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MODELLI DISCRETI PER IL PROGETTO DELLE ZONE DIFFUSIVE IN ELEMENTI IN C.A.

Pier Giorgio MALERBA, Dipartimento di Ingegneria Civile, Università di Udine.

SOMMARIO

La recente letteratura ed i documenti normativi più aggiornati danno spazi sempre più ampi alle tecniche di progettazione di elementi in c.a. mediante modelli discreti, basati su elementi lavoranti a stato di sforzo costante (reticoli di puntoni e tiranti, sistemi a pannelli e correnti).
Tali modelli contribuiscono a dare evidenza fisica all’effettivo comportamento strutturale e consentono al progettista di cogliere sia le modalità di discesa dei carichi, dalle zone di applicazione ai vincoli a terra, sia quei meccanismi locali che guidano alla scelta delle disposizioni costruttive di dettaglio.
In questa nota si richiamano gli aspetti generali di queste impostazioni di calcolo. In successive presentazioni verranno trattate in dettaglio le procedure operative riguardanti gli elementi strutturali con carattere di maggiore ricorrenza.

1. INTRODUZIONE

Dal punto di vista dell’analisi strutturale, lo studio di strutture comunque complesse può essere svolto mediante il Metodo degli Elementi Finiti. Tuttavia, il progetto della stessa struttura come elemento in C.A. non è né immediato, né univoco e si può affermare che, a tuttora, non esiste una procedura generale per passare da un assegnato campo di sforzi al corrispondente schema resistente.
Ben definiti criteri sono stati formulati per sollecitazioni di azione assiale, flessione, taglio e torsione riferite ad elementi snelli. Mentre un aspetto comunemente riconosciuto come problematico riguarda quegli elementi strutturali che non possono essere inquadrati nella comune teoria tecnica delle travi, come ad esempio accade per le zone diffusive.

2. LE DIVERSE CLASSI DELL’ANALISI STRUTTURALE

Il dimensionamento di un elemento portante richiede la conoscenza del suo stato di sforzo e questo comporta lo svolgimento di un’analisi strutturale. In base ai principi della meccanica, ogni analisi richiede il rispetto delle condizioni di equilibrio e di congruenza, tenendo conto di una idealizzazione del materiali che sia effettivamente rappresentativa. La Tabella 1 (adattata da Reineck, 1993) mostra come tali condizioni sono soddisfatte in analisi lineari, non lineari e limite. In particolare l’analisi limite consente una valutazione razionale e sintetica del comportamento strutturale. Assumendo il comportamento dei materiali come rigido-plastico, essa sceglie una rappresentazione essenziale delle loro capacità portanti, facendole dipendere dal solo sforzo resistente.

Scopo dei modelli orientati in modo specifico al progetto è quello di porre in evidenza i meccanismi resistenti e di ricondurre l’intero problema a pochi ed essenziali parametri, immediati da cogliere ed agevoli da impiegare per ogni valutazione riguardante dimensionamenti e verifiche. I più diffusi fra tali modelli fanno ricorso a schemi discreti, nei quali gli elementi in c.a. vengono rappresentati mediante campi di sforzo costante, quali reticoli di puntoni (struts) e tiranti (ties) e sistemi composti da correnti e da pannelli lavoranti a puro taglio (stringers and shear panels) (Fig.1).

Fig. 1. Generalized design problem (SLS: Modellization towards Serviceability Limit States; USL: Modellization towards Ultimate Limit States)

3. IL MODELLO PUNTONE E TIRANTE (STRUT AND TIE MODEL, S&TM)

Una soluzione a carattere generale dei problemi diffusivi che riguardano gli elementi strutturali in C.A. può essere dedotta dall’analisi limite mediante schemi a traliccio in grado di modellare sia il meccanismo di trasmissione dei carichi, sia la ripartizione dei ruoli portanti tra calcestruzzo ed acciaio. Gli sviluppi più recenti definiscono questo tipo di modellazione Strut and Tie (S&T).

