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Estratto dagli atti del 14° Congresso C.T.E. Mantova, 7-8-9 Novembre 2002

SUL PROGETTO DELLE SEZIONI IN CEMENTO ARMATO
ALLO STATO LIMITE ULTIMO VINCOLATO ALLA LIMITAZIONE
DEL LIVELLO DELLE TENSIONI IN ESERCIZIO


LUIGI FENU, Università di Cagliari

SUMMARY

      Often the design of R/C cross-sections at the ultimate limit state leads, at the serviceability limit state, to need a greater amount of reinforcement or even to design the concrete cross-section again. In this paper we study the design of R/C crosssections in bending at ultimate subject to, under the serviceability conditions, the stresses in the concrete and in the steel bars are less than a code limit value. Therefore the design is considered like a constrained non-linear program problem where, at ultimate, given a field of admissible section ductility, we search for the concrete cross-section with the least overall depth and with the least reinforcement area, subject to stresses are less than the limit values recommended by the code under the serviceability conditions.

1. INTRODUZIONE

     
Nel metodo semiprobabilistico agli stati limite il progetto delle sezioni in cemento armato avviene allo stato limite ultimo lasciando ad una successiva fase le verifiche agli stati limite d'esercizio.
      Per le travi poco deformabili, però, le verifiche d'esercizio riguardanti la fessurazione e il livello tensionale nelle armature e nel calcestruzzo acquistano un'importanza preminente limitando la progettazione sino talvolta a obbligare a ridimensionare la sezione progettata allo stato ultimo; inoltre l'eccessiva fessurazione e un elevato livello delle tensioni in esercizio sono strettamente legati. L'Eurocodice 2 [1] poi, riprendendo il Model Code 1990 [2], consente che, nelle opere in cemento armato normale, la verifica di apertura delle fessure possa essere evitata limitandone la larghezza a 0.3 mm utilizzando il metodo indiretto di limitare le tensioni nell'acciaio tanto di più quanto maggiore è il diametro delle barre e limitando la spaziatura di queste ultime.
      Pertanto, al fine di avere una visione complessiva dei vari aspetti del progetto sia allo stato ultimo che in esercizio, in questo articolo il problema progettuale delle sezioni inflesse in c.a. allo stato ultimo è affrontato come un problema vincolato di programmazione non lineare in cui l'"obiettivo" del progetto di ottenere sezioni "ben proporzionate", cioè non troppo alte ed armate più del necessario, è raggiunto valutando nel contempo come soddisfare le condizioni in esercizio con opportuni "vincoli" all'"obiettivo" del progetto.


2. IL PROGETTO DELLE SEZIONI

     
Si considerano, per semplicità e a titolo di esempio, solo sezioni rettangolari con semplice armatura da progettare allo stato ultimo con il vincolo che la verifica del livello delle tensioni in esercizio sia soddisfatta; in particolare, controllando il livello delle tensioni nelle barre, che sia soddisfatta anche la verifica di fessurazione con metodo indiretto secondo l'Eurocodice 2.


2.1. LA STRUTTURA, LE AZIONI E I MATERIALI

     
Si consideri dunque il problema di progetto di dimensionare una sezione rettangolare inflessa in cemento armato allo stato ultimo col vincolo di non oltrepassare in esercizio i limiti delle tensioni prescritti dall'Eurocodice 2 per quella sezione, compresi quelli per la verifica di fessurazione con metodo indi retto; si consideri la semplice applicazione alla sezione di mezzeria di una trave in c.a. appoggiata alle estremità, di luce l, uniformemente caricata con i carichi permanenti G e i carichi variabili Q, di sezione rettangolare costante lungo la trave e con armatura semplice.
      Siano e le azioni caratteristiche, Gk Qk le azioni caratteristiche, Gd gG Gk  e Qd - gQ Qk le azioni di calcolo ove, con i coefficienti parziali dell'Eurocodice 2, gG - 1.4 e gQ - 1.5.
      Quanto ai materiali, si utilizza la simbologia correntemente utilizzata dall'Eurocodice2 rispettivamente per le resistenze di snervamento dell'acciaio e di compressione cilindrica del calcestruzzo e, negli esempi di questo articolo, fyk ed fck sono stati assunti rispettivamente pari a 400 e 20 Mpa con resistenze di calcolo fyd -348 MPa ed fcd - 12.5 Mpa rispettivamente.


