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VALIDITÀ E CALIBRAZIONE DEI METODI STATICI PER L'ANALISI LIMITE DI ELEMENTI IN CEMENTO ARMATO

Fabio Biondini, Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Politecnico di Milano
e-mail: biondini@stru.polimi.it

Franco Bontempi, Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università degli Studi di Roma "La Sapienza"
e-mail: franco.bontempi@uniroma1.it

Pier Giorgio Malerba, Dipartimento di Ingegneria Civile, Università degli Studi di Udine
e-mail: piergiorgio.malerba@dic.uniud.it

Abstract.

 The schematisation of reinforced concrete structural elements by means of equilibrated discrete schemes, which in their more basic form can be identified with the Strut-and-Tie models, is developed as an application of the Lower Bound Theorem of the Limit Analysis and then it assumes a perfectly plastic behaviour of the materials. Although the constitutive properties of the concrete not fulfil this limit scheme, the validity of the results obtained with such an hypothesis can be maintained by respecting some design conditions which, at different scale levels, allow to verify the effectiveness of the materials, the integrity of the elements which compose the model and the consistency of the model itself with the actual reference stress state.

Sommario.

La schematizzazione di elementi strutturali in cemento armato mediante schemi discreti equilibrati, che nella loro forma più elementare si identificano nei modelli Strut-and-Tie, si sviluppa come particolare applicazione del Teorema Statico dell'Analisi Limite ed assume pertanto un comportamento dei materiali di tipo perfettamente plastico. Benché le proprietà costitutive del calcestruzzo si discostino notevolmente da questo schema limite, la validità dei risultati ottenuti con tale ipotesi può essere mantenuta rispettando alcune condizioni di progetto che, a diversi livelli di scala, consentono di verificare l'efficienza dei materiali, l'integrità degli elementi costituenti il modello e la consistenza del modello stesso con l'effettivo stato tensionale di riferimento.


1. Introduzione

   La valutazione della capacità portante di una struttura in cemento armato deve tenere conto delle numerose fonti di anelasticità presenti nel materiale composito. In particolare, un approccio razionale alla ricerca di una soluzione analitica completa non può trascurare aspetti quali fessurazione (cracking), perdita di aderenza fra acciaio e calcestruzzo (bond slip), effetto irrigidente del calcestruzzo teso fra fessura e fessura (tension stiffening), effetto bietta delle armature che attraversano le fessure (dowel action), ingranamento degli inerti all'interfaccia delle fessure (aggregate interlock). Il riconoscimento di una situazione di crisi richiede così modelli costitutivi che, attraverso leggi di tipo incrementale, siano in grado di riprodurre tali aspetti. Il problema può essere risolto numericamente con il Metodo degli Elementi Finiti (Malerba 1998). Benché tale strumento si riveli molto affidabile e spesso indispensabile nello studio di alcune situazioni particolari, l'elevato onere computazionale delle analisi non lineari, i cui risultati sono validi solo per la particolare storia di carico ipotizzata, ne impedisce spesso l'impiego nella progettazione corrente. Inoltre, allo stato attuale, non esiste una procedura generale per la traduzione dei risultati delle analisi in disposizioni di armatura. Soluzioni ragionevolmente approssimate per i casi pratici si possono così ottenere solo al prezzo di ipotesi semplificative che, pur non trovando completo riscontro nella realtà, permettono di cogliere il comportamento strutturale dominante.
   Con queste finalità, negli ultimi anni sono state formulate diverse proposte orientate allo sviluppo di metodi razionali e consistenti per il progetto e la verifica di elementi in cemento armato mediante schemi di tipo discreto (Malerba 1999). In questo ambito si collocano le tecniche di modellazione Strut-and-Tie (S&T), che schematizzano il meccanismo resistente con un modello a traliccio, immagine discreta di un campo tensionale equilibrato delimitato da regioni di forma prismatica soggette ad uno stato di sforzo monoassiale e da regioni nodali di raccordo di forma poliedrica soggette a stati di sforzo pluriassiale (CEB 1982, Marti 1985a, 1985b, Schlaich et al. 1987, Schlaich & Schäfer 1991, IABSE 1991). Come noto, tali tecniche trovano il loro fondamento nei principi generali dell'Analisi Limite e possono essere considerate come una particolare applicazione del Teorema Statico (Nielsen 1984).
   L'Analisi Limite richiede un modello costitutivo dei materiali di tipo perfettamente plastico, peraltro senza riguardo per la fase che precede il flusso dissipativo in cui, per semplicità, il materiale si considera rigido. L'estensione dei Teoremi fondamentali al caso del cemento armato appare quindi giustificata solo nel caso in cui il comportamento strutturale risulti governato localmente dall'acciaio, come si verifica ad esempio per elementi debolmente o normalmente armati, in modo che lo scostamento dal modello ideale di plasticità perfetta risulti minimo. Tuttavia, anche in questi casi e certamente per elementi non armati o fortemente armati, le proprietà costitutive del calcestruzzo possono influenzare in maniera determinante la capacità portante. Il confronto di numerose soluzioni analitiche con i risultati sperimentali evidenzia tuttavia delle buone correlazioni quando nella definizione del modello vengono rispettate alcune condizioni di progetto che, a diversi livelli di scala, consentono di verificare l'efficienza dei materiali, l'integrità degli elementi costituenti il modello e la consistenza del modello stesso con l'effettivo stato tensionale di riferimento (Nielsen 1984).
   Nel seguito, dopo aver richiamato alcuni degli aspetti principali dell'Analisi Limite applicata al cemento armato, con particolare riguardo per i criteri propri dei metodi statici e per le tecniche di modellazione S&T, si esaminano nel dettaglio i limiti di validità della teoria e gli accorgimenti che possono essere adottati per la calibrazione dei risultati da essa forniti (Biondini 1999).


