINGRAZIAMENTI

     
Questo lavoro è stato compiuto nell’ambito di una convenzione di ricerca stipulata tra il Dipartimento di Ingegneria Civile, dell’Ambiente, del Territorio e Architettura dell’Università degli Studi di Parma e la ditta Area Prefabbricati S.p.A., che si ringrazia per aver consentito la divulgazione delle risultanze presentate.


6. BIBLIOGRAFIA

[01] B. BELLETTI, R. CERIONI, I. IORI, “A Physical Approach for Reinforced Concrete (PARC) membrane elements.” J. Struct. Engrg., ASCE, 127(12) 2001.

[02] B. BELLETTI, R. CERIONI, I. IORI, “Un approccio numerico all’analisi non lineare di travi alte in conglomerato armato.” Workshop Strut & Tie, Dipartimento di Ingegneria Civile, Università degli Studi di Firenze,16 Marzo 2001.

[03] B. BELLETTI, P. BERNARDI, R. CERIONI, I. IORI, “Analisi non lineare di travi in cemento armato non armate a taglio” 14° Convegno C.T.E, Mantova 7-9 Novembre 2002.

[04] B. BELLETTI, R. CERIONI, G. GAZZOLA, I. IORI, R. MERONI, “A Precast Prestressed Reinforced Concrete Roof Element.” XVII° Congresso Internazionale BIBM, Istanbul, 1-4 Maggio 2002.

[05] ABAQUS theory manual. Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Pawtucket, R.I., 2001.

[06] B. BELLETTI, R. CERIONI, I. IORI, “Non-Linear Finite Element Method for Analysis of RC Panels.” Inviato per una possibile pubblicazione a J. Struct. Engrg., ASCE.

[07] D. DARWIN, D. A. PECKNOLD., “Nonlinear biaxial stress-strain law for concrete.” J. Mech. Engrg., ASCE, 103(EM2), pp.229- 241, 1977.
 

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