2.2. L'OBIETTIVO DEL PROGETTO

     
Nel calcolo di progetto in esame, assegnata la larghezza b della trave, sono dunque incognite l'altezza utile d della sezione e l'area di acciaio teso As. Oltre alla larghezza, si impone il ricoprimento minimo r e si sceglie così il copriferro nominale c che consente poi di valutare la complessiva altezza H della trave.
      L'asse neutro è invece imposto dal progettista in base al la duttilità richiesta alla sezione. Preassegnato l'asse neutro, l'altezza della sezione e l'armatura sono quelle per le quali con le sollecitazioni assegnate si ha la più piccola altezza di trave senza armatura doppia: una minore altezza, con le stesse sollecitazioni, sarebbe possibile solo con armatura doppia.
      In questo scritto nella progettazione si utilizza  per l'asse neutro adimensionalizzato j
 - x/d un intervallo di valori compreso fra 0.26 e 0.40.
      Posto Md - 1/8 (Gd + Qd
)l2 dimensionando allo stato limite ultimo per ogni valore di j  nel suddetto intervallo, si ricavano l'altezza utile:

nonché il rapporto meccanico d'armatura:

        vs (j) = 0.85 b0 j

con

b0 = 0.8 e che sono quindi entrambi funzioni di j.

Fig.1 - Altezza utile richiesta [m]


Si ricavano allora rispettivamente l'altezza della trave:

             H(j) - d(j) +c

e l'area d'acciaio richiesta:

           As(j) = vs(j) b d(jfcd/fyd

anch'esse ovviamente in funzione di j.
      Il progettista, dunque, ai fini del raggiungimento dell'obiettivo del progetto, nel dimensionare la sezione, per j e [0.26, 0.40], può scegliere l'altezza utile ed il rapporto meccanico d'armatura trovati con la (1) e con la (2) fra quelli che ritiene più adatti e che sono funzione di j; dovrà però tenere conto, come si vedrà in seguito, dei vincoli al progetto.
      Come mostrato in fig.1 l'altezza utile è considerata variabile con continuità secondo la (1) al variare di j nell'intervallo di definizione: si ammette cioè che ciò sia ragionevolmente aderente alla realtà se si considerano le possibili altezze utili fra loro assai vicine, per esempio variabili di centimetro in centimetro.
      L'area di acciaio richiesta varia anch'essa con continuità al variare di j; nella pratica progettuale, le aree di acciaio disponibili non variano con continuità perché dipendono dai diametri commerciali. Dunque alle aree di acciaio richieste dal progetto bisogna associare quelle disponibili sul mercato fornite dall'industria siderurgica.

Fig.2 - Area di acciaio richiesta ed area di acciaio disponibile [mm2]


Tabella 1 - Armature disponibili


     
A seconda della dimensione della trave e, dunque, dell'entità delle armature, la scelta dei diametri avviene con differenti strategie: per esempio si possono utilizzare diametri tutti uguali, oppure solo di due tipi ma non troppo differenti fra loro e così via. Gli esempi di questo articolo sono riferiti ad una trave di larghezza b = 25  cm e per semplicità di esposizione si è scelto di utilizzare nella sezione ferri con diametri fra loro uguali in numero di quattro, con spaziatura massima fra le barre compresa fra 42 e 30 mm e con ricoprimento di almeno 40 mm.
      Pertanto mentre l'area di acciaio richiesta varia con continuità, l'area di acciaio disponibile ed effettivamente utilizzabile nella sezione varia, all'aumentare dei diametri, monotonicamente come una funzione a gradini: per le aree di acciaio richieste negli esempi considerati si assume di utilizzare i ferri indicati in tabella 1. Di conseguenza si può approssimare la funzione As (j) delle aree di acciaio richieste con una funzione a gradini di aree disponibili Asd (j)  (Fig.2).
       Anche l'interasse fra i ferri è una funzione a gradini di j: infatti ad ogni area disponibile relativa a ciascuna combinazione di ferri indicata in tabella 1 corrisponde un interasse fra i ferri stessi.
      Mantenendo la simmetria della sezione, per evitare decimali delle spaziature in mm, in alcuni casi i quattro ferri prescelti hanno fra loro interassi leggermente diversi: in tabella 1 sono indicati quelli massimi.