2. Tecniche di modellazione S&T come metodo statico per l'Analisi Limite di elementi in cemento armato

   Per una struttura soggetta ad una assegnata distribuzione di carico si definisce collasso plastico la perdita totale o parziale dell'equilibrio conseguente ad un flusso plastico caratterizzato da una crescita indefinita delle deformazioni sotto carico costante. In particolare, se risultano verificate le ipotesi di (i) piccoli spostamenti e (ii) comportamento perfettamente plastico dei materiali, l'entità dei carichi associati al collasso plastico, che si definisce sinteticamente carico di collasso, risulta indipendente dalla storia di carico. Si rende così possibile una sua valutazione diretta che costituisce l'oggetto dell'analisi limite.

2.1. Il modello perfettamente plastico e il Teorema Statico

 
  Per un materiale a comportamento perfettamente plastico il vettore έp che rappresenta il flusso plastico risulta normale ad una superficie di plasticizzazione 
f(s,k)=0 convessa ed invariante con il flusso stesso, essendo s un vettore rappresentativo dello stato tensionale e k un vettore di parametri del materiale. In questo ambito, sussiste il seguente Teorema: "Durante il collasso plastico lo stato tensionale si mantiene inalterato; di conseguenza gli incrementi di deformazione risultano interamente plastici". L'effettivo comportamento del materiale all'interno del dominio elastico risulta pertanto ininfluente ai fini della valutazione del carico di collasso e, pertanto, risulta ragionevole il ricorso ad un modello semplificato di tipo rigido-plastico. Nel seguito si farà riferimento a tale modello, assumendo le deformazioni interamente plastiche.
   Si consideri ora un corpo soggetto ad un sistema di carichi in parte costanti ed in parte variabili proporzionalmente (carichi base). Si definisce campo staticamente ammissibile una distribuzione tensionale in equilibrio con i carichi agenti e che soddisfa in ogni punto la condizione di conformità f (s,k) < 0. Il Teorema Statico dell'Analisi Limite si enuncia come segue: "Se per una assegnata distribuzione di carico esiste un campo tensionale staticamente ammissibile, la struttura non collassa o è al più in condizioni di incipiente collasso". Il carico di collasso associato ad un qualunque campo tensionale staticamente ammissibile risulta così approssimato per difetto e, pertanto, il Teorema Statico consente di operare in favore di sicurezza.