3.1. Suddivisione in zone di Bernoulli (B-Regions) e zone Diffusive (D- Regions)

Una prima interpretazione del comportamento d’assieme di una struttura, individua le zone che si comportano come elementi snelli, assimilabili a travi, e le zone che presentano singolarità statiche o geometriche (Fig. 2.a, b, c). Questo porta a suddividere la struttura in zone cosiddette di Bernoulli (B-Regions) ed in zone Diffusive (D-Regions).
B-Regions
. Per travi snelle, con rapporto luce/altezza > 3, l’ipotesi per la quale le sezioni ruotano restando piane è ben approssimata. In accordo con il principio di Bernoulli si può allora assumere che le deformazioni longitudinali siano distribuite linearmente sull’altezza della sezione e ricavare i corrispondenti sforzi generalizzati (azione assiale, tagli, momenti flettenti e torcente). Le regioni di una struttura dove prevale un regime alla De Saint Venant sono usualmente denominate B-Regions, dove B- sta per Bernoulli o per Beam (Schlaich, Schaefer e Jennewein 1987).
D-Regions
. Per molti elementi strutturali (travi alte, mensole tozze, selle di appoggio) e per diversi sottosistemi presenti nelle strutture correnti (zone nodali, spigoli rientranti, zone in prossimità di carichi concentrati o nell’intorno di aperture) l’ipotesi cinematica di distribuzione lineare delle deformazioni non può essere ritenuta valida, né si possono applicare le usuali teorie del C.A. Tali zone sono classificate come D-Regions, dove D- sta per zona Diffusiva, Discontinuità, o Dettaglio. Esse corrispondono alle zone escluse dal Principio di De Saint Venant. Secondo tale Principio le sezioni che separano le zone B- e D- possono essere assunte ad una distanza h dalle sezioni che delimitano i bordi della zona di singolarità, dove con h si indica l’altezza dell’elemento strutturale nelle adiacenti zone (B-).

 Fig. 2. (a) Diffusion zones (D-regions), due to geometrical discontinuities.
(b) Diffusion zones (D-regions), due to statical discontinuities.
(c) Example of a framed structure into B- and D-regions (redraw from Schlaich et al., 1987).

3.2. Modellazione della Struttura

Un modello Strut and Tie è di solito formato da un traliccio resistente composto da puntoni in calcestruzzo (Struts), tiranti in acciaio (Ties) e regioni nodali, intese come aree poligonali che circoscrivono i punti di intersezione tra gli assi delle bielle e/o delle rette d’azione dei carichi e delle reazioni vincolari. Se le condizioni di equilibrio e le limitazioni sullo sforzo resistente dei materiali sono rispettati, un tale modello, in accordo con il teorema statico dell’analisi limite, porta a stime sicure della capacità portante ultima della struttura. I metodi più seguiti per la ricerca del traliccio resistente sono:
Il Metodo del Percorso dei Carichi. La regione D viene considerata come un corpo libero, soggetto a distribuzioni autoequilibrate di forze e di sforzi applicati lungo il bordo. Il diagramma di sforzi viene suddiviso in risultanti parziali, ciascuna delle quali è in equilibrio con una forza corrispondente agente sulla faccia opposta. Le singole risultanti parziali e le forze applicate sono poste in relazione mediante percorsi di carico rappresentati da linee che non si intersecano tra loro. Quando i carichi non sono equilibrati, i percorsi di carico per le rimanenti componenti di forza rientrano nella struttura e terminano sulla stessa faccia di partenza (Fig.3.e, percorso 8-3-5). Il modello S&T viene configurato modellando il percorso di carico mediante linee poligonali, deviate ai nodi da puntoni e tiranti operanti trasversalmente.
Il metodo a tutto campo. La regione D è un sistema continuo bi/tridimensionale, analizzato come tale per Elementi Finiti. Puntoni e Tiranti vengono disposti modellando i percorsi curvilinei del flusso delle isostatiche mediante linee poligonali. I Puntoni sono le risultanti di campi di compressione uniformi o convergenti a ventaglio. I Tiranti sono le risultanti o del contributo di armature o di sforzi di trazione nel calcestruzzo in zone tese. I nodi sono volumi di calcestruzzo confinato, nei quali i puntoni compressi sono deviati da armature adeguatamente ancorate o da altri puntoni.
Ottimizzazione del Modello S&T. Il procedimento per definire un modello S&T non è univoco. Modellando traiettorie di sforzo e di carico con andamento curvilineo mediante segmenti di retta, è inevitabile introdurre approssimazioni e scelte soggettive. Ricordando che in Natura la diffusione dei carichi avviene in modo tale che l’energia di deformazione associata risulti minima, una razionale filosofia di progetto cercherà di realizzare il traliccio di massima rigidezza che, per un’assegnata condizione di carico, coincide con quello di minimo volume di materiale (Hemp, 1973).
L’Analisi. L’elemento strutturale assegnato, che occupa un dominio continuo, è così ridotto ad un modello discreto, composto da tiranti e puntoni. Si determinano le forze agenti sulle barre del modello e, tramite queste, si dimensionano, o si verificano, i puntoni in calcestruzzo, i tiranti in acciaio e le zone nodali.