3. IL VINCOLO DEL LIVELLO DELLE TENSIONI IN ESERCIZIO

     
L'obiettivo del progetto rappresentato dalla (1) e, conseguentemente, dalla (2), non sempre è raggiungibile nell'intervallo di definizione, in questo caso per j e[0.26, 0.40]
      A volte infatti ad un tale obiettivo corrisponde un eccessivo livello delle tensioni in esercizio.
Si consideri in esercizio la sezione parzializzata nello stadio II; sia l'asse neutro xf che il momento di inerzia Jf della sezione parzializzata sono funzione j perché dipendono da d e da Asd, entrambi funzioni di j. Di conseguenza lo sarà anche la tensione nell'acciaio, ovvero:

               ss (j) = m 3 Mk [d(j) - xf (j)] / Jf (j)

ove Mk è il valore caratteristico del momento in esercizio dovuto alla combinazione considerata di Gk e Qk ed m è il coefficiente di omogeneizzazione posto pari a 15.
      La tensione nel calcestruzzo al bordo superiore compresso sarà poi

                   s
c (j) = Mk xf(j) / Jf(j

      L'Eurocodice 2 prescrive i valori limite imposti al le tensioni normali di compressione nel calcestruzzo e di trazione nell'acciaio. Nel caso della trave presa ad esempio in questo articolo, supponendo sia in ambiente aggressivo, per le classi di esposizione 3 e 4 i valori limite sono per il calcestruzzo 0.60 fck per la combinazione di carico rara e 0.45 fck per la combinazione di carico quasi permanente, cioè rispettivamente 12 9 Mpa, mentre per l'acciaio non si deve comunque superare 0.80 fyk per la combinazione di carico rara, cioè 320 Mpa.
      L'Eurocodice 2, propone il controllo indiretto di fessurazione in travi in cemento armato senza calcolo diretto dell'apertura delle fessure; col metodo indiretto ciò è possibile limitando tanto più il livello delle tensioni di trazione nelle armature quanto maggiore è il diametro delle barre e limitando a sua volta la spaziatura massima fra le barre in base alle tensioni. Per fare ciò bisogna dunque riferirsi alle apposite tabelle che l'Eurocodice 2 fornisce e in cui, a ciascun diametro delle barre corrisponde un livello tensionale limite nonché un interasse limite fra le barre stesse. In queste condizioni, nelle travi in cemento armato ordinario, non si dovrebbero avere, se non occasionalmente, fessure con apertura maggiore di 0.3 mm.


Tabella 2 - Tensioni e spaziature limite per le barre

      Toniolo [3] nota che il metodo indiretto è generalmente più affidabile del controllo diretto dell'apertura delle fessure ma che per l'applicazione del metodo indiretto dell'Eurocodice 2 si devono escludere ambienti molto aggressivi e le barre, nervate, devono essere poco sensibili alla corrosione; in ambienti aggressivi, volendo limitare a 0.2 mm l'ampiezza delle fessure, suggerisce di ridurre di un terzo il limite delle tensioni per ciascun diametro delle barre (Tabella 2), valutando le tensioni nella combinazione di carico frequente.
      Poiché si è supposto di ottenere l'area di acciaio disponibile Asd (j) mediante l'utilizzo di ferri fra loro uguali, essendo, così come Asd (j), anche il diametro dei ferri utilizzati una funzione crescente di j a gradini, allora anche la tensione limite nelle 
        __
barre ss1 per l'applicazione del metodo indiretto di controllo della fessurazione è una 
                                                                        __     __
funzione di j attraverso il diametro relativo, sì che ss1 - ss1 (j)  è una funzione crescente a gradini sulla base dei valori indicati in tabella 2.


4. IL PROGETTO VINCOLATO DELLA SEZIONE

     
L'obiettivo del progetto effettuato allo stato limite ultimo e rappresentato dalla funzione (1) e, di conseguenza, dalla funzione (2), è dunque da studiarsi come vincolato al che, in esercizio, non si abbia un eccessivo livello delle tensioni evitando così, col metodo indiretto, anche le eccessive fessurazioni.
      Avendo allora armature nervate poco sensibili alla corrosione, determinata la condizione ambientale e quella di carico, si utilizzi innanzitutto il metodo indiretto di verifica della fessurazione; considerando il caso dell'estensione del metodo ad un ambiente aggressivo come visto in precedenza, bisogna innanzitutto che le tensioni
___
s
s1 (j) nelle barre siano minori, in base al diametro, delle rispettive tensioni limite   dell'ultima colonna della tabella 2, ovvero definita la funzione 