2.2. Discontinuità del campo di sforzi

 
  L'applicazione del Teorema Statico ad un corpo soggetto ad una assegnata distribuzione di carico richiede la costruzione di un campo tensionale staticamente ammissibile. Nel fare ciò si rivela spesso utile suddividere il corpo in sottodomini, in modo che ad ognuno di essi possa associarsi un diverso campo tensionale staticamente ammissibile. Benché ogni campo risulti per definizione continuo all'interno di ciascun sottodominio, lungo le superfici di interfaccia la continuità non risulta in generale verificata. Affinché l'ammissibilità statica risulti garantita su tutto il corpo, occorre quindi verificare l'equilibrio lungo tali superfici.
   Con riferimento per semplicità ad uno stato piano, sia  la linea di separazione fra due zone contigue del corpo interessate da campi tensionali distinti e (n,t) un sistema di riferimento locale con gli assi diretti secondo la direzione rispettivamente normale e tangente alla linea    in ogni suo punto (Fig. 1.a). L'equilibrio lungo   richiede l'uguaglianza delle tensioni normali sn e delle tensioni tangenziali tnt = ttn = t  (Fig. 1.b):

                                                                                 (1)

 

     Figura 1. Discontinuità del campo di sforzi.

mentre non introduce alcuna restrizione per le tensioni normali st (e quindi neanche per le eventuali tensioni normali agenti in direzione ortogonale al piano n-t). Se in particolare risulta  σItσIIt , la linea    si definisce linea (superficie) di discontinuità del campo di sforzi.


2.3. La modellazione S&T

  
Come già accennato, nella modellazione S&T, sostituite eventuali azioni distribuite con un numero adeguato di forze staticamente equivalenti, il meccanismo di trasmissione del carico viene schematizzato con un modello a traliccio. Il campo tensionale effettivo viene quindi condensato in campi tensionali monoassiali associati alle aste rettilinee costituenti il modello S&T, con le curvature delle linee di flusso concentrate in punti nodali definiti dalle intersezioni fra le linee d'asse dei singoli elementi e fra queste e le rette d'azione dei carichi applicati e delle reazioni vincolari. Dato che il traliccio risulta in genere internamente staticamente determinato, le forze nelle aste possono essere dedotte con semplici considerazioni di equilibrio.
   Normalmente i puntoni sono aste di calcestruzzo, mentre i tiranti rappresentano uno o più strati di armatura. Noto lo sforzo di compressione C nei puntoni e di trazione T nei tiranti, le condizioni limite di conformità f (s,k)=0, riassunte in Fig. 2 per il caso monoassiale, consentono di definire o verificare l'area minima delle sezioni trasversali delle aste:

C=fc*Ac         T=fyAs+D fpAp                                                                (2)

con Ac area di calcestruzzo,  A area delle armature lente e Ap area delle armature di precompressione. Naturalmente, in fase di progetto le resistenze limite dei materiali andranno identificate con i valori caratteristici ed opportunamente ridotte per tenere conto sia delle modificazioni a lungo termine, sia dei relativi coefficienti di sicurezza.

    

Figura 2. Limiti di resistenza monoassiale dei materiali: (a) calcestruzzo f*c ; (b) acciaio normale fy ; (c) acciaio da precompressione fpy(fp0º sforzo di precompressione).


Figura 3. Tipica conformazione dei puntoni di calcestruzzo: (a) a ventaglio; (b) a prisma.

 Le aste del modello comunque, anche se per la valutazione dei flussi di forza si considerano monodimensionali ed interconnesse in punti singolari, hanno dimensioni finite ed individuano all'interno della regione esaminata delle zone caratterizzate da campi tensionali uniformi (Fig. 3). Le linee che delimitano tali zone sono quindi delle linee di discontinuità del campo di sforzi. Lungo le linee di discontinuità parallele al flusso tensionale, l'equilibrio è chiaramente verificato (Fig. 1.b), mentre lungo le altre linee di discontinuità è richiesta la presenza di elementi nodali di raccordo di forma poliedrica e soggetti a stati di sforzo pluriassiale. Al sistema di forze equilibrato associato alla struttura a traliccio immagine discreta del flusso tensionale effettivo è così possibile far corrispondere un campo tensionale anch'esso equilibrato.
 Qualora le condizioni di conformità risultino soddisfatte anche nelle zone nodali in regime pluriassiale, il campo tensionale definito implicitamente dal modello S&T risulta nel complesso equilibrato e conforme e, quindi, staticamente ammissibile. Il dimensionamento degli elementi costituenti (puntoni, tiranti, nodi) avviene così in accordo con il Teorema Statico (Fig. 4).



Figura 4. Modelli S&T di alcune tipiche zone diffusive (Sigrist et al. 1995).