Fig. 3. Generation of the optimal S&T model for an end loaded block.

3.3. Modellazioni discrete a Traliccio e Plasticità del C.A.

Una valutazione di capacità portante fondata sul modello S&T ha il suo fondamento teorico nel Teorema Statico dell’Analisi Limite, valida per un materiale ideale, perfettamente plastico e di illimitata duttilità. Sotto queste ipotesi qualsiasi campo di sforzi ammissibile porta a determinare una capacità portante non maggiore di quella effettiva e, pertanto, ad una valutazione conservativa del carico di collasso.
Per determinati materiali, quale l’acciaio, l’idealizzazione di materiale perfettamente plastico è aderente alle sue effettive proprietà fisiche. Per il calcestruzzo, l’ipotesi di perfetta plasticità è discutibile. Quando il comportamento di un elemento strutturale è governato principalmente dall’acciaio di armatura, la Teoria della Plasticità è applicabile. Quando la capacità portante dipende principalmente dalle proprietà del calcestruzzo, come accade per gli elementi sovrarmati o per quelli privi di armatura, l’applicabilità dello S&TM richiede alcune puntualizzazioni.
Il legame sforzo-deformazione monoassiale del calcestruzzo è infatti caratterizzato da un valore di picco, la sua resistenza, seguito da un accentuato ramo softening, che termina a valori di deformazione ultima molto inferiori a quelli dell’acciaio, mostrando, con questo, limitata duttilità. La curva carico spostamento per un elemento in C.A. si sviluppa di solito nello stesso modo, ovvero presenta un valore di picco, corrispondente alla capacità portante, seguito da un ramo discendente, con pendenza più o meno accentuata, fino al collasso. Anche strutture poco armate presentano un tale picco, benché con tratti, nell’intorno del massimo, molto piatti.
E’ quindi ovvio che il carico che può essere portato da strutture il cui collasso dipende dal calcestruzzo, è fortemente dipendente dalla distribuzione delle deformazioni al valore di picco del carico, mentre le già esposte ipotesi iniziali erano assunte implicitamente indipendenti dall’effettivo comportamento strutturale ed in particolare dall’effettivo campo cinematico. Per evitare rotture premature, nello sviluppare modelli discreti a traliccio, si devono quindi seguire alcune regole. Se queste vengono applicate, il progetto d’un elemento strutturale così dimensionato è sicuro. In effetti diverse soluzioni dedotte da modelli S&T e dal teorema statico sono risultate sia dal punto di vista numerico, sia nel comportamento meccanico, in buon accordo con i risultati sperimentali. Questo accordo viene ottenuto adottando nei calcoli un valore di resistenza del calcestruzzo ridotto rispetto a quello uniassiale. Tale resistenza ridotta, usualmente chiamata resistenza effettiva, è data da  dove  è lo sforzo uniassiale di progetto e  è un fattore di efficienza (). Dal punto di vista concettuale esso può essere visto come una misura dello scarto tra il valore effettivo e quello teorico del moltiplicatore del carico. Esso dipende dagli stati di sforzo e di deformazione, dalla geometria della struttura, della disposizione dei carichi e degli appoggi, dalla classe del materiale (normale o ad alta resistenza).
In particolare si può tener conto che l’effettivo sforzo di compressione può essere considerevolmente ridotto dalla presenza di deformazioni trasversali di trazione (Collins e Mitchell, 1986) e che la resistenza effettiva dei puntoni decresce con il crescere della resistenza del calcestruzzo. Tramite  questa corrispondenza viene fatta dipendere da un unico parametro. La valutazione analitica di  è possibile solo per casi semplici, sia pure significativi (Exner 1979, Nielsen 1984). Per soluzioni a carattere generale ed in particolare per elementi compressi di un S&TM, diversi Autori hanno proposto espressioni specializzate di , calibrate su ciascuno dei parametri prima citati (Foster, 1996; 1998).