                                                   __
                            g1 (j) - ss1 (j) - ss1 (j)

deve aversi

                            g1 (j) < 0        (3)

      Inoltre, nella combinazione di carico rara, onde evitare deformazioni anelastiche, deve essere rispettato il limite delle tensioni nell'acciaio

                                               ss2 (j) < 0.8 fyk

sì che posto

                            g2 (j) = ss2 (j) - 0.8 fyk

deve aversi


Fig.3 - Vincolo alla funzione obiettivo [Pa]


                           g2 (j< 0         (3')

      Devono poi essere limitate le tensioni nel calcestruzzo.
      Nella combinazione di carico rara, per sc3 (j)<0.60 fck  può porsi:

                           g
3 (j) - sc3 (j) - 0.60 fck

mentre nella combinazione di carico quasi permanente, per sc4 (j)<0.45 fck si ha analogamente:

                           g4 (j) = sc4 (j)  - 0.45 fck

e deve essere:

                           g3 (j< 0  ;     g4 (j) < 0        (4)

      Il rispetto delle disequazioni (3), (3') e (4) per ogni j e [0.26, 0.40] costituisce il vincolo considerato per il progetto della sezione.
      L'obiettivo del progetto è allora, nel campo delle possibili duttilità prescelte, di rendere minima l'altezza della trave, cioè di rendere minima la funzione obiettivo d(j), sottoposta ai vincoli 

            g1 (j< 0 ,  g2 (j< 0 ,  g3 (j< 0 ,  g4 (j< 0.

      Il problema, così impostato, è un problema di programmazione non lineare che, nel caso specifico, può essere risolto con il metodo di penalizzazione [4].
      La funzione di penalità è pertanto definita come:

ove

           di - 0             per      g1 (j<
           di - g1 (j)       per      g1 (j> 0

      Utilizzando un coefficiente di penalità rp positivo si deve quindi ricercare il minimo della pseudo-funzione obiettivo:


      Si consideri allora la trave del precedente paragrafo 2.1 con armature poco sensibili ad aderenza migliorata, in ambiente aggressivo ed appartenente ad un edificio di civile abitazione. La luce l sia di 3.60 m; avendo scelto un ricoprimento r di 4 cm si assume un copriferro nominale c di 5 cm. La larghezza b s'è detto essere di 25 cm. In esercizio i carichi permanenti Gk complessivamente sopportati dalla trave ammontano a 20000 N/m, quelli variabili Qk a 10000 N/m.
      In progetto, trascurando le piccole differenze dei carichi permanenti dovute alla variazione d'altezza della trave, per la sollecitazione di calcolo la funzione obiettivo e la Md -1/8 (Gd + Qd)l2 la funzione obiettivo d(j) e la funzione correlata As (j)  sono rappresentate nelle figure 1 e 2; in fig.2 è rappresentata anche la funzione a gradini Asd (j) delle aree di acciaio disponibili.
      In questo esempio, per semplicità, si focalizza l'attenzione sul vincolo g1(j) < 0 rappresentativo del rispetto della verifica di fessurazione con metodo indiretto.
      In fig.3 è rappresentata la funzione g1(j) e si vede che effettivamente il vincolo g1(j)  è attivo.
      I vincoli g1(j)  i=2..4, sono invece inattivi, cioè in esercizio nella combinazione di carico rara la tensione nell'acciaio è sempre minore di e 0.8 fyk e quella nel calcestruzzo è minore di 0.6 fck, mentre nella combinazione quasi permanente la tensione nel calcestruzzo è sempre minore di 0.45 fck. Nella progettazione ottima delle sezioni questa, anche se non è certo la norma, è una situazione frequente, cioè spesso il vincolo del controllo indiretto della fessurazione è spesso più stretto degli altri vincoli di limitazione delle tensioni; l'esempio prescelto, dunque, oltre che evidenziare, senza maggiori complicazioni, il procedimento nell'importante caso della verifica di fessurazione con metodo indiretto, rispecchia fra l'altro una casistica diffusa che trova riscontro anche nella progettazione corrente ove, normalmente, una volta dimensionate le sezioni allo stato limite ultimo, in esercizio sono le verifiche di fessurazione con metodo indiretto ad essere solitamente più restrittive delle altre limitazioni tensionali.