3. Limiti di validità e calibrazione dei metodi statici

   Dato che il comportamento del calcestruzzo si discosta notevolmente dal modello ideale di perfetta plasticità, l'attendibilità di una valutazione diretta del carico di collasso per le strutture in cemento armato risulta legata ad alcune condizioni di progetto che, a diversi livelli di scala, consentono di verificare l'efficienza dei materiali, l'integrità degli elementi costituenti il modello e la consistenza del modello stesso con l'effettivo stato tensionale di riferimento:
(1) la resistenza del calcestruzzo deve essere ridotta mediante un fattore di efficienza;
(2) l'integrità dei puntoni di calcestruzzo deve essere assicurata mediante un'armatura   diffusa in grado di sopperire alla limitata resistenza a trazione del materiale, mentre le armature che realizzano i tiranti devono avere un adeguato ancoraggio che da un lato ne assicuri il corretto funzionamento e dall'altro contribuisca a confinare le zone nodali di raccordo;
(3) il meccanismo resistente ipotizzato deve potersi effettivamente attivare prima che la limitata capacità deformativa dei materiali si esaurisca.

3.1. Il fattore di efficienza del calcestruzzo

   La duttilità del calcestruzzo nel campo delle trazioni risulta alquanto limitata. Si osserva comunque che il contributo della resistenza a trazione alla capacità portante risulta in genere modesto, tanto che in fase di progetto usualmente si trascura. Questo modo di operare, oltre ad essere conservativo, consente di ipotizzare un comportamento del materiale con duttilità illimitata in corrispondenza di una resistenza a trazione nulla. Ai fini dell'applicazione dei metodi propri dell'Analisi Limite non risulta invece possibile definire un approccio altrettanto rigoroso nel campo delle compressioni. Il legame monoassiale del calcestruzzo presenta infatti una resistenza di picco per eco » -2%0 ed un successivo ramo caratterizzato da un degrado di resistenza al crescere della deformazione (softening), fino al raggiungimento di una deformazione ultima  ecu pari ad alcune volte  eco e comunque molto inferiore a quella dell'acciaio (Fig. 5.a). Tali caratteristiche possono inoltre essere modificate localmente dalla fessurazione e dai meccanismi di interazione acciaio-calcestruzzo. Come conseguenza, le proprietà di convessità, invarianza e normalità non sono in generale verificate.
 Il confronto di numerose soluzioni analitiche con i risultati sperimentali mostra tuttavia delle buone correlazioni a patto di operare con una resistenza a compressione monoassiale ƒ*c opportunamente ridotta e definita resistenza plastica o resistenza efficace:

f*c=vc fc                                                                                                                        (3)

con  vcЄ[0;1]  fattore di efficienza (effectiveness factor). Operando comunque in campo statico, la scelta di un adeguato fattore di efficienza non è legata semplicemente alla necessità di minimizzare lo scostamento dei risultati teorici dai livelli di carico ultimo effettivi, bensì, in accordo con il Teorema Statico, deve condurre ad una stima per difetto   nc- < nc
che, con ragionevole approssimazione, consenta di operare in favore della sicurezza. Si osservi comunque che, a causa del forte scostamento dal modello costitutivo ideale, la distribuzione delle sollecitazioni a collasso può non essere attendibile, in quanto la validità della superficie di plasticizzazione e della regola di flusso associato è soltanto formale.

3.1.1 Un criterio energetico

   
Il fattore di efficienza dovrebbe essere determinato sperimentalmente, confrontando le previsioni teoriche con le evidenze sperimentali. Tuttavia, il suo significato fisico suggerisce anche una sua diretta correlazione con le proprietà costitutive del materiale (Exner 1979).

  

Figura 5. Legame del calcestruzzo in compressione monoassiale e modello rigido-plastico. (a) Fattore di efficienza vc. (b) Condizione di equivalenza sulle energie per una stima di vc in regime monoassiale.

   Si considerino due sistemi strutturali 1 2 differenti soltanto nelle proprietà costitutive dei materiali e soggetti ad una storia di carico di tipo proporzionale fino al collasso. Nell'ipotesi che ovunque gli incrementi di deformazione mantengano sempre lo stesso segno, lo stato di tensione  s risulta punto per punto correlato allo stato di deformazione e tramite una funzione  Ф=Ф(ε)  che assume il ruolo di energia di deformazione (σ=dΦ/dε). Si faccia inoltre l'ipotesi che, qualora lo stato di deformazione si mantenga ovunque all'interno di un dominio assegnato  g(ε)<0, risulti Ф1 > Ф2. Ciò premesso, indicando con m il massimo valore attinto dal moltiplicatore scalare dei carichi, si dimostra che  m1 > m2.
   Si applica ora questo risultato al caso del calcestruzzo. A tale scopo, si confronti in Fig. 5.b il legame effettivo 1 con il legame bilatero 2‚ tangente all'origine alla curva 1 ed avente una soglia plastica  ƒ*c = ncƒc definita dalla condizione Ф1u =Ф2u , in cui l'energia Фu = Ф(εcu) si identifica con l'area sottesa dal corrispondente diagramma. Con una trascurabile eccezione in prossimità della zona di transizione fra i due rami del legame bilatero, risulta:

Ф1>Ф2    "ec|g(ec)£0 , con   g(ec)= ecu -ec  
                                             (4)

Pertanto, in base al risultato richiamato, il legame 2, definito dalla condizione Ф1u = Ф2u , corrisponde ad una stima per difetto del carico di collasso associato al legame 1. Con ciò si evidenzia come il fattore  nc così dedotto soddisfi ai requisiti richiesti dal Teorema Statico.

   Sulla base di tale criterio e con riferimento ad una curva sc-ec  proposta in letteratura, è stato determinato  nc come una funzione della resistenza ƒc al variare del parametro di deformazione ultima ecu (Exner 1979), rilevando una dipendenza da ƒc del tipo:

                                                                                       (5)

con k=k(εcu). Prove sperimentali condotte su travi con sola armatura longitudinale hanno poi consentito di stimare k=3.2, che corrisponde ad una deformazione ultima ecu » -10%0, alquanto superiore ai livelli usuali in regime monoassiale. I valori di deformabilità effettiva avrebbero pertanto condotto ad una sovrastima di nc. Ciò è dovuto al fatto che il criterio introdotto: (1) fa riferimento al solo caso monoassiale; (2) trascura la possibilità di inversione del gradiente di deformazione, ovvero prescinde dall'irreversibilità del fenomeno identificando il calcestruzzo con un materiale elastico.

3.1.2 Correlazioni teoriche, sperimentali ed empiriche

  
Un caso in cui è possibile valutare teoricamente per via diretta il fattore di efficienza è quello della flessione pura. Questo è stato fatto correlando nc alla resistenza del calcestruzzo  ƒc ed alla percentuale geometrica di armatura r. Su questa base di dati, è stata proposta una relazione per la stima del valore minimo di nc al variare di r (Nielsen 1984):

                                                                               (6)

Su base sperimentale invece, una analoga relazione è stata proposta per sollecitazione di flessione e taglio nel caso di travi con armatura trasversale (Nielsen 1984):

                                                                                 (7)

Il campo di validità di tali relazioni è quello dei calcestruzzi a normali prestazioni. La loro estensione ai calcestruzzi ad alte prestazioni non è immediata, in quanto conduce a risultati eccessivamente cautelativi (Foster & Gilbert 1996). Per questi calcestruzzi sembrano invece più adatte formulazioni riconducibili alla (5). Ad esempio, la relazione (Bergmeister et al. 1991):

                                                                                 (8)

è stata validata per resistenze fino a ƒc=80MPa, considerando anche l'effetto di confinamento delle armature trasversali. In Fig. 6 si opera un confronto fra le proposte sinora richiamate.
   Viste le incertezze in gioco e la dispersione dei dati, in molti casi vengono suggeriti valori prudenziali, come ad esempio nc = 0.6 (Marti 1985, Rogowsky & MacGregor 1986). Più in generale comunque, occorre tenere conto della dipendenza non solo da ƒc, ma anche da altri parametri in gioco (p.e. caratteristiche e disposizione delle armature, geometria della struttura, condizioni di vincolo e di carico, ecc.) o, in alternativa, fare riferimento a grandezze ad essi correlate rappresentative del campo statico o cinematico in prossimità del puntone considerato. Ad esempio, con riferimento allo stato di fessurazione, alcuni Autori definiscono classi di severità del quadro fessurativo assegnando a ciascuna classe un valore variabile fra nc= 0.4 e nc= 1.0 (Schlaich et al. 1987, Schlaich & Schäfer 1991). Ad un maggiore livello di dettaglio si colloca invece una formulazione in cui il fattore di efficienza viene fatto dipendere del valor medio della deformazione   in direzione normale al puntone (Collins & Mitchell 1986):

                                                                              (9)

Se si assume come deformazione principale massima, la e1 può essere dedotta dal cerchio di Mohr in funzione della deformazione principale minima e2   e della deformazione ex  lungo una direzione x ruotata di q rispetto al riferimento principale. In particolare, per una stima prudenziale di e1 si identifica generalmente la e2 con la deformazione di compressione al picco e la ex con la deformazione allo snervamento delle armature ey = ƒy / Es, nell'ipotesi che queste siano disposte lungo la giacitura x. In questo caso si ha:

                                                  (10)
 

Figura 6. Confronto fra alcune proposte per una stima cautelativa di  vc in funzione di ƒc.