4. IL MODELLO A PANNELLI E CORRENTI (STRINGER PANEL MODEL, S&PM)

Con riferimento ad elementi in regime di membrana (sistemi piani caricati nel loro piano) si può osservare che: (a) lo schema di armatura delle pareti è di solito costituito da fasci di barre allineate lungo le direttrici maggiormente tese e compresse, lungo i bordi esterni e lungo i bordi a cornice di aperture. Il resto della parete è armato da reti con barre di piccolo diametro, distribuite in modo uniforme. (b) Sono state realizzate, e sono ben documentate, ampie sperimentazioni su pannelli armati in modo regolare ed uniforme e soggetti a stati di sforzo costante. I risultati così ottenuti sono inoltre ben modellati e riprodotti da teorie razionali ed adatte sia a semplici calcolazioni manuali, sia ad Analisi per Elementi Finiti (Vecchio e Collins, 1986; Hsu, 1991).
Sulla base di queste osservazioni si può pensare di suddividere la lastra mediante correnti e pannelli (Nielsen, 1984; Kaern, 1979) (Fig. 1.4a). I pannelli rappresentano campi di sollecitazione tangenziale costante. Per effetto dell’interazione con i flussi di taglio costanti, agenti lungo i bordi, lo sforzo assiale lungo i correnti varia linearmente. La tecnica risolutiva originale fu dedotta col Metodo delle Forze. Mediante trasformazioni matriciali, il metodo può essere riformulato in termini di spostamenti (Argyris 1960, Przemieniecki 1968, Blaauwendraad e Hoogenboom 1996). Fin dagli anni ’30 il Modello S&P è stato applicato all’analisi elastica di strutture aeronautiche ed a molti problemi diffusivi, come lo shear lag in cassoni irrigiditi, la distribuzione di sforzi attorno ad aperture incorniciate da irrigidimenti ed il comportamento delle zone nodali in giunti trave-colonna. Nel Model Code 1990 viene esplicitamente proposto per il progetto delle strutture in parete sottile.
Progetto dell’Armatura. Sulla base dei risultati di un’analisi elastica col Modello S&P, si dimensionano pannelli e correnti. Nella formulazione base del Metodo, i correnti sono armati nei riguardi dell’azione assiale ed i pannelli per solo sforzo tangenziale. L'azione assiale lungo i correnti varia linearmente e pertanto essi possono risultare totalmente tesi o compressi oppure avere un certo tratto in trazione e la lunghezza complementare in compressione. Il corrispondente progetto dell’armatura e le verifiche sul conglomerato seguono gli stessi criteri che per il Modello S&T.
Il campo di sforzo tangenziale agente nei pannelli, porta all’adozione di una maglia di armature diffuse in due direzioni. Per il progetto dell’armatura diffusa in sistemi in regime di membrana, sono stati proposti in letteratura diversi metodi (Fig. 4.b, Nielsen 1984, Gupta 1984, Vecchio e Collins 1986, Fialkow 1990, Hsu 1991). In funzione dei valori dei rapporti di armatura nelle due direzioni, la rottura di un elemento di membrana può essere di tipo (a) duttile-duttile, (b) duttile-fragile, (c) fragile-fragile; (d) bilanciata (Han e Mau 1988, Hsu 1993).
La Fig.4.c mostra la zona diffusiva nell’intorno di un ancoraggio intermedio, posto nella controsoletta di un cassone. Nel progetto si è utilizzato il Modello S&P considerando i pannelli lavoranti a solo sforzo tangenziale. Il dimensionamento è stato svolto in modo da avere rottura duttile-duttile, per la quale le armature di entrambi gli ordini si snervano prima dello schiacciamento del calcestruzzo.