Fig.4 - Pseudo-funzione obiettivo

      In fig.4 è allora mostrato l'andamento della pseudo-funzione obiettivo f(j) per rp- 2.10-15.
      La funzione f(j) ha un minimo relativo per j - 0.35; per 0.28<j <0.35  la sezione progettata allo stato limite ultimo con la (1) e con la (2) soddisfa anche la verifica di fessurazione con metodo indiretto ed, in particolare, per j - 0.35 si ha la sezione di altezza utile minore pari a 0.325 m, cioè, approssimando al centimetro, con H-0.38 m.
      Questa è l'altezza minore che la trave di questo esempio può avere con le sollecitazioni assegnate.
      Per 0.26<j<0.28 e per 0.35<j<0.40 il vincolo è attivo e la verifica di fessurazione non è soddisfatta a meno di non porre un'altezza utile ed un'armatura maggiori di quelle strettamente necessarie sulla base del progetto allo stato limite ultimo.
      Si consideri infatti l'intervallo [0.26, 0.28[ della variabile j. In tal caso, volendo progettare con un asse neutro adimensionalizzato compreso in questo intervallo, non si può utilizzare l'altezza utile proveniente dal calcolo allo stato ultimo che, in questo intervallo, varia, secondo la (1)  rappresentata in fig.1, fra d=0.37 m per j=0.26 e d=0.36 m per j=0.28: infatti, con una tale altezza utile, non sarebbe appunto rispettata la verifica di fessurazione con metodo indiretto giacchè il vincolo g1 è attivo (Fig.3).
      Bisogna allora per esempio aumentare l'altezza utile della sezione.
      Per j e[0.26, 0.28[  l'area di acciaio disponibile Asd è costituita da 4f14 di area 616 mm2 (Fig.2) e, per tale diametro delle barre, il valore limite della tensione
                   __
nell'acciaio è ss1 Mpa (Tabella 2): mantenendo una tale area di acciaio e limitandone la tensione a 200 Mpa si può valutare l'altezza della sezione che consente di soddisfare la verifica di fessurazione con metodo indiretto. 
A tal fine si imposti un calcolo di progetto in esercizio nello stadio II in cui assegnata la sollecitazione Mk, in questo caso 40500 Nm, la larghezza b=25 cm della 
                                                                                           __
sezione, l'area di acciaio dei 4f14 con la relativa tensione limite di ss1=200 Mpa, si ricavano come incognite l'altezza utile e la tensione nel calcestruzzo. 
      Tale calcolo di progetto, posto
                                                     __
                               L = 3Mk / (mAsd ss1)

porta a ricavare l'altezza utile dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:



      In questo caso si ottiene d-0.375 m.
      Per la tensione nel calcestruzzo si ricava:



cioè, in questo caso, sc = 7.20 Mpa. Essa è minore di 0.45 fck Mpa, e, dunque, a maggior ragione, la tensione nel calcestruzzo è verificata anche nella combinazione di carico quasi permanente.
      Nell'intervallo [0.26, 0.28[, con l'armatura di 4f14 si può allora soddisfare la verifica di fessurazione con metodo indiretto adottando in tutto l'intervallo d - 0.375 m (Fig.5), cioè con una sezione più alta di quanto richiesto dalla (1) con, però, per l'aumentata altezza, una maggior duttilità.
      In modo analogo si può procedere per j e ]0.35, 0.40]. In questo caso, per la (1), allo stato limite ultimo si ha d = 0.325 m per j = 0.35 e d - 0.31 m per j - 0.40. In fig. 2 si vede che l'armatura disponibile Asd è costituita da 4f16 di area 804 mm
     ___
con ss1 = 180 Mpa (Tabella 2).


Fig.5 - Altezza utile della sezione rispettosa anche delle verifiche d'esercizio [m]