   Con tale approssimazione, si perde però la dipendenza da ƒc. Peraltro, anche considerando una variabilità della deformazione al picco con la classe di resistenza, la dipendenza da ƒc si mantiene limitata (Foster & Gilbert 1996). Una formulazione più generale assume invece il fattore di efficienza come prodotto di due contributi (MacGregor 1997):

ncn1 n2                                                                                       (11)

con  n1 =n1(ƒc) e n2 =n2(q). In particolare, per n1 si consiglia il riferimento alla (8) con il termine costante modificato a 0.55, mentre per n2 viene fornito un set di valori fra n2 =0.6 e n2 =1.0 in funzione dell'inclinazione delle fessure e della presenza o meno di armature. Questo tipo di approccio consente in generale di prescindere da una valutazione diretta del campo statico e/o cinematico nel continuo di riferimento. In genere comunque la ricerca di uno schema S&T consistente con il flusso tensionale deve fare riferimento ai risultati di un'analisi strutturale, per cui può risultare agevole definire il coefficiente n2 in funzione dell'orientamento medio del puntone nel campo di sforzi effettivo (Biondini et al. 1999a).

3.2. Confinamento delle zone nodali, ancoraggio dei tiranti e integrità dei puntoni

   
Per un nodo tipico risultante dall'intersezione di tre aste si possono avere quattro diverse tipologie in funzione delle combinazioni di puntoni C e tiranti T confluenti nel nodo stesso, sinteticamente denominate CCC, CCT, CTT e TTT. Si consideri il nodo CCC in Fig. 7.a. Le intersezioni dei lati dei puntoni definiscono una zona triangolare in compressione biassiale. Il suo stato di sforzo può essere determinato con l'ausilio di una costruzione di Mohr (Fig. 7.b).
1) Si tracciano i circoli di Mohr associati allo stato di sforzo in ogni puntone.
2) Su tali circoli si individuano i poli QA, QB, QC.
3) Si tracciano le parallele ai lati del triangolo BC, CA, AB, attraverso i poli QA, QB, QC.
4) I punti A, B, C, intersezioni di tali linee con i relativi circoli di Mohr, definiscono il circolo associato allo stato di sforzo nella regione nodale. L'intersezione di tali linee definisce inoltre il polo Q del circolo.
La geometria del nodo è definita dalle dimensioni dei puntoni, fissate dalla resistenza  ƒ*c. Se la resistenza è la stessa per tutti i puntoni, nella regione nodale si realizza uno stato di sforzo pseudo-idrostatico con s1 = s2 = ƒ*ed i lati che la delimitano risultano ortogonali agli assi dei puntoni. Il circolo di Mohr degenera quindi in un punto. Questa favorevole situazione si può conseguire anche nel caso di resistenze diverse da puntone a puntone, rinunciando al massimo sfruttamento del materiale. La conformità per un nodo CCC risulta quindi assicurata dal soddisfacimento della conformità dello stato di sforzo monoassiale nei singoli puntoni.

 
                                      (a)                                                         


Figura 7. Nodo tipo CCC: (a) stato di sforzo biassiale; (b) cerchio di Mohr (Marti 1985).


         

Figura 8. Ancoraggio delle armature oltre la zona nodale: (a) impiego di una ipotetica piastra metallica (nodo CCT); (b) con conformazione a cappio delle barre.