Fig. 4) Stringer and Panel Modellization. - Superposition of concrete stresses and steel stresses. - Stringer and Panel Model of the diffusion zone around an intermediate anchorage in the bottom flange of a box girder. - Reinforcement layout.

5. ALCUNI CONFRONTI

I Modelli Strut and Tie (S&TM) e Stringer Panel (S&PM) rappresentano due approcci completamente diversi alla soluzione della stessa classe di problemi, ovvero il progetto di elementi in C.A. con stati diffusivi. Il Modello S&T è ben noto ed ampiamente impiegato in fase di progetto. Maggiori commenti vengono qui riservati al Modello S&P.
Le principali differenze tra le due tecniche di modellazione possono essere così sintetizzate. A differenza del Modello S&T, il Modello S&P evita lo svolgimento di una doppia analisi (a) sul sistema continuo assegnato e (b) sul traliccio che ne modella i flussi di sforzo. Anche se nei limiti di particolari e prefissati campi di sforzo, il Modello S&P effettua allo stesso tempo sia l’analisi strutturale, sia la suddivisione in sottosistemi lavoranti in tensione/compressione ed in regime di membrana a puro taglio. Poiché considera come attive le deformazioni per scorrimento, lo S&PM tende a lavorare ad un livello di analisi più alto che non il modello a traliccio. Il metodo può essere considerato come un effettivo strumento di analisi con buone caratteristiche di convergenza. In ogni caso, esso porta a definire uno stato di sforzo in ogni punto del continuo assegnato. In tal modo esso non esclude quelle parti secondarie, a più bassi livelli di sforzo, che il Modello S&T può ignorare. In realtà nel Modello S&T la maggior parte di acciaio tende ad essere usata per armature concentrate, mentre nel modello S&P la maggior parte dell’acciaio è impiegata per armature diffuse. Inoltre, per effetto di una maggior gradualità del processo diffusivo, i risultati ottenuti dal Modello S&P comportano l’adozione di barre per le armature concentrate con lunghezza maggiore che non nel Modello S&T. Blaauwendraad e Hoogenboom (1996) mostrano che queste diverse disposizioni di armatura possono migliorare sia la risposta fessurativa, sia la capacità di ridistribuzione degli sforzi. Mediante adeguati criteri di progetto per stati membranali in grado di tenere conto dell’effettivo regime biassiale presente nella struttura, lo S&PM consente un più accurato tracciamento delle disposizioni costruttive di armatura. Il Modello S&P, inoltre, si configura come uno strumento naturale per l’analisi di strutture in parte sottile come coperture a folded plate, tegoli TT, cassoni e gusci realizzati per assemblaggio di elementi piatti di membrana. La posizione intermedia tra S&TM e FEM consente, infine, il suo sviluppo a più alti livelli di analisi e l’impiego in procedure interattive orientate al CAD di elementi in calcestruzzo armato.

6. CONCLUSIONI

In base queste osservazioni si può concludere che il modello S&T è più semplice da usare, è facile da verificare ed è orientato a problemi caratterizzati da forti singolarità, mentre lo S&PM è orientato a meccanismi diffusivi ampi e regolari. Questo secondo approccio appare quello tuttora aperto a nuovi e maggiori sviluppi, ma tendendo per sua natura al F.E.M., esso comporta maggiori e più complesse calcolazioni, non proponibili per sviluppi manuali. Infine, per una sua applicazione generalizzata esso deve esser oggetto di ulteriori e specifici approfondimenti focalizzati sia sugli aspetti metodologici (p.e. quale volume di parete va modellato da correnti e quale da pannelli), sia su estese verifiche circa la sua piena affidabilità.