      Con questa area di acciaio e questa tensione limite, con un calcolo di progetto analogo al precedente, si ricava d = 0.325 m con sc = 8.64 Mpa; anche in questo caso essendo sc < 0.45 fck = 9 Mpa, a maggior ragione la tensione nel calcestruzzo sarà verificata nella combinazione di carico quasi permanente.
      Nella combinazione di carico rara le tensioni nell'acciaio e nel calcestruzzo sono naturalmente minori delle rispettive tensioni limite perché, avendo notato precedentemente che tale verifica tensionale era comunque rispettata, lo sarà a maggior ragione con un'altezza maggiorata della sezione.
      I risultati sono riassunti in fig.5. Si noti che la curva a tratto continuo del diagramma mostra che, per j  e[0.26, 0.28[  e per j e]0.35, 0.40], dal calcolo di progetto in esercizio in stadio II, al variare di j, si ottengono sezioni costanti nei rispettivi intervalli che, per la maggiore altezza, hanno una duttilità diversa da quella preventivata nel calcolo allo stato ultimo; per j e[0.26, 0.28[ la curva a tratto continuo mostra invece le altezze utili trovate col progetto allo stato ultimo con la (1).
      Nel diagramma, pertanto, la curva a tratto continuo mostra le altezze utili ottenute alla fine del complessivo processo progettuale iniziando il progetto con i valori di duttilità in ascissa.
      In fig.5 le altezze utili ricavate allo stato ultimo con la (1) negli intervalli [0.26, 0.28[ e ]0.35, 0.40] sono invece tratteggiate e non rispettano le verifiche in esercizio.


5. CONCLUSIONI

     
La moderna progettazione delle strutture in cemento armato col metodo semiprobabilistico agli stati limite si svolge esaminando la struttura in differenti situazioni sì che, in generale, nella fase progettuale non sempre si riesce a valutare quale sia la condizione più limitativa.
      Solitamente la progettazione delle strutture in c.a. avviene allo stato limite ultimo ma spesso questa non è la situazione più sfavorevole.
      E' allora utile sviluppare metodologie di progetto che, stante l'insostituibile intuizione statica del progettista, siano utili ad una visione complessiva del progetto stesso: ciò consente, quanto meno, di limitare in parte di ridimensionare la struttura progettata allo stato ultimo perché non supera alcune verifiche in esercizio.
      D'altra parte è compito di un buon progettista evitare di sovradimensionare le strutture visto che ciò, oltre a poter essere pregiudizievole anche da un punto di vista statico, stravolge la concezione strutturale dell'opera e porta ad un aggravio dei costi di realizzazione.
      A tal fine, come primo approccio, in questo articolo si è analizzato il progetto delle sezioni in cemento armato come un  problema di programmazione non lineare in cui l'obiettivo del progetto è quello del buon proporzionamento delle sezioni allo stato ultimo valutando, nel contempo, che in esercizio il livello delle tensioni sia minore di quello prescritto dalla Normativa. In questo caso ci si è riferiti all'Eurocodice 2.
      Impostando il problema in tale modo, le verifiche d'esercizio sono viste come dei vincoli al progetto; cioè, scelto un campo di duttilità delle sezioni ritenuto accettabile dal progettista, si minimizza l'altezza della sezione a condizione che esse siano rispettate, ovvero che le funzioni rappresentative del vincolo siano, nel caso specifico, negative.
      Considerato il metodo indiretto di verifica della fessurazione proposto dall'Eurocodice 2 limitando tanto più la tensione nelle barre quanto maggiore è il diametro, nelle travi poco deformabili col controllo delle tensioni si possono talvolta completare le verifiche d'esercizio. Naturalmente con un'apposita funzione di vincolo la programmazione non lineare può tener conto anche della verifica di fessurazione con metodo indiretto.
      A titolo esemplificativo, in questo articolo si è focalizzata l'attenzione su quest'ultimo caso e, utilizzando il metodo di penalizzazione, si è ricercata allora l'altezza minima della trave; in generale, in un intervallo di duttilità accettabili per il progettista, essa si trova per il minimo della pseudo-funzione obiettivo del problema vincolato di programmazione non lineare.
      Vengono invece esclusi dal metodo gli intervalli di duttilità della sezione per i quali le verifiche d'esercizio non sono soddisfatte a meno di non aumentare l'altezza della sezione.
      Lo studio è pertanto rappresentativo di una razionalizzazione del progetto che mostra in termini analitici ciò che nel processo progettuale non sempre avviene in modo consapevole.


BIBLIOGRAFIA

[01] CEN - ENV 1992 Eurocode 2, part 1, 1991

[02] CEB-FIP Model Code 1990, Bulletin d'Information N°213/214, Telford, 1993

[03] G. TONIOLO
, Cemento armato - Calcolo agli stati limite, Vol.2A, Masson, 1995

[04] V. COMINCIOLI
, Analisi numerica, Mc Graw- Hill, 1990

 

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