   Il procedimento descritto per il nodo CCC può essere applicato anche alle tipologie CCT, CTT, TTT. Infatti, se un tirante viene ancorato oltre il nodo, ad esempio mediante una ipotetica piastra metallica, la corrispondente forza di trazione può essere trattata come una forza di compressione applicata nella zona di ancoraggio (Fig. 8.a). Ci si riconduce così ancora allo schema CCC. In realtà l'ancoraggio viene in genere realizzato con una disposizione a cappio delle armature che inglobi l'intera zona nodale. Si dispongono anche degli spinotti di irrigidimento per consentire una ripartizione uniforme del tiro fra i vari strati di armatura (Fig. 8.b). L'equivalenza statica chiaramente non sussiste se l'ancoraggio viene realizzato per aderenza. La presenza di componenti di trazione infatti indebolisce il nodo e la verifica della condizione di conformità può diventare critica. In questi casi comunque, dato che molte tipologie di nodi si ripetono con una certa frequenza, l'esperienza ha consentito di formulare regole di verifica semplificate (Schlaich et al. 1987, Schlaich & Schäfer 1991). Qualora si abbia invece la convergenza di più di tre elementi, la regione nodale assume forma poligonale e la valutazione dello stato di sforzo può richiedere considerazioni addizionali (Schlaich & Anagnostou 1990).
   Oltre all'armatura principale localizzata in prossimità dei tiranti, occorre disporre anche un'armatura addizionale di tipo diffuso in grado di sopperire alla limitata resistenza a trazione del calcestruzzo e garantire così l'integrità dei puntoni. Si dispone in genere un'armatura a maglie ortogonali dimensionata sulla base di modelli S&T locali (Schlaich et al. 1987, Schlaich & Schäfer 1991) o mediante modelli discreti del tipo Stringer-and-Panel (Malerba 1999).

3.3. Consistenza del modello S&T con il campo tensionale

  
I modelli S&T non sono dei modelli di comportamento, ma consentono di visualizzare un flusso di forze di riferimento, nell'ipotesi che la struttura possa adattarsi al meccanismo ipotizzato. Con specifico riferimento alla possibilità di attivazione del modello, il percorso dei carichi attraverso la struttura fino ai vincoli a terra può essere ipotizzato con specifico riferimento a situazioni di esercizio o ultime. In linea generale, le forze che operano la diffusione dei carichi acquistano un braccio di leva maggiore andando verso la crisi, con i tiranti del traliccio così individuato che richiedono quantitativi di armatura minori rispetto a quelli che si renderebbero necessari facendo riferimento alla fase di esercizio. A questo proposito comunque, si deve osservare che il realizzarsi dello schema resistente, anche se teoricamente indipendente da considerazioni di tipo cinematico, può essere impedito dalla capacità deformativa dei materiali. Infatti, nel caso in cui la crisi risulti governata localmente dal calcestruzzo, la limitata duttilità della matrice rispetto a quella delle armature introduce una dipendenza del carico di collasso dal campo di deformazione. Pertanto, se il percorso assunto differisce troppo da quello che tende ad instaurarsi in fase fessurata, la struttura può risultare incapace di sviluppare quella ridistribuzione degli sforzi necessaria per adattarsi al percorso di equilibrio ipotizzato (Schlaich et al. 1987, Biondini et al. 1999b). In base a tali considerazioni, dal punto di vista progettuale è preferibile orientare il modello in accordo con la situazione di esercizio, il cui stato di sforzo risulta in genere ben rappresentato dai risultati di un'analisi condotta in campo elastico lineare, garantendo in tal modo l'effettivo instaurarsi di una condizione di equilibrio che può assumersi valida fino allo stato limite ultimo (Schlaich & Schäfer 1991, Antonelli et al. 1999).

4. Conclusioni

  
In questo lavoro, dopo aver richiamato alcuni degli aspetti principali dell'Analisi Limite applicata al cemento armato, con particolare riguardo per i criteri propri dei metodi statici e per le tecniche di modellazione S&T, sono stati presentati e discussi i limiti di validità della teoria e gli accorgimenti che possono essere adottati per la calibrazione dei risultati da essa forniti. In particolare, dato che il comportamento del calcestruzzo si discosta notevolmente dal modello ideale di perfetta plasticità, si evidenzia come l'attendibilità di una valutazione diretta del carico di collasso per le strutture in cemento armato risulta legata ad alcune condizioni di progetto che, a diversi livelli di scala, consentono di verificare l'efficienza dei materiali, la l'integrità degli elementi costituenti il modello S&T e la consistenza del modello stesso con l'effettivo stato tensionale di riferimento.

Riferimenti bibliografici

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K. Bergmeister, J.E. Breen & J.O. Jirsa. Dimensioning of the Nodes and Development of Reinforcement. Structural Concrete, IABSE Colloquium Report, Stuttgart, 62, 551-556, 1991.

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