7. BIBLIOGRAFIA

  1. ANGOTTI, A., SPINELLI, P. - 1995, "Alcune riflessioni per il Riconoscimento di Meccanismi Strut and Tie in strutture di Cemento Armato", L’Industria Italiana del Cemento, 9/1995, 506-514.
  2. ANTONELLI, A., ORLANDO, M., SPINELLI, P. - 1999, "Some Remarks on Failure Behaviour of R.C. Structures Designed using Strut-and-Tie Models", Advances in Structural Eng. and Mechanics (ASEM’99), 23-25 August, Seoul, Korea.
  3. ARGYRIS, J.H. (1960), Energy Theorems and Structural Analysis, Butterworth&Co. Ltd., London.
  4. BIONDINI, F., BONTEMPI, F., MALERBA, P. G. - 1996, "Search for Strut-and-Tie Models by Linear Programming". Studi e Ricerche, 17, 121-156, Scuola di Specializzazione in Costruzioni in C.A., Politecnico di Milano.
  5. BIONDINI, F., BONTEMPI, F., MALERBA, P. G. - 1998, "Optimization of Strut-and-Tie Models in Reinforced Concrete Structures", in G.P. Steven, O.M. Querin, H. Guan, Y.M. Xie (eds.) Structural Optimization, Oxbridge, Sydney, 285-292.
  6. BLAAUWENDRAAT J., HOOGENBOOM, P.C.J. - 1996, "Stringer Panel Model for Structural Concrete Design", ACI Sructural Journal, 93(3), 295-305.
  7. COLLINS, M.P., AND MITCHELL, D. (1986), "Rational Approach to Shear Design-The 1984 Canadian Code Provisions", ACI Sruct. J., Nov.-Dec., 925-933.
  8. EXNER H. – 1979, "On the Effectiveness Factor in Plastic Analysis of Concrete", Plasticity in Reinforced Concrete, IABSE Colloqium, Copenhagen, 29, 35-42.
  9. FOSTER, S.J. and GILBERT, R.I. (1998), "Experimental Studies on High Strength Concrete Deep Beams", ACI Struct. J., July-August, 382-390.
  10. FOSTER, S.J. and GILBERT, R.I. (1996), "The Design of Nonflexural Members with Normal and High Strength Concretes", ACI Struct. J., Jan.-Feb., 3-10.
  11. FIALKOW, M.N. – 1990, "Behaviour of Reinforced Concrete Membranes with Compatible Stress and Cracking", ACI Structural Journal, 87(5), 571-582.
  12. GUPTA, A.K., – 1984, "Membrane Reinforcement in Concrete Shells: a Review", Nuclear Engineering and Design, 82(10), 63-75.
  13. HAN, K.J., MAU, S.T. (1988): "Membrane Behaviour of R/C Shell Element and Limits on Reinforcement ", ASCE, J. of Struct. Eng., Vol. 114, No.2, Feb., 425-444.
  14. HEMP, W.S. – 1973, "Optimum Structures", Clarendon Press, Oxford.
  15. HSU, T.T.C. – 1991, "Nonlinear Analysis of Concrete Membrane Elements", ACI Structural Journal, 88(5), 552-561.
  16. HSU, T.T.C. (1993), " Unified Theory of Reinforced Concrete", CRC Press Inc. Boca Raton.
  17. KæRN, J. – 1979, "The Stringer Method Applied to Discs with Holes", Plasticity in Reinforced Concrete, IABSE Colloquium Copenaghen, 29, 87-93.
  18. NIELSEN M.P. – 1984, "Limit Analysis and Concrete Plasticity", Prentice-Hall: Upper Saddle River (NJ).
  19. PREZEMIENIECKI, J.S. – 1968, Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw Hill, New York (NY).
  20. REINECK K.H. – 1993, "Modelling Structural Concrete with Strut-and-Tie Models. Shear in B-Regions", Studi e Ricerche, Scuola di Specializzazione in Costruzioni in C. A., Politecnico di Milano, 14, 165-197.
  21. SCHLAICH, J., SCHÄFER, K. AND JENNEWIN, M. (1987), "Toward a Consistent Design of Structural Concrete", PCI Journal, 32(3), 72-150.
  22. VECCHIO F. J., COLLINS M. P. – 1986, "The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear", A.C.I. Structural Journal, 83(2), 219-